　　《微分几何：流形、曲线和曲面（第2版修订本）》主要由法国微分几何学家贝尔热在巴黎大学多年讲授微分几何课程讲稿的基础上编纂而成。
　　《微分几何：流形、曲线和曲面（第2版修订本）》强调几何与分析的有机结合，始终坚持对于分析，揭露其几何实质，而对于几何，则洞察其分析精髓。
　　《微分几何：流形、曲线和曲面（第2版修订本）》对于常微分方程、单位分解、临界点、拓扑度和流形上的微积分等研究微分几何的各种工具做了相当充分的讲解。内容重点是曲线的局部和整体理论，对于曲面的局部和整体理论则做了比较全面的概述，而对于其详尽的证明则推荐相关的文献供读者查阅。书中配备了丰富的习题。
　　《微分几何：流形、曲线和曲面（第2版修订本）》是基础数学和应用数学系本科生乃至其他理工科学生学习微分流形和微分几何的参考书。

作者简介

　　M.贝尔热（Marcel Berger，1927-），著名的法国数学家，法国微分几何老前辈。曾任法国科学高等研究所（IHES）所长。贝尔热教授撰写过多本成功的几何著作，并以书中的精巧论述而见长。

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前言/序言

　　这部著作是由在巴黎于1969～1970年和1970～1971年讲授的《微分几何》课程内容编纂而成。在确定这个课程的内容时，与S.Lang的谈话让我受益匪浅，确定课程的内容和风格的指导思想如下所述：首先避免它成为微分法课程，到达顶峰斯托克斯公式，却再没有时间给出这个公式的应用。其次，在引进概念时，尽可能提供新定义的对象的非平凡的例子。最后，关于流形，对于分析，要领会其几何实质，而对于几何，要洞悉其分析精髓。
　　为了达到这一目标，又要限制在一个合理的篇幅之内，就必须不能在微分法基础上多做停留，而宁肯承认它们，于是就假定读者熟悉大学第二周期的第一年的微分法，或者对于第一周期第二年的大纲内容有深入的理解，比如〔2〕的37章和47到51章（方括号里的数字是书末的文献中的编号）。同样非常希望具备积分论的某些知识。为了读者的方便，第0章包含了后面用到的外代数、微积分学的必要概念和结果。
　　这就是说，本书内容虽说有些局限，但非常接近，〔10〕的内容和〔21〕的第1章，后一著作出版于本书草案制定以后。这种巧合似乎昭示这里陈述的材料构成了1970年的微分几何的核心，此外我不隐瞒，无论结果的选取，还是陈述的风格，我都试图给读者以审美享受，并且尽力以陈述起来既简单又自然的整体的几何定理吸引读者，而不打算给他们提供一个关于流形的基础的、详尽无遗的展示。
　　不求仔细介绍内容，只是指出几个特点：
　　——Rn的子流形，虽然是微分法的大纲内容，即使是第一周期的第二年的大纲的组成部分，本书还是做了详尽叙述，以此作为定义抽象流形的发轫和动机。
　　——接着定义抽象（微分）流形；它是微分几何的基础材料，本书所作的一切都是针对流形的。
　　——随之给出流形的五个例子，它们起着导线的作用，意思是后面会多次遇到它们，它们是：球面，实射影空间，环面，法丛和依附在欧几里得空间的一个子流形上的管形以及曲线，即维数为一的流形。特别要指出法丛构成一个相当微妙和非凡的例子，它见证了微分几何的多种技术的运用，人们在2，6，7，9章初遇而后重逢它。
　　——许多知识性的说明，这是只叙述但未证明后面会用到的基本结果，尤其要提到的是莫尔斯理论。
　　——对曲线给予特别的关注（3，8，9章）。这样做的合理性在于曲线是最简单的流形，并且对于它已经获得了十分完备的结果。
　　——常微分方程的相当充分的阐述：除了因为它在本书某些部分有应用，另一个理由是在学分教育体制下，讲授它的学时越来越少。
　　——对于许多整体结果的重视超过局部性质的详尽证明。
　　一一个重大的缺失：黎曼几何，即使在R3的曲面这一简单情形它也没有露面，坚持这样做的理由是：为了能够表述并证明黎曼几何的整体的和有趣的结果，就不得不营造相当冗长又鲜有启发性的基础。与此形成对照，通过嵌入流形，读者会发现高斯一博内公式的证明（参考7.5.4）
　　本著作可以用作多种教学类型的基础：或者是相当完备的第二周期第二年的微分几何课程，或者是第二周期第一年第二学期的课程，但要求听课的学生勤奋工作并且要及时补充微分法的知识，最后或者是一个初等课程，除了特别要包含关于曲线的最后两章，再包含一些他们个人所需的章节，条件是§7。6要直接论述。
　　对于习题，除一部分简单地要求证明正文中留下的、容易证明的一些断语之外，大部分是相当具体的例子，从十分容易的到十分困难的。如果不考虑非法语著作，它们尽可能是原始的。更多的习题，请读者参照〔10〕和〔14〕。
　　对于希望拓广或补充本书内容的读者，着重推荐下列著作：〔14〕，〔10〕，〔21〕，〔19〕，〔12〕，〔16〕，〔11〕，〔33〕，〔35〕以及参考文献非常完备的由〔32〕和〔18〕组成的著作。
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