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基本信息

商品名称： Singular Points of Complex Hypersurfaces. (Am-61)	出版社： PRINCETON UNIV PR	出版时间：1969-01-21
作者：Milnor, John	译者：	开本：
定价： 759.00	页数：	印次： 1
ISBN号：9780691080659	商品类型：图书	版次：

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精彩书摘

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复杂超曲面的奇异点研究 本书简介 本书深入探讨了复杂超曲面的几何结构、拓扑性质以及其上奇异点的行为。作为代数几何和复分析交叉领域的一部重要著作，本书旨在为研究者和高年级研究生提供一个全面且深入的视角，以理解这些高维空间中不光滑现象的本质。全书结构严谨，论证清晰，从基础概念出发，逐步深入到最前沿的研究课题。 第一部分：基础回顾与复几何概论 第一部分为后续深入研究奠定坚实的基础。我们首先回顾了复流形、复向量丛以及 Kähler 几何的基本概念。对这些工具的熟练掌握是理解复杂超曲面的先决条件。 第一章：复流形与全纯结构 本章详细阐述了复流形的定义、结构层以及各种重要的构造，例如切丛和正切丛的复化。重点讨论了典范丛的性质，以及如何利用它们来构建全局不变量。此外，我们还引入了向量场的全纯结构，并探讨了线丛上的曲率计算方法，为后续的 Chern 类和示差式分析做准备。 第二章：Kähler 几何与度量 Kähler 几何是研究紧致复流形的关键框架。本章聚焦于 Kähler 形式、Ricci 曲率以及与全纯截面相关的度量性质。我们详细分析了 Hodge 理论在复流形上的应用，特别是 Betti 数与代数拓扑之间的深刻联系。通过具体的例子，如射影空间 $mathbb{P}^n$ 上的标准度量，读者将对 Kähler 结构的内在特性有更直观的认识。 第三章：复代数簇与超曲面 本章将视角转向代数背景，介绍复代数簇的定义及其局部性质。我们将复杂超曲面定义为 $mathbb{P}^{n+1}$（或更一般地，某个光滑代数簇 $X$）中的一个低维子集，由一个或一组局部定义的零点集构成。我们关注超曲面的局部结构，特别是其维度和不可约性。 第二部分：奇异点的局部与局部化分析 本书的核心部分集中于复杂超曲面上的奇异点——那些局部结构偏离光滑流形定义的点。奇异点的存在与否，极大地影响了超曲面的全局拓扑和代数性质。 第四章：奇异点的分类与局部规范形 本章致力于局部研究。我们首先定义了孤立奇异点的概念，并介绍了其不变式，如乘积度 (multiplicity) 和局部环的结构。关键在于引入了 Milnor 纤维化理论，用以研究局部结构。对于低维奇异点，我们展示了它们如何通过特定的规范形（如 $mathbb{C}^n$ 上的多项式零点集）来表征。我们将详细分析 $mathbb{C}^2$ 中平面曲线奇异点的经典分类（例如，结点、尖点、多点等）并推广到高维情况。 第五章：正规化与消除奇异点 奇异点的研究往往伴随着“如何消除它们”的尝试。本章探讨了代数几何中的重要工具——正规化（Resolution of Singularities）。我们详细介绍了 Hironaka 的正规化定理，并从几何直观上解释了吹拉（blowing-up）操作如何局部地将奇异点转化为光滑的子簇。对一个给定的奇异超曲面 $Y subset X$，其正规化 $ ilde{Y} o Y$ 是理解其整体拓扑性质的桥梁。 第六章：奇异点的局部拓扑：Milnor 纤维丛 本章深入 Milnor 理论，特别是针对孤立奇点的局部拓扑。我们构建了奇异点附近的 Milnor 纤维丛，并计算了其上同调群。本章的核心结果是 Milnor 不变量，它提供了关于奇点局部几何性质的代数信息。我们还将展示如何利用平移（平移不变性）和局部环的结构来推导出奇异点的性质。 第三部分：奇点与整体拓扑的关联 第三部分将局部奇异点的研究提升到全局超曲面的拓扑层面，探索奇异点如何影响整个流形的整体不变量。 第七章：奇点与典范类 奇异点对典范丛（canonical bundle）有着显著的影响。我们引入了正规化后典范丛的拉回，并研究了由奇点引起的“缺陷”或“修正项”。对于具有简单奇异点（Simple Singularities，如 $ ext{A}, ext{D}, ext{E}$ 族）的超曲面，我们可以利用 Picard-Lefschetz 理论来计算其霍普夫不变量（Hopf Invariants）的修正。 第八章：拉格朗日中介与奇点 在辛几何的背景下，复杂超曲面通常与拉格朗日子流形相关联。本章探讨了在复杂分析中，奇点如何影响拉格朗日中介的存在性与性质。我们分析了局部拉氏结构的退化，以及如何通过奇点来构建与奇点局部结构相关的拓扑映射。 第九章：超越性：奇点的代数几何不变量 本章关注更抽象的代数几何不变量，例如 D-模（D-modules）在奇点处的行为。我们讨论了 Grothendieck 局部化定理在奇点处的应用，以及如何通过奇点处的局部霍莫同态来计算整体的相交理论。书中将特别关注奇点对 Chow 群的影响，揭示了它们在描述代数循环时的重要性。 第四部分：特殊构造与应用展望 最后一部分将理论应用于具体的例子，并展望了当前研究的前沿领域。 第十章：多重覆盖与分支结构 我们将复杂超曲面视为某个更高维流形的局部覆盖，并研究其分支结构。重点分析了分支集的拓扑性质，以及如何利用分支覆盖的代数不变式来推导出基空间的几何信息。这一部分对研究 Riemann 曲面和多值函数有直接的应用。 第十一章：奇异点在动力系统中的体现 在某些情况下，复杂超曲面的奇异点与复动力系统中的稳定性问题紧密相关。本章将展示如何将奇点分析工具应用于迭代函数的局部行为分析，例如复二次多项式的菊池-马蒂纽（Mandelbrot Set）的边界分析，虽然本书主要聚焦于经典代数几何，但此章提供了一个重要的跨学科视角。 第十二章：前沿课题综述 本书以对当前研究热点的综述作结。我们将简要介绍奇点理论在极小模型纲领（Minimal Model Program, MMP）中的作用，特别是在 Mori 纲领中对典范除数的研究。此外，还将探讨与奇点相关的镜像对称（Mirror Symmetry）猜想的几何起源，强调复杂超曲面奇异点研究在数学物理中的持续影响力。 读者对象： 本书适合具备扎实的复分析、代数几何和微分几何基础的数学专业研究生、博士后研究人员以及相关领域的资深学者。阅读本书需要对代数拓扑和概形理论有初步的了解。本书提供的不仅仅是知识的堆砌，更是一种严谨的数学思维训练。