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圖書基本信息

Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations
作者： Wolfgang Wasow;
ISBN13： 9780486824581
類型： 平裝(簡裝書)
語種： 英語（English）
齣版日期： 2018-04-27
齣版社： Dover Publications
頁數： 384
重量（剋）： 453
尺寸： 21.082 x 13.716 x 2.032 cm

商品簡介

"A book of great value ... it should have a profound influence upon future research." -- Mathematical Reviews
In this outstanding text, author Wolfgang Wasow concentrates on the mathematical ideas underlying various asymptotic methods for ordinary differential equations that lead to full, infinite expansions. Starting with some basic properties of linear differential equations in the complex domain, the treatment advances to considerations of regular and irregular singular points, asymptotic power series, generalizations by means of Jordan's canonical form, and some special asymptotic methods.
Subsequent chapters explore asymptotic expansions with respect to a parameter, turning point problems, nonlinear equations, singular perturbations, and integration of differential equations by factorial series. Numerous problems appear throughout the text, which is ideal for course work or self-study.

好的，這是一本名為《Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations》的圖書簡介。 --- 《Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations》圖書簡介 概要與核心主題 《Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations》是一部深入探討常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）漸近展開理論的權威著作。本書旨在為數學、物理學、工程學以及應用科學領域的讀者提供一個全麵而嚴謹的框架，用以分析和解決那些無法通過初等函數精確求解的微分方程。 漸近分析是處理微分方程在特定參數或變量趨近於無窮大、零點或其他奇異點時行為的關鍵工具。本書的核心聚焦於如何構建、驗證以及應用各種漸近級數來近似方程的解。它不僅涵蓋瞭基礎理論，更深入探討瞭處理復雜邊值問題和初值問題中的各種技術挑戰，特彆是在奇異攝動理論（Singular Perturbation Theory）的框架下。 目標讀者 本書麵嚮具有紮實的微積分、綫性代數以及常微分方程基礎知識的研究生、博士後研究人員、資深工程師和應用數學傢。它既可作為高級課程的教材，也適用於需要深入理解和應用漸近方法來處理實際工程或物理問題的專業人士。 內容結構與深度剖析 本書的結構圍繞漸近展開的建立和應用展開，從基礎概念到前沿技術，層層遞進。 第一部分：基礎與經典方法 1. 漸近級數的引入與基礎概念： 本部分首先界定瞭漸近級數（如Poincaré和Stieltjes意義下的定義），區分瞭收斂級數與漸近級數的本質區彆。重點介紹瞭如何根據方程的特性（如參數 $epsilon$ 趨於零）來預判解的結構。 2. 常規攝動方法 (Regular Perturbation Theory)： 這是處理漸近展開的起點。本書詳細闡述瞭如何通過代入一個形式為 $y(x, epsilon) = y_0(x) + epsilon y_1(x) + epsilon^2 y_2(x) + dots$ 的級數解來求解方程。內容包括： 零階近似 (Leading Order Approximation)： 確定方程在 $epsilon=0$ 時的簡化形式（即“限製方程”）。 高階修正項的確定： 逐步求解由每一階攝動項産生的常微分方程，並處理由此産生的匹配問題（如果存在）。 3. 邊界層理論基礎 (Introduction to Boundary Layers)： 在常規攝動方法失效時，邊界層現象齣現。本書引入瞭幾何奇異攝動理論的概念，解釋瞭為什麼傳統展開會在特定區域失效。 第二部分：奇異攝動理論的核心技術 這是本書最具價值的部分，專注於處理奇異攝動問題，即當 $epsilon$ 趨於零時，方程的解的性質發生質變的情況。 4. 匹配原理與復閤展開 (Matching Principle and Composite Expansions)： 本書詳細介紹瞭如何構建內層解 (Inner Solution) 和外層解 (Outer Solution)，並使用匹配原理（如柯西-範德爾波姆方法或特定匹配區域的比較）將兩者連接起來，形成一個全局的復閤解 (Composite Solution)。 5. 匹配技術的深入探討： 多重尺度法 (Multiple Scales Method)： 尤其適用於涉及慢變和快變時間尺度的動力學係統。書中演示瞭如何通過引入新的慢尺度變量來消除解中不希望齣現的振蕩或指數增長項，從而得到更精確的漸近近似。 WKB 近似法 (Wentzel–Kramers–Brillouin Approximation)： 專門針對二階綫性常微分方程，尤其是在相空間分析中具有重要地位。本書詳細推導瞭WKB公式，並討論瞭當經典拐點（Turning Points）存在時的連接公式的構建。 6. 延遲坐標法 (The Method of Matched Asymptotic Expansions for Initial Value Problems)： 針對初值問題中可能齣現的快速過渡區域（如衝擊波或尖銳的響應），本書闡述瞭如何應用漸近匹配技術來捕捉這些瞬態行為。 第三部分：特殊情形與高級主題 7. 不連續解與自由邊界問題： 探討瞭在某些非綫性微分方程中，解本身可能存在不連續過渡區域（如分岔點或極限環附近）。書中介紹瞭如何使用幾何方法（如Shishkina方法）來定位這些不連續性。 8. 穩定性和穩定性分析的漸近視角： 漸近展開不僅用於求解，也用於分析解的穩定性。本書展示瞭如何通過分析高階攝動項的特性，來評估係統在小擾動下的長期行為。 9. 應用案例的深度解析： 為瞭鞏固理論，本書包含瞭多個跨學科的應用實例，例如： 流體力學中的雷諾數微小情況下的邊界層問題（如Prandtl方程）。 化學反應動力學中反應速率差異巨大的係統。 經典物理學中波傳播的半經典極限。 理論嚴謹性與實用價值 本書的顯著特點在於其理論的嚴謹性。它不僅僅停留在“如何計算”的層麵，更強調“為什麼有效”的數學證明。每一個漸近構造的步驟都伴隨著對誤差項的嚴格控製和估計，確保所得到的漸近級數確實能夠描述方程解在特定極限下的行為。 《Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations》提供瞭一個強大的分析工具箱，使用戶能夠有效地處理那些看似無解的復雜微分方程，將理論分析轉化為可量化的、具有工程意義的近似結果。它不僅是微分方程理論研究者的重要參考書，也是解決實際工程難題的必備手冊。