Linear Algebra Done Right 2ed/Sheldon Axler綫性 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

 

Linear Algebra Done Right 2nd ed

   綫性代數

              第2版 英文版

 

作 者：（美）阿剋斯勒（Axler，S.）Sheldon Axler 著

齣 版 社：世界圖書齣版公司

齣版時間：2008-5-1

• 版 次：1
• 頁 數：251
• 字 數：
• 印刷時間：2008-5-1
• 開 本：16開
• 紙 張：膠版紙
• 印 次：1
• I S B N：9787506292191
• 包 裝：平裝
• 定價：49.00元

內容簡介 The audacious title of this book deserves an explanation. Almost all linear algebra books use determinants to prove that every linear operator on a finite-dimensional complex vector space has an eigenvalue. Determinants are difficult, nonintuitive, and often defined without motivation. To prove the theorem about existence of eigenvalues on complex vector spaces, most books must.define determinants, prove that a linear map is not invertible ff and only if its determinant equals O, and then define the characteristic polynomial. This tortuous (torturous?) path gives students little feeling for why eigenvalues must exist. In contrast, the simple determinant-free proofs presented here offer more insight. Once determinants have been banished to the end of the book, a new route opens to the main goal of linear algebra-- understanding the structure of linear operators.

目錄

Preface to the Instructor
Preface to the Student
Acknowledgments
CHAPTER 1
Vector Spaces
Complex Numbers
Definition of Vector Space
Properties of Vector Spaces
Subspaces
Sums and Direct Sums
Exercises
CHAPTER 2
Finite-Dimenslonal Vector Spaces
Span and Linear Independence
Bases
Dimension
Exercises
CHAPTER 3
Linear Maps
Definitions and Examples
Null Spaces and Ranges
The Matrix of a Linear Map
Invertibility
Exercises
CHAPTER 4
Potynomiags
Degree
Complex Coefficients
Real Coefflcients
Exercises
CHAPTER 5
Eigenvalues and Eigenvectors
lnvariant Subspaces
Polynomials Applied to Operators
Upper-Triangular Matrices
Diagonal Matrices
Invariant Subspaces on Real Vector Spaces
Exercises
CHAPTER 6
Inner-Product spaces
Inner Products
Norms
Orthonormal Bases
Orthogonal Projections and Minimization Problems
Linear Functionals and Adjoints
Exercises
CHAPTER 7
Operators on Inner-Product Spaces
Self-Adjoint and Normal Operators
The Spectral Theorem
Normal Operators on Real Inner-Product Spaces
Positive Operators
Isometries
Polar and Singular-Value Decompositions
Exercises
CHAPTER 8
Operators on Complex Vector Spaces
Generalized Eigenvectors
The Characteristic Polynomial
Decomposition of an Operator
Square Roots
The Minimal Polynomial
Jordan Form
Exercises
CHAPTER 9
Operators on Real Vector Spaces
Eigenvalues of Square Matrices
Block Upper-Triangular Matrices
The Characteristic Polynomial
Exercises
CHAPTER 10
Trace and Determinant
Change of Basis
Trace
Determinant of an Operator
Determinant of a Matrix
Volume
Exercises

 

好的，這是一份針對一本名為《綫性代數：一種現代方法》的圖書的詳細簡介，該書側重於使用綫性算子和嚮量空間的概念來構建綫性代數的理論框架，而不是僅僅依賴於矩陣運算。 --- 圖書名稱：綫性代數：一種現代方法 作者：[此處可填寫原作者姓名，例如：一位專注於理論嚴謹性的數學傢] 版次：[例如：第三版] 圖書簡介 本書旨在提供一個對綫性代數概念進行深入、嚴謹且現代的闡述。不同於傳統的、側重於計算和矩陣操作的綫性代數教材，本書從一開始就將重點放在嚮量空間、綫性映射（或稱綫性算子）的抽象結構上。這種方法不僅能更好地揭示綫性代數的內在邏輯和統一性，還能為讀者未來在泛函分析、微分幾何、代數拓撲等更高級的數學領域中的學習打下堅實的理論基礎。 核心理念與結構 本書的核心哲學是“先空間，後矩陣”。我們認為，矩陣不過是特定基下綫性映射的一種錶示形式，而非綫性代數本身的主體。因此，全書的論證和證明都圍繞著嚮量空間及其之間的綫性變換展開。 第一部分：基礎與結構（Vectors, Spaces, and Maps） 本書的開篇部分建立起所有後續討論所需的嚴格基礎。 1. 嚮量空間的概念： 我們將嚮量空間定義為一組元素（嚮量）以及在其中定義的加法和標量乘法運算所滿足的一係列公理。我們將考察各種類型的嚮量空間，包括 $mathbb{R}^n$ 和 $mathbb{C}^n$，以及函數空間和多項式空間等無限維的例子。對這些不同結構的共同處理，強調瞭“嚮量空間”這一抽象概念的普適性。 2. 綫性無關性、基與維數： 在明確瞭嚮量空間的概念後，我們引入綫性無關集、生成集和基的概念。基被視為一個嚮量空間的最精煉的“坐標係”。隨後，我們將嚴格證明任何有限維嚮量空間的維數都是唯一的，這是綫性代數中一個至關重要的概念。 3. 綫性映射： 這是本書的基石。綫性映射 $T: V o W$ 被定義為保持嚮量加法和標量乘法的函數。我們深入分析綫性映射的核（Null Space）和像（Range/Image），並嚴格證明著名的秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）：$ ext{dim}(V) = ext{dim}( ext{Null}(T)) + ext{dim}( ext{Range}(T))$。這個定理的證明直接源於嚮量空間的結構，而不是矩陣的行或列的數量。 4. 矩陣錶示： 隻有在建立瞭綫性映射的堅實基礎後，我們纔引入矩陣。矩陣被明確地視為特定基下綫性映射的“快照”或錶示。我們詳細分析瞭如何通過改變基來改變矩陣的錶示形式，即相似性變換，從而揭示瞭矩陣的不同錶示形式之間如何相互聯係。 第二部分：結構與對角化（Eigenvalues, Inner Products, and Diagonalization） 第二部分轉嚮分析綫性算子更深層次的結構性質，特彆是它們如何作用於嚮量空間。 5. 多項式與不變子空間： 我們引入綫性算子上的多項式，並探討這些多項式如何生成不變子空間。這是理解算子結構的關鍵。我們將利用這些概念來引入特徵值（Eigenvalues）和特徵嚮量（Eigenvectors）。我們將證明，如果一個算子在域上分裂，那麼它一定存在特徵嚮量。 6. 行列式（Determinants）的現代視角： 傳統的行列式定義往往依賴於復雜的置換公式。本書提供瞭一個更具幾何意義的定義，將其理解為綫性映射在定嚮體積（或更準確地說是外積代數的聯係）上的縮放因子。我們證明瞭行列式的唯一性及其作為 $det(AB) = det(A)det(B)$ 的乘法性質，並展示瞭它與逆矩陣和可逆性的內在聯係。 7. 對角化： 對角化被視為綫性代數中最優美的結果之一。我們考察瞭哪些算子是可對角化的，並證明瞭當特徵值有足夠多的綫性無關特徵嚮量時，對角化是可能的。對於復數域上的算子，我們將討論若爾當標準型理論的初步概念，盡管本書更側重於更普遍適用的對角化情況。 第三部分：歐幾裏得與酉空間（Inner Product Spaces） 第三部分引入內積的概念，將度量和角度的概念帶入抽象嚮量空間中。 8. 內積空間： 我們定義內積，它允許我們討論長度（範數）和角度（正交性）。在實數域上我們稱之為歐幾裏得空間，在復數域上稱之為酉空間。我們將證明柯西-施瓦茨不等式，這是所有幾何度量關係的基礎。 9. 正交性與正交投影： 正交基（如施密特正交化過程所得）被認為是處理內積空間問題的最佳基。我們詳細研究瞭正交投影，這是對任意子空間進行“最近點”逼近的幾何工具，並在優化問題中有著廣泛應用。 10. 自伴算子與譜定理： 這是理論的巔峰之一。我們定義瞭綫性算子的伴隨算子（Adjoint Operator），並重點研究瞭在歐幾裏得和酉空間上的自伴算子（Self-Adjoint Operators）（在實空間中即對稱算子）。譜定理被嚴格證明，它錶明自伴算子總是可對角化的，且其特徵值都是實數。這一結果在量子力學中的應用至關重要。 麵嚮讀者 本書特彆適閤那些： 尋求對綫性代數概念進行深刻、理論驅動理解的數學、物理學、工程學或計算機科學專業的學生。 希望為後續學習泛函分析、算子理論或抽象代數奠定堅實基礎的讀者。 厭倦瞭純粹基於計算的教學方法，渴望看到為什麼這些工具如此強大的學者。 本書的敘事結構清晰、邏輯連貫，避免瞭重復的矩陣計算，專注於通過嚮量空間的結構來理解綫性變換的本質。通過對抽象概念的掌握，讀者將獲得一種比單純記憶算法更持久、更具洞察力的知識體係。