二阶椭圆型方程与椭圆型方程组 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

内容简介

　　《二阶椭圆型方程与椭圆型方程组》是作者根据1985年在南开数学研究所举办的“偏微年”活动中授课的讲稿，并吸取了当时来访的国外专家讲学的新内容编写而成的。
　　《二阶椭圆型方程与椭圆型方程组》共分两部分：第1部分全面介绍二阶椭圆型方程Dirichlet问题的各种先验估计方法，包含近年来出现的新技巧，并讨论线性方程、拟线性方程以及完全非线性方程Dirichlet问题的可解性：第2部分介绍线性和非线性椭圆型方程组Dirichlet问题弱解的存在性和正则性。
　　《二阶椭圆型方程与椭圆型方程组》可供大学数学系学生、研究生、教师和有关的科学工作者参考。

内页插图

目录

前言/序言

　　二阶椭圆型偏微分方程与方程组是研究偏微分方程的重要基础，因此1985年在南开数学研究所举办的“偏微年”活动中被列为研究生的基本课程之一，当时，作者应邀给研究生讲授这一课程，同时，南开数学研究所还邀请了许多国外知名学者来所讲学，为该课程提供了许多最新的研究成果，这本书就是在作者授课的讲稿基础上，吸取了国外专家讲学的最新内容写成的。
　　二阶椭圆型偏微分方程与方程组在国外已有很好的专著，有些已有中译本，如本书参考文献所列入的[GT]，[LU]与[GQl]等，它们已相当完整地介绍了这一方面的内容，但是它们一般结构庞大，初学者不易入门，不适宜作为教材。编写本书的目的是希望提供一本研究生的教材。本书既包含这一方面的基本内容，又包含20世纪80年代以来出现的最新成果与方法，使研究生能够尽快地到达研究这一课题的前沿，
　　本书共分两部分，第一部分全面地介绍二阶椭圆型方程Dirichlet问题的各种先验估计方法，并在不太长的篇幅里，比较详细地介绍20世纪80年代出现的Krylov-Safonov估计与完全非线性椭圆型方程的研究结果。第二部分介绍线性和非线性椭圆方程组Dirichlet问题弱解的存在性与正则性理论。在附录1中列出本书所需要的Sobolev空间的知识。为使主要内容更为突出，我们把一些定理，如Stampacchia内插定理与反向Holder不等式等的证明，都放在附录中。
　　由于作者学识有限，错误与不妥之处在所难免，希望读者提出宝贵意见。
　　最后我们应当指出，姜礼尚教授领导的北京大学偏微分方程讨论班对本书稿的形成起了重要的作用，在此我们向姜礼尚教授以及对讨论班做出过贡献的同志表示深切的谢意。此外，我们还要衷心地感谢吉林大学的王光烈副教授，他认真地审阅了本书稿，并提出了许多宝贵的意见。

现代数学中的精深探索：偏微分方程的专题研究 图书名称： 现代数学中的精深探索：偏微分方程的专题研究 内容简介 本书聚焦于偏微分方程（Partial Differential Equations, PDE）领域中几个至关重要且极具挑战性的专题，旨在为高年级本科生、研究生以及科研人员提供一套系统、深入且富有洞察力的分析工具与理论框架。本书的组织结构力求逻辑清晰，内容涵盖从基础理论的重新审视到前沿应用的细致剖析，强调严格的数学证明、直观的物理意义阐释以及必要的计算技巧介绍。 全书分为五大部分，共计十五章，每一部分都围绕一个核心的数学对象或分析方法展开深度论述。 --- 第一部分：基础理论与泛函分析的桥梁（第1章至第3章） 本部分旨在巩固和拓展读者在PDE分析中所必需的泛函分析基础，并引入现代PDE理论的基石——弱解概念。 第1章：Sobolev空间及其嵌入定理的精微考察 本章深入探讨了标准 $L^p$ 空间、H"older 空间以及 Sobolev 空间的构造、性质和相互关系。重点讨论了 Sobolev 嵌入定理（包括Rellich-Kondrachov定理）的各种变体及其在建立解的存在性时的关键作用。我们将详细分析分数阶导数的定义、性质及其在非光滑函数空间中的意义，为后续处理非光滑边界或源项打下坚实基础。 第2章：分布理论与弱解的建立 本章从 Schwartz 分布的概念出发，系统阐述了如何从物理或几何角度理解“弱导数”。随后，本章的核心工作是建立线性偏微分方程的弱解概念，并利用能量方法（如 Lax-Milgram 定理和 Hille-Yosida 理论的初步应用）证明边值问题的解的存在性与唯一性。本章对能量泛函的构造和先验估计（如 $L^2$ 估计）的推导过程进行了详尽的梳理。 第3章：最大值原理的几何与分析含义 本章专注于描述解的“边界行为”和“内部限制”的最大值原理。我们不仅会严格证明经典的最大值原理（应用于椭圆型方程），还会探讨修正后的最大值原理，例如在非均匀项存在或系数不规则时的应用。通过分析最大值原理，读者将能深刻理解解的稳定性与物理约束。 --- 第二部分：线性椭圆型方程的理论深度（第4章至第6章） 本部分是全书的核心理论支撑，重点剖析了二阶线性椭圆型方程的经典理论。 第4章：椭圆型方程的正则性理论：Hölder 连续性 本章致力于证明弱解的正则性提升。我们将运用 De Giorgi-Nash-Moser 理论的简化版本（或经典的 Harnack 估计的推导）来证明，定常的、齐次的线性椭圆型方程的弱解在光滑区域内即为经典的 $C^{2,alpha}$ 解。本章的难点在于对迭代过程中的局部估计的精确控制。 第5章：非齐次线性方程的构造性解法 本章转向非齐次问题的具体求解。主要讨论格林函数（Green’s Function）的构造与性质。我们将详细分析拉普拉斯算子的格林函数及其在 $mathbb{R}^n$ 和有界区域中的形式，并展示如何利用格林函数表示解，尤其关注其在边界积分方程中的应用。 第6章：算子理论与谱分析 本章将PDE问题提升到算子理论的视角。我们考察自伴随椭圆型算子（如 $-Delta$）在 $L^2$ 空间上的性质。重点分析算子的离散谱（特征值问题）及其对应的特征函数（本征函数）的完备性与正交性。这部分内容为后续讨论波动与扩散现象的稳定性提供了数学基础。 --- 第三部分：非线性方程的挑战与变分方法（第7章至第9章） 本部分将分析焦点转向高度非线性的偏微分方程，变分法成为主要的研究工具。 第7章：变分法基础与直接法 本章介绍欧拉-拉格朗日方程的推导，并详细阐述变分法的“直接法”——即通过最小化能量泛函来构造解。我们将严格讨论函数空间的选择（特别是尝试使用 $W^{1,p}$ 空间），以及收敛性的建立，包括下半连续性、紧性论证（如对角线论证）的应用。 第8章：非线性泊松方程的拓扑方法 针对形如 $-Delta u = f(x, u)$ 的非线性泊松方程，本章引入拓扑度理论和山路定理（Mountain Pass Theorem）等先进工具。我们将讨论如何利用这些工具来证明某些非线性项存在多个解，特别是研究基态解的存在性。 第9章：拟线性方程的尖锐估计与奇异性 本章关注具有非线性梯度项（如 $Delta_p u = | abla u|^{p-2} Delta u$）的拟线性方程。我们将深入探讨 $p$-拉普拉斯算子的性质，特别是其在 $p eq 2$ 时导致的解的“尖锐”正则性（如磨光效应的减弱），以及在某些参数下解可能出现的奇性结构。 --- 第四部分：演化方程的结构分析（第10章至第12章） 本部分将视线投向时间依赖的演化问题，主要分析抛物型与双曲型方程的性质。 第10章：抛物型方程的解的平滑性与热核 本章以热方程（或扩散方程）为核心模型，深入分析热核（Fundamental Solution/Heat Kernel）的构造、高斯估计及其在解的表示中的作用。我们将证明弱解（在适当的 Sobolev-Slobodetsky 空间中定义）的正则性提升，并阐释解如何随时间“平滑”演化。 第11章：双曲型方程：波的传播与能量守恒 本章关注波动方程的适定性。重点在于证明具有光滑初始条件的经典解的存在性与唯一性（利用 D'Alembert 公式及其高维推广，如 Huygens 原理）。同时，本章将严格分析双曲方程的能量泛函，证明能量在没有耗散项时是守恒的。 第12章：混合型方程与奇性传播 本章探讨抛物与双曲特性的混合问题，特别是含有对流项（Advection term）的方程。我们将分析对流项如何影响解的传播速度和信息传递，并讨论在某些情况下，初始条件的奇性如何沿着特征线传播而不被平滑掉的现象。 --- 第五部分：高级主题与数学物理中的应用（第13章至第15章） 本部分将理论框架应用于更复杂的数学物理模型，并介绍当前研究的前沿课题。 第13章：随机偏微分方程导论 本章提供随机微分方程（Stochastic PDE, SPDE）的初步介绍。我们将探讨如何将白噪声作为源项引入扩散方程，并使用伊藤积分和随机微积分的基本工具来定义和分析这些方程的弱解（如随机热方程）。 第14章：界面问题与自由边界 本章关注涉及相变或非光滑自由边界的方程模型（如 Stefan 问题）。本章侧重于处理解的非连续性，并介绍变分不等式（Variational Inequalities）作为处理此类问题的强大工具，特别是凸集上的变分原理。 第15章：高维与几何背景下的分析 本章探索在非欧几里得几何背景下（如流形上的拉普拉斯算子）的椭圆型方程的分析。我们将介绍由几何结构引起的边界项或源项对解的影响，并简要回顾如何将 Sobolev 空间推广到黎曼流形上。 本书力求在严格性与可读性之间取得平衡，内容丰富、论证详实，是深入理解现代偏微分方程理论的必备参考书。