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图书基本信息

Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations
作者： Wolfgang Wasow;
ISBN13： 9780486824581
类型： 平装(简装书)
语种： 英语（English）
出版日期： 2018-04-27
出版社： Dover Publications
页数： 384
重量（克）： 453
尺寸： 21.082 x 13.716 x 2.032 cm

商品简介

"A book of great value ... it should have a profound influence upon future research." -- Mathematical Reviews
In this outstanding text, author Wolfgang Wasow concentrates on the mathematical ideas underlying various asymptotic methods for ordinary differential equations that lead to full, infinite expansions. Starting with some basic properties of linear differential equations in the complex domain, the treatment advances to considerations of regular and irregular singular points, asymptotic power series, generalizations by means of Jordan's canonical form, and some special asymptotic methods.
Subsequent chapters explore asymptotic expansions with respect to a parameter, turning point problems, nonlinear equations, singular perturbations, and integration of differential equations by factorial series. Numerous problems appear throughout the text, which is ideal for course work or self-study.

好的，这是一本名为《Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations》的图书简介。 --- 《Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations》图书简介 概要与核心主题 《Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations》是一部深入探讨常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）渐近展开理论的权威著作。本书旨在为数学、物理学、工程学以及应用科学领域的读者提供一个全面而严谨的框架，用以分析和解决那些无法通过初等函数精确求解的微分方程。 渐近分析是处理微分方程在特定参数或变量趋近于无穷大、零点或其他奇异点时行为的关键工具。本书的核心聚焦于如何构建、验证以及应用各种渐近级数来近似方程的解。它不仅涵盖了基础理论，更深入探讨了处理复杂边值问题和初值问题中的各种技术挑战，特别是在奇异摄动理论（Singular Perturbation Theory）的框架下。 目标读者 本书面向具有扎实的微积分、线性代数以及常微分方程基础知识的研究生、博士后研究人员、资深工程师和应用数学家。它既可作为高级课程的教材，也适用于需要深入理解和应用渐近方法来处理实际工程或物理问题的专业人士。 内容结构与深度剖析 本书的结构围绕渐近展开的建立和应用展开，从基础概念到前沿技术，层层递进。 第一部分：基础与经典方法 1. 渐近级数的引入与基础概念： 本部分首先界定了渐近级数（如Poincaré和Stieltjes意义下的定义），区分了收敛级数与渐近级数的本质区别。重点介绍了如何根据方程的特性（如参数 $epsilon$ 趋于零）来预判解的结构。 2. 常规摄动方法 (Regular Perturbation Theory)： 这是处理渐近展开的起点。本书详细阐述了如何通过代入一个形式为 $y(x, epsilon) = y_0(x) + epsilon y_1(x) + epsilon^2 y_2(x) + dots$ 的级数解来求解方程。内容包括： 零阶近似 (Leading Order Approximation)： 确定方程在 $epsilon=0$ 时的简化形式（即“限制方程”）。 高阶修正项的确定： 逐步求解由每一阶摄动项产生的常微分方程，并处理由此产生的匹配问题（如果存在）。 3. 边界层理论基础 (Introduction to Boundary Layers)： 在常规摄动方法失效时，边界层现象出现。本书引入了几何奇异摄动理论的概念，解释了为什么传统展开会在特定区域失效。 第二部分：奇异摄动理论的核心技术 这是本书最具价值的部分，专注于处理奇异摄动问题，即当 $epsilon$ 趋于零时，方程的解的性质发生质变的情况。 4. 匹配原理与复合展开 (Matching Principle and Composite Expansions)： 本书详细介绍了如何构建内层解 (Inner Solution) 和外层解 (Outer Solution)，并使用匹配原理（如柯西-范德尔波姆方法或特定匹配区域的比较）将两者连接起来，形成一个全局的复合解 (Composite Solution)。 5. 匹配技术的深入探讨： 多重尺度法 (Multiple Scales Method)： 尤其适用于涉及慢变和快变时间尺度的动力学系统。书中演示了如何通过引入新的慢尺度变量来消除解中不希望出现的振荡或指数增长项，从而得到更精确的渐近近似。 WKB 近似法 (Wentzel–Kramers–Brillouin Approximation)： 专门针对二阶线性常微分方程，尤其是在相空间分析中具有重要地位。本书详细推导了WKB公式，并讨论了当经典拐点（Turning Points）存在时的连接公式的构建。 6. 延迟坐标法 (The Method of Matched Asymptotic Expansions for Initial Value Problems)： 针对初值问题中可能出现的快速过渡区域（如冲击波或尖锐的响应），本书阐述了如何应用渐近匹配技术来捕捉这些瞬态行为。 第三部分：特殊情形与高级主题 7. 不连续解与自由边界问题： 探讨了在某些非线性微分方程中，解本身可能存在不连续过渡区域（如分岔点或极限环附近）。书中介绍了如何使用几何方法（如Shishkina方法）来定位这些不连续性。 8. 稳定性和稳定性分析的渐近视角： 渐近展开不仅用于求解，也用于分析解的稳定性。本书展示了如何通过分析高阶摄动项的特性，来评估系统在小扰动下的长期行为。 9. 应用案例的深度解析： 为了巩固理论，本书包含了多个跨学科的应用实例，例如： 流体力学中的雷诺数微小情况下的边界层问题（如Prandtl方程）。 化学反应动力学中反应速率差异巨大的系统。 经典物理学中波传播的半经典极限。 理论严谨性与实用价值 本书的显著特点在于其理论的严谨性。它不仅仅停留在“如何计算”的层面，更强调“为什么有效”的数学证明。每一个渐近构造的步骤都伴随着对误差项的严格控制和估计，确保所得到的渐近级数确实能够描述方程解在特定极限下的行为。 《Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations》提供了一个强大的分析工具箱，使用户能够有效地处理那些看似无解的复杂微分方程，将理论分析转化为可量化的、具有工程意义的近似结果。它不仅是微分方程理论研究者的重要参考书，也是解决实际工程难题的必备手册。