Linear Algebra Done Right 2ed/Sheldon Axler线性 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

 

Linear Algebra Done Right 2nd ed

   线性代数

              第2版 英文版

 

作 者：（美）阿克斯勒（Axler，S.）Sheldon Axler 著

出 版 社：世界图书出版公司

出版时间：2008-5-1

• 版 次：1
• 页 数：251
• 字 数：
• 印刷时间：2008-5-1
• 开 本：16开
• 纸 张：胶版纸
• 印 次：1
• I S B N：9787506292191
• 包 装：平装
• 定价：49.00元

内容简介 The audacious title of this book deserves an explanation. Almost all linear algebra books use determinants to prove that every linear operator on a finite-dimensional complex vector space has an eigenvalue. Determinants are difficult, nonintuitive, and often defined without motivation. To prove the theorem about existence of eigenvalues on complex vector spaces, most books must.define determinants, prove that a linear map is not invertible ff and only if its determinant equals O, and then define the characteristic polynomial. This tortuous (torturous?) path gives students little feeling for why eigenvalues must exist. In contrast, the simple determinant-free proofs presented here offer more insight. Once determinants have been banished to the end of the book, a new route opens to the main goal of linear algebra-- understanding the structure of linear operators.

目录

Preface to the Instructor
Preface to the Student
Acknowledgments
CHAPTER 1
Vector Spaces
Complex Numbers
Definition of Vector Space
Properties of Vector Spaces
Subspaces
Sums and Direct Sums
Exercises
CHAPTER 2
Finite-Dimenslonal Vector Spaces
Span and Linear Independence
Bases
Dimension
Exercises
CHAPTER 3
Linear Maps
Definitions and Examples
Null Spaces and Ranges
The Matrix of a Linear Map
Invertibility
Exercises
CHAPTER 4
Potynomiags
Degree
Complex Coefficients
Real Coefflcients
Exercises
CHAPTER 5
Eigenvalues and Eigenvectors
lnvariant Subspaces
Polynomials Applied to Operators
Upper-Triangular Matrices
Diagonal Matrices
Invariant Subspaces on Real Vector Spaces
Exercises
CHAPTER 6
Inner-Product spaces
Inner Products
Norms
Orthonormal Bases
Orthogonal Projections and Minimization Problems
Linear Functionals and Adjoints
Exercises
CHAPTER 7
Operators on Inner-Product Spaces
Self-Adjoint and Normal Operators
The Spectral Theorem
Normal Operators on Real Inner-Product Spaces
Positive Operators
Isometries
Polar and Singular-Value Decompositions
Exercises
CHAPTER 8
Operators on Complex Vector Spaces
Generalized Eigenvectors
The Characteristic Polynomial
Decomposition of an Operator
Square Roots
The Minimal Polynomial
Jordan Form
Exercises
CHAPTER 9
Operators on Real Vector Spaces
Eigenvalues of Square Matrices
Block Upper-Triangular Matrices
The Characteristic Polynomial
Exercises
CHAPTER 10
Trace and Determinant
Change of Basis
Trace
Determinant of an Operator
Determinant of a Matrix
Volume
Exercises

 

好的，这是一份针对一本名为《线性代数：一种现代方法》的图书的详细简介，该书侧重于使用线性算子和向量空间的概念来构建线性代数的理论框架，而不是仅仅依赖于矩阵运算。 --- 图书名称：线性代数：一种现代方法 作者：[此处可填写原作者姓名，例如：一位专注于理论严谨性的数学家] 版次：[例如：第三版] 图书简介 本书旨在提供一个对线性代数概念进行深入、严谨且现代的阐述。不同于传统的、侧重于计算和矩阵操作的线性代数教材，本书从一开始就将重点放在向量空间、线性映射（或称线性算子）的抽象结构上。这种方法不仅能更好地揭示线性代数的内在逻辑和统一性，还能为读者未来在泛函分析、微分几何、代数拓扑等更高级的数学领域中的学习打下坚实的理论基础。 核心理念与结构 本书的核心哲学是“先空间，后矩阵”。我们认为，矩阵不过是特定基下线性映射的一种表示形式，而非线性代数本身的主体。因此，全书的论证和证明都围绕着向量空间及其之间的线性变换展开。 第一部分：基础与结构（Vectors, Spaces, and Maps） 本书的开篇部分建立起所有后续讨论所需的严格基础。 1. 向量空间的概念： 我们将向量空间定义为一组元素（向量）以及在其中定义的加法和标量乘法运算所满足的一系列公理。我们将考察各种类型的向量空间，包括 $mathbb{R}^n$ 和 $mathbb{C}^n$，以及函数空间和多项式空间等无限维的例子。对这些不同结构的共同处理，强调了“向量空间”这一抽象概念的普适性。 2. 线性无关性、基与维数： 在明确了向量空间的概念后，我们引入线性无关集、生成集和基的概念。基被视为一个向量空间的最精炼的“坐标系”。随后，我们将严格证明任何有限维向量空间的维数都是唯一的，这是线性代数中一个至关重要的概念。 3. 线性映射： 这是本书的基石。线性映射 $T: V o W$ 被定义为保持向量加法和标量乘法的函数。我们深入分析线性映射的核（Null Space）和像（Range/Image），并严格证明著名的秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）：$ ext{dim}(V) = ext{dim}( ext{Null}(T)) + ext{dim}( ext{Range}(T))$。这个定理的证明直接源于向量空间的结构，而不是矩阵的行或列的数量。 4. 矩阵表示： 只有在建立了线性映射的坚实基础后，我们才引入矩阵。矩阵被明确地视为特定基下线性映射的“快照”或表示。我们详细分析了如何通过改变基来改变矩阵的表示形式，即相似性变换，从而揭示了矩阵的不同表示形式之间如何相互联系。 第二部分：结构与对角化（Eigenvalues, Inner Products, and Diagonalization） 第二部分转向分析线性算子更深层次的结构性质，特别是它们如何作用于向量空间。 5. 多项式与不变子空间： 我们引入线性算子上的多项式，并探讨这些多项式如何生成不变子空间。这是理解算子结构的关键。我们将利用这些概念来引入特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）。我们将证明，如果一个算子在域上分裂，那么它一定存在特征向量。 6. 行列式（Determinants）的现代视角： 传统的行列式定义往往依赖于复杂的置换公式。本书提供了一个更具几何意义的定义，将其理解为线性映射在定向体积（或更准确地说是外积代数的联系）上的缩放因子。我们证明了行列式的唯一性及其作为 $det(AB) = det(A)det(B)$ 的乘法性质，并展示了它与逆矩阵和可逆性的内在联系。 7. 对角化： 对角化被视为线性代数中最优美的结果之一。我们考察了哪些算子是可对角化的，并证明了当特征值有足够多的线性无关特征向量时，对角化是可能的。对于复数域上的算子，我们将讨论若尔当标准型理论的初步概念，尽管本书更侧重于更普遍适用的对角化情况。 第三部分：欧几里得与酉空间（Inner Product Spaces） 第三部分引入内积的概念，将度量和角度的概念带入抽象向量空间中。 8. 内积空间： 我们定义内积，它允许我们讨论长度（范数）和角度（正交性）。在实数域上我们称之为欧几里得空间，在复数域上称之为酉空间。我们将证明柯西-施瓦茨不等式，这是所有几何度量关系的基础。 9. 正交性与正交投影： 正交基（如施密特正交化过程所得）被认为是处理内积空间问题的最佳基。我们详细研究了正交投影，这是对任意子空间进行“最近点”逼近的几何工具，并在优化问题中有着广泛应用。 10. 自伴算子与谱定理： 这是理论的巅峰之一。我们定义了线性算子的伴随算子（Adjoint Operator），并重点研究了在欧几里得和酉空间上的自伴算子（Self-Adjoint Operators）（在实空间中即对称算子）。谱定理被严格证明，它表明自伴算子总是可对角化的，且其特征值都是实数。这一结果在量子力学中的应用至关重要。 面向读者 本书特别适合那些： 寻求对线性代数概念进行深刻、理论驱动理解的数学、物理学、工程学或计算机科学专业的学生。 希望为后续学习泛函分析、算子理论或抽象代数奠定坚实基础的读者。 厌倦了纯粹基于计算的教学方法，渴望看到为什么这些工具如此强大的学者。 本书的叙事结构清晰、逻辑连贯，避免了重复的矩阵计算，专注于通过向量空间的结构来理解线性变换的本质。通过对抽象概念的掌握，读者将获得一种比单纯记忆算法更持久、更具洞察力的知识体系。