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[美] Robert L.Vaught (R. L. 著

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• 数学基础
• 公理化集合论
• 数学哲学

店铺： 黄金屋图书专营店

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787519200169

商品编码：20092263594

包装：平装

出版时间：2016-06-01

基本信息

书名：集合论导论 第2版

定价：28.00元

作者：(美)Robert L.Vaught (R. L. 沃特)

出版社：世界图书出版公司

出版日期：2016-06-01

ISBN：9787519200169

字数：

页码：

版次：1

装帧：平装

开本：16开

商品重量：0.4kg

编辑推荐

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内容提要

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该书是一本关于集合论的本科生教材，写法生动、有趣、愉悦，至少让学生在自学的时候也感到非常愉悦。第2版对书中的问题作了精解,提升了其作为教材的实用性。目次：前言；引言；集合及其关系运算；基数和有限集；数系;基数;序及序型;公理集合论; 良序、基数及序数；正则公理；逻辑和形式理论；独立性证明；基数和序；附录；文献目录；索引；题解。读者对象：数学专业本科生及科研工作者及数学爱好者。

目录

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作者介绍

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Robert L.Vaught （R. L. 沃特，美国）是学者，在数学界享有盛誉。本书凝聚了作者多年科研和教学成果，适用于科研工作者、高校教师和研究生。

文摘

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序言

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好的，这是一本名为《拓扑学基础》的图书简介，旨在为读者提供一个扎实且直观的拓扑学入门。 --- 拓扑学基础 作者：[虚构作者姓名，例如：李明、王芳] 出版社：[虚构出版社名称，例如：现代数学出版社] 版次：第一版 字数：约 550,000 字 内容简介 《拓扑学基础》是一本旨在系统介绍拓扑学基本概念、核心理论与经典应用的全景式教材。本书的编写遵循从直观感受向严格定义过渡的原则，力求让初学者在建立严谨数学思维的同时，也能体会到拓扑学作为“橡皮泥几何学”的迷人魅力。全书共分七章，逻辑清晰，内容涵盖了点集拓扑学的核心内容，并适当地引入了代数拓扑和微分拓扑的初步概念，为读者后续深入研究提供坚实的阶梯。 第一部分：基础与直观（第1-2章） 第1章 预备知识与度量空间：从距离到邻域 本章首先回顾了集合论、函数与序列的基本概念，为后续的抽象奠定基础。随后，我们引入“度量空间”这一重要的桥梁概念。通过分析实数线、欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 上的标准度量，读者将学习如何理解“开球”、“闭球”以及“距离”如何定义集合的拓扑性质。我们详细讨论了度量诱导拓扑的构造过程，并介绍了开集、闭集、闭包、内部、边界等基本拓扑概念在度量空间中的具体表现。重点分析了序列的收敛性与拓扑结构的关系，为后续引入更抽象的拓扑空间做好了铺垫。 第2章 拓扑空间的建立：抽象的邻域系统 本章是全书的理论核心之一。我们将从度量空间的具体结构中提炼出“拓扑”的本质——邻域系统。本章详细定义了拓扑空间，并系统阐述了拓扑的等价定义方式：基（Base）、基底（Basis）和局部基（Local Basis）。我们着重讲解了如何通过指定开集的集合族来构造一个拓扑，并深入探讨了子空间拓扑、商拓扑（初步介绍）和积拓扑的构造方法。通过丰富的例子，如不可分离拓扑、密着拓扑，读者将体会到拓扑结构的多种可能性。 第二部分：连续性与等价（第3-4章） 第3章 连续性与拓扑同胚：保持结构的映射 在定义了拓扑空间后，我们自然需要定义在这些空间之间保持结构（邻域关系）的函数，即连续映射。本章首先给出连续映射的拓扑定义，并证明其与传统微积分中 $epsilon-delta$ 定义的等价性。随后，我们引入“拓扑同胚”（Homeomorphism）的概念，这是拓扑学中衡量两个空间在拓扑意义上是否“相同”的黄金标准。我们通过构造函数序列，详细分析了常见的拓扑不变量（如连通性、紧致性）如何帮助我们判断两个空间是否不同胚，从而避免了进行复杂的同胚证明。 第4章 连通性：整体性的探索 本章专注于拓扑空间的一个重要性质——连通性。我们首先定义了连通空间、路径连通空间，并探讨了它们之间的关系（路径连通蕴含连通）。本章的核心在于证明“连通集的像在连续映射下仍然是连通的”这一基本定理，并由此引出分支定理（Intermediate Value Theorem）在任意连通空间上的推广。我们详细讨论了在 $mathbb{R}^n$ 中的应用，并引入了“极大连通子集”的概念，为理解复杂空间结构提供了工具。 第三部分：关键结构性质（第5-6章） 第5章 紧致性：有限性的抽象表达 紧致性是拓扑学中最精妙的概念之一，它抽象了实数线上闭区间所具有的“有限覆盖”的性质。本章首先定义了开覆盖和有限子覆盖，随后系统地分析了紧致空间的性质。我们将证明“紧致空间的闭子集是紧致的”，以及“紧致集在连续映射下保持紧致”。特别地，我们深入探讨了 Heine-Borel 定理在 $mathbb{R}^n$ 上的意义，并展示了紧致性在分析学中，例如等度连续性（Arzelà-Ascoli 定理的拓扑雏形）中的关键作用。 第6章 分离公理与完备性：精细化空间结构 本章旨在对拓扑空间进行“分层”，以区分具有良好性质的空间。我们系统介绍了从 $T_0$ 到 $T_4$（豪斯多夫空间）的一系列分离公理。豪斯多夫空间作为拓扑学中应用最广泛的空间类型，其性质得到了详尽的阐述，例如在豪斯多夫空间中，紧致子集必为闭集。随后，我们将视角转向度量空间，引入了 Cauchy 序列的概念，并定义了完备度分组空间。我们详细分析了 Baire 范畴定理及其在函数空间中的重要应用，展示了完备性在函数分析中的基础地位。 第四部分：拓扑学的延伸与应用（第7章） 第7章 从点集到代数：同伦与基本群的初探 为了展示拓扑学的广阔前景，本章作为选读章节，初步介绍了代数拓扑学的基本思想。我们不再局限于点的集合结构，而是引入了“路径”和“环路”的概念。本章核心是直观介绍“基本群”（Fundamental Group）的概念，说明如何通过环路之间的“可收缩性”来区分拓扑空间，例如证明圆周 $S^1$ 与平面 $mathbb{R}^2$ 在拓扑上是不同的。本章旨在激发读者对更高级拓扑分支的学习兴趣，为后续的专业学习打下直觉基础。 本书特色 1. 直观性优先： 每一抽象概念的引入都伴随着 $mathbb{R}^n$ 上的直观几何解释或具体例子。 2. 严谨性保证： 全书定义清晰，证明详实，确保读者能够建立起严格的数学论证能力。 3. 习题设计： 每章后附有难度分层的习题集，包括计算题、证明题和探索性问题，以巩固所学知识并启发思考。 4. 历史脉络： 在关键概念的介绍中穿插了历史背景，帮助读者理解这些概念是如何一步步发展起来的。 《拓扑学基础》不仅是一本合格的入门教材，更是一张通往现代数学各个分支的地图，适合数学专业本科生、研究生，以及任何对空间结构本质感兴趣的理工科领域人士阅读。 ---

评分☆☆☆☆☆

我是在准备研究生入学考试时接触到这本书的，当时市面上推荐的参考书多如牛毛，但唯独这本让我找到了那种“对味了”的感觉。它的逻辑推导过程异常严谨，不像有些教材那样，常常在关键步骤上含糊其辞，用一句“显然如此”就带过去了，让人抓耳挠腮。这本书的作者似乎非常理解初学者的困惑点，每一步从公理到引理，再到最终的定理证明，都做到了步步为营，环环相扣。我尤其喜欢它在引入新概念时，会先从一些直观的、甚至带有哲学意味的思考切入，然后再迅速过渡到形式化的数学语言，这种“先感性认识，后理性把握”的过渡方式，极大地降低了我理解集合论这种高度抽象学科的门槛。有几处关于选择公理的讨论，它并没有简单地陈述其等价命题，而是深入挖掘了其在不同数学分支中的实际影响和争议，这让这本书不仅仅停留在“工具书”的层面，更像是一本引导思考的哲学导论。可以说，正是这种深入骨髓的严谨性和良好的引导性，让我最终决定将它作为我主攻的教材。

评分☆☆☆☆☆

如果要挑剔的话，这本书的初版可能确实存在一些小瑕疵，但第二版在这方面做得相当到位，几乎将所有早期读者指出的问题都进行了修正和完善，这体现了作者对学术反馈的重视。例如，早期版本中对某些涉及超限归纳法的证明，符号的切换略显生硬，但在第二版中，作者增加了一个专门的小节来阐述这种符号切换的规范性，并补充了几个过渡性的例子，使得整个论证链条更加顺滑。此外，针对非数学专业背景的读者，第二版增加了一个非常实用的附录，里面回顾了必要的预备知识，比如逻辑符号和基础集合运算的严格定义，这使得不同知识背景的读者都能相对平顺地进入到核心章节。这种精益求精的态度，让这本书从一本优秀的教材，升级为了一本可以长期作为参考工具书的典范。能看出作者在再版过程中，是抱着对读者负责任的态度，对每一个细节进行了打磨和重塑的。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计着实让人眼前一亮，封面那种带着些许复古气息的深蓝，配上烫金的书名，显得沉稳又不失格调，一看就知道是精心打磨过的作品。初次翻开时，那种纸张细腻的触感也挺舒服，闻着新书特有的油墨香，心情都跟着愉悦起来。虽然内容本身是偏硬核的数学理论，但作者在排版上显然花了不少心思。字体大小适中，行距拉得恰到好处，即使是初学者长时间阅读也不会感到过于吃力。最让我欣赏的是，书中对一些核心概念的定义和定理的陈述，都采用了非常清晰的区块划分，关键术语都有明确的标注和加粗处理，这对于我们这些需要反复查阅和确认细节的读者来说，简直是福音。相比于市面上那些排版密密麻麻、恨不得把所有信息塞进一页的教科书，这本书在“阅读体验”这个维度上，无疑是做到了教科书级别里的一股清流。不过，话说回来，再好的排版也只能是辅助，真正的考验还是接下来的内容本身，但至少，它给了我一个非常好的开始，让我愿意沉下心去啃下那些复杂的符号和公理。

评分☆☆☆☆☆

说实话，这本书的习题设计水平非常高，这可能是我最看重的一点。很多数学书的习题要么过于简单，流于表面，要么就是直接照搬书本例题的变体，缺乏新意。但这本书的习题集明显是经过精心设计的，它不仅仅是用来检验你是否掌握了本章概念的，更像是对该章节知识点进行深度挖掘和拓展的“迷你项目”。举个例子，有一组关于基数运算的题目，它不是让你直接计算某个集合的大小，而是引导你从不同的构造性视角去证明某些等式在特定情况下依然成立，这迫使你必须跳出书本上已有的框架去思考。更棒的是，对于那些难度系数较高的挑战题，书后都有非常详尽的提示，甚至不是直接给出答案，而是点出一条不同的解题思路，这一点对于自学者来说至关重要，它教会你如何“破局”，而不是简单地“抄答案”。通过这套习题的训练，我感觉自己对集合的构造和运算的理解，已经从一个旁观者，变成了可以熟练操作的实践者。

评分☆☆☆☆☆

这本书的作者群展现出了一种非常开阔的学术视野，这使得全书的叙述跳脱出了传统集合论的狭隘框架。我之前读过的几本教材，大多集中在ZFC系统的内部逻辑，探讨点到为止。但这本书明显有所不同，它非常巧妙地穿插了关于集合论在现代数学其他领域应用的实例。例如，在讨论良序定理时，作者没有停留在纯粹的逻辑证明上，而是花了相当大的篇幅去阐述它在泛函分析中如何保证某些算子的存在性，以及在拓扑学中如何构建紧凑集。这种跨学科的视角极大地提升了阅读的趣味性，也让我深刻理解到，集合论作为“数学的语言”，其重要性远超出了它本身的范畴。这种“宏大叙事”的写作风格，让我感觉自己不是在学习一套孤立的公理系统，而是在窥探整个现代数学大厦的底层逻辑结构。这种融合了历史背景、哲学思考和广泛应用的叙事方式，是它区别于其他同类书籍的最显著特征。