高等数学（本科少学时类型 第4版 下册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

内容简介

　　《高等数学（本科少学时类型 第4版 下册）》分上、下两册出版。上册6章，内容为函数与极限，一元函数微积分，微分方程；下册4章，内容为向量代数与空间解析几何，多元函数微积分，无穷级数。
　　《高等数学（本科少学时类型 第4版 下册）》按照适当降低理论深度，突出微积分中实用的分析和运算方法，着重基本技能的训练而不过分追求技巧的思想，对第二版做了修订。参照专科教学基本要求，对原书内容作了少量增删；结构上作了适当调整；删去了某些要求过高的习题，增加了突出基本训练的题目，增加了便于阶段复习的章复习题，使之更适应《高等数学（本科少学时类型 第4版 下册）》的使用要求，《高等数学（本科少学时类型 第4版 下册）》可作工科本科少学时专业和专科的教材或参考书。

内页插图

目录

第七章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念
二、向量的加减法
三、向量与数的乘法
习题7-1
第二节 点的坐标与向量的坐标
一、空间直角坐标系
二、利用坐标作向量的线性运算
三、向量的模、两点间的距离
四、向量的方向角与方向余弦
五、向量的投影
习题7-2
第三节 数量积·向量积混合积
一、两向量的数量积
二、两向量的向量积
*三、向量的混合积
习题7-3
第四节 平面及其方程
一、点的轨迹·方程的概念
二、平面的点法式方程
三、平面的一般方程
四、两平面的夹角
习题7-4
第五节 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程
二、空间直线的点向式方程与参数方程
三、两直线的夹角
四、直线与平面的夹角
五、综合举例
习题7-5
第六节 曲面及其方程
一、柱面
二、旋转曲面
三、二次曲面
习题7-6
第七节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
二、空间曲线的参数方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
习题7-7

第七章 复习题

第八章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的基本概念
一、多元函数的概念·区域
二、多元函数的极限
三、多元函数的连续性
习题8-1
第二节 偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
二、高阶偏导数
习题8-2
第三节 全微分
习题8-3
第四节 多元复合函数的求导法则
习题8-4
第五节 隐函数的求导公式
习题8-5
第六节 多元函数微分法的几何应用举例
一、空间曲线的切线与法平面
二、曲面的切平面与法线
习题8-6
第七节 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值及最大值、最小值
二、条件极值
习题8-7

第八章 复习题

第九章 重积分及曲线积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、曲顶柱体的体积与二重积分
二重积分的性质
习题9-1
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
习题9-2
第三节 二重积分的应用
一、曲面的面积
二、平面薄片的质心
三、平面薄片的转动惯量
习题9-3
*第四节 三重积分
一、三重积分的概念
二、三重积分的计算法
'习题9-4
*第五节 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念
二、对弧长的曲线积分的计算法
*习题9-5
*第六节 对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念
二、对坐标的曲线积分的计算法
*习题9-6
*第七节 格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
*习题9-7

第九章 复习题

第十章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念与性质
一、常数项级数的定义
二、级数的性质
习题10-1
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
三、绝对收敛与条件收敛
习题10-2
第三节 幂级数
一、函数项级数的一般概念
二、幂级数及其收敛区间
三、幂级数的运算
习题10-3
第四节 函数展开成幂级数
习题10-4
*第五节 幂级数在近似计算中的应用
*习题10-5

第十章 复习题
附录 二阶和三阶行列式简介

思考题答案
习题答案

高等数学（本科少学时类型 第4版 下册） 一、 内容概述 本书是“高等数学（本科少学时类型 第4版）”系列的下册，旨在为普通高等院校理工科专业以及其他需要学习高等数学的专业提供一门内容精炼、重点突出、易于掌握的数学基础课程。本册内容紧承上册，重点涵盖了微分方程、多变量微积分（包括多元函数微分学与积分学）、向量分析、无穷级数以及概率论与数理统计等核心数学概念和方法。全书在保持高等数学严谨性的同时，更加注重理论与实际应用的结合，力求使学生在有限的学时内，能够扎实掌握解决各类工程技术和科学研究中常见数学问题的基本工具和思想方法。 二、 章节详述 第一部分：微分方程 本部分是整个高等数学体系中解决动态问题和模型构建的关键。我们将从基本概念入手，系统介绍常微分方程的解法和理论。 常微分方程概论： 概念与分类： 引入微分方程的基本定义，如阶、线性、齐次与非齐次等概念，明确微分方程在描述自然界和社会现象中的重要作用，例如物理系统的运动、生物种群的生长、经济模型的变化等。 基本概念： 详细解释解、通解、特解、初值问题等基本术语，为后续学习奠定基础。 解的存在唯一性定理： 介绍在何种条件下，微分方程的解是存在的且唯一的，这是理论分析和数值计算的基础。 一阶微分方程的解法： 可分离变量方程： 讲解一类最简单的微分方程，通过变量分离即可求解，并给出具体例子。 齐次方程： 介绍适用于形如 $y' = f(y/x)$ 的方程，通常通过变量替换转化为可分离变量方程。 线性方程： 重点讲解一阶线性微分方程的解法，包括常系数和变系数两种情况，其中常系数线性方程通过积分因子法求解，变系数线性方程则需要更一般的积分因子方法。 全微分方程： 讲解当微分方程满足特定条件时，可以通过寻找一个势函数来求解，即全微分方程的判定与求解。 伯努利方程： 介绍一类特殊的非线性方程，通过变量替换可转化为线性方程。 高阶线性微分方程： 概念与性质： 引入二阶及更高阶线性微分方程，强调线性叠加原理等基本性质。 常系数齐次线性微分方程： 这是最重要的一类，详细介绍特征方程法，包括不同根、重根、复根的情况，并推导通解形式。 常系数非齐次线性微分方程： 讲解如何求解非齐次方程，通常采用待定系数法或常数变易法，并强调特解的求法。 降阶法： 在某些特殊情况下，可以将高阶方程转化为低阶方程进行求解。 微分方程组： 概念与解法： 介绍由多个微分方程组成的方程组，重点讲解线性微分方程组的解法，通常通过矩阵方法（如特征值与特征向量）求解。 应用举例： 通过实际问题，如电路分析、力学振动、化学反应速率等，展示微分方程在工程和科学中的实际应用，加深学生对理论的理解。 第二部分：多变量微积分 本部分将研究涉及多个自变量的函数，包括它们的极限、连续性、微分和积分，是描述三维空间及更高维度现象的基础。 多元函数微分学： 概念与几何意义： 引入二元及多元函数的概念，讨论它们的定义域、图像（曲面）和几何意义。 极限与连续： 推广单变量函数的极限与连续性概念到多元函数，讨论极限存在的条件和连续性的性质，以及在实际问题中如何判断函数的连续性。 偏导数： 讲解偏导数的定义，即保持除一个自变量外其余自变量不变时，对该自变量的微分。强调偏导数刻画了函数沿着坐标轴方向的变化率。 全微分： 介绍全微分的概念，它是函数在某点附近变化量的线性主部，是判断函数可微性的关键。 可微性与偏导数的关系： 深入探讨函数可微的条件，以及偏导数存在是否能推出函数可微。 多元函数求导法则： 链式法则： 讲解复合多元函数求导的链式法则，这在处理复杂函数关系时至关重要。 方向导数与梯度： 定义方向导数，表示函数沿着任意方向的变化率。引入梯度向量，它指示了函数增长最快的方向，并且其模长即为该方向上的最大方向导数。 高阶偏导数： 介绍二阶及更高阶偏导数，并讨论混合偏导数在某些条件下相等（如 Clairaut 定理）。 泰勒公式： 推广单变量泰勒公式到多元函数，用于函数在某点附近进行局部近似，是数值计算和理论分析的重要工具。 极值问题： 无条件极值： 讲解如何利用偏导数求解函数的局部最大值和最小值，包括驻点和二阶偏导数判别法。 条件极值（拉格朗日乘数法）： 介绍求解约束条件下的极值问题，拉格朗日乘数法是一种强大的通用方法。 多元函数积分学： 重积分： 二重积分的计算： 讲解二重积分的概念和计算方法，通常转化为累次积分（先对一个变量积分，再对另一个变量积分）。 积分区域的变换： 介绍如何利用坐标变换（如极坐标变换）简化二重积分的计算。 三重积分： 推广到三重积分，并介绍其计算方法和在物理学、工程学中的应用（如体积、质量、重心计算）。 曲线积分与曲面积分： 第一类曲线积分（对弧长积分）： 讲解沿着曲线对函数进行积分，常用于计算曲线的质量、质心等。 第二类曲线积分（对坐标积分）： 讲解沿着曲线对变量的微分进行积分，常用于计算功、环量等。 格林公式： 连接平面区域上的二重积分与区域边界上的曲线积分，是重要的理论工具。 第一类曲面积分（对面积积分）： 讲解在曲面上对函数进行积分，常用于计算曲面的质量、质心等。 第二类曲面积分（对坐标曲面积分）： 讲解在曲面上对向量场的通量进行积分，常用于计算流体流量等。 高斯公式（散度定理）： 连接空间区域上的三重积分与区域边界曲面上的曲面积分，是三维空间中的核心定理。 斯托克斯公式（旋度定理）： 连接曲面上的曲面积分与曲面边界上的曲线积分，是向量分析中的重要工具。 第三部分：无穷级数 本部分将研究无限项的和，这是将离散序列的性质推广到连续变化的基础，在函数逼近、数值计算和物理建模中发挥着核心作用。 数项级数： 概念与收敛性： 定义数项级数，介绍收敛、发散、部分和等概念。 收敛判别法： 详细介绍各种判别级数收敛性的方法，包括： 比较判别法： 通过比较已知级数来判断待判别级数的收敛性。 比值判别法和根值判别法： 适用于具有比例或指数形式的级数。 积分判别法： 将级数的收敛性与一个积分的收敛性联系起来。 交错级数判别法： 适用于符号交替出现的级数。 绝对收敛与条件收敛： 区分级数绝对收敛和条件收敛的含义及重要性。 调和级数、p-级数： 讨论一些重要的特殊级数及其收敛性。 幂级数： 概念与收敛域： 介绍幂级数，即以变量的幂为项的级数，重点讲解其收敛域的确定。 函数展开成幂级数： 介绍如何将常见函数（如指数函数、三角函数、对数函数）展开成幂级数，即泰勒展开。 函数项级数与一致收敛： 简单介绍函数项级数的概念，并引入一致收敛的概念，它保证了在极限运算中的某些性质。 泰勒级数与麦克劳林级数： 深入讲解泰勒级数，它提供了将函数表示为无穷多项式的方法，是函数逼近和分析的重要工具。 傅里叶级数（简要介绍，根据少学时课程安排）： 概念与基本思想： 介绍傅里叶级数是将周期函数表示为三角函数（正弦和余弦）级数的一种方法，在信号处理、热传导等领域有广泛应用。 第四部分：概率论与数理统计（入门） 本部分将介绍概率论的基本概念，为理解随机现象和进行数据分析打下基础，为后续学习统计学提供必要的数学工具。 随机事件与概率： 随机事件的定义与运算： 介绍必然事件、不可能事件、随机事件，以及事件的并、交、差、补等运算。 概率的定义与性质： 介绍概率的公理化定义，以及概率的基本性质，如非负性、规范性、可加性等。 条件概率与独立性： 讲解条件概率的概念，以及事件之间的独立性判断。 全概率公式与贝叶斯公式： 介绍这两个重要的概率计算公式，在复杂事件的概率计算中非常有用。 随机变量及其分布： 离散型随机变量： 介绍离散型随机变量及其概率分布列，以及数学期望和方差的概念。 连续型随机变量： 介绍连续型随机变量及其概率密度函数，以及数学期望和方差的概念。 常见分布： 介绍二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布等基本概率分布。 多维随机变量（简要介绍）： 介绍二维随机变量及其联合分布、边缘分布、条件分布的概念。 数理统计初步： 统计量： 介绍样本均值、样本方差等统计量的概念。 参数估计（简要介绍）： 介绍点估计和区间估计的基本思想。 假设检验（简要介绍）： 介绍假设检验的基本思想和步骤。 三、 教学目标与特色 本书的编写遵循“精讲多练、突出重点、强化应用”的原则。 教学目标： 使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法。 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。 为后续专业课程的学习奠定必要的数学基础。 提升学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和空间想象能力。 本书特色： 内容精炼： 针对少学时特点，对内容进行了优化和筛选，突出核心知识点。 理论与实践结合： 大量选取了贴近工程实际和社会应用的例题和习题，帮助学生理解数学的实用性。 由浅入深： 概念引入清晰，推导过程详略得当，难度循序渐进。 配套习题： 每章配有大量不同难度和类型的习题，包括概念题、计算题和应用题，方便学生巩固和提高。 语言风格： 力求语言平实、准确，避免过于晦涩的表达，便于学生理解和接受。 四、 适用对象 本书适用于普通高等院校理工科专业以及其他对高等数学有需求的专业，尤其是学时相对较少的专业。 五、 结语 “高等数学（本科少学时类型 第4版 下册）”致力于为学生提供一个扎实、高效的学习平台，帮助他们在有限的时间内，建立起坚实的数学基础，为未来的学习和工作打下坚实的基础。掌握本书内容，将为学生解决复杂的工程问题、进行科学研究以及理解更高级的数学理论提供重要的支撑。