大學生數學競賽指導全書（非數學類） 下載 mobi epub pdf 電子書 2026

內容簡介

　　《大學生數學競賽指導全書（非數學類）》緊扣大學生數學競賽的大綱，層次鮮明，邏輯性強，知識點全麵但不煩瑣。《大學生數學競賽指導全書（非數學類）》共10章，包括函數、極限與連續，一元函數微分學，一元函數積分學，空間解析幾何與多元函數微分學，多元函數積分學，常微分方程，無窮級數，行列式、矩陣與嚮量，綫性方程組，矩陣的特徵值、特徵嚮量與二次型.

內頁插圖

目錄

目錄
前言
第1章 函數、極限與連續 1
1.1 內容概要 1
1.2 例題選講 11
1.3 競賽訓練題 24
1.4 參考答案 26
第2章 一元函數微分學 28
2.1 內容概要 28
2.2 例題選講 37
2.3 競賽訓練題 52
2.4 參考答案 53
第3章 一元函數積分學 54
3.1 內容概要 54
3.2 例題選講 64
3.3 競賽訓練題 77
3.4 參考答案 79
第4章 空間解析幾何與多元函數微分學 86
4.1 內容概要 86
4.2 例題選講 96
4.3 競賽訓練題 126
4.4 參考答案 129
第5章 多元函數積分學 131
5.1 內容概要 131
5.2 例題選講 140
5.3 競賽訓練題 153
5.4 參考答案 156
第6章 常微分方程 164
6.1 內容概要 164
6.2 例題選講 170
6.3 競賽訓練題 184
6.4 參考答案 185
第7章 無窮級數 189
7.1 內容概要 189
7.2 例題選講 201
7.3 競賽訓練題 217
7.4 參考答案 219
第8章 行列式、矩陣與嚮量 226
8.1 內容概要 226
8.2 例題選講 237
8.3 競賽訓練題 280
8.4 參考答案 285
第9章 綫性方程組 288
9.1 內容概要 288
9.2 例題選講 294
9.3 競賽訓練題 308
9.4 參考答案 310
第10章 矩陣的特徵值、特徵嚮量與二次型 315
10.1 內容概要 315
10.2 例題選講 324
10.3 競賽訓練題 349
10.4 參考答案 351

前言/序言

　　全國大學生數學競賽（the Chinese Mathematics Competitions，CMC）自2009年開始已曆經七屆，作為一項麵嚮本科生的全國性高水平學科競賽，大學生數學競賽活動為青年學子提供瞭一個展示基礎知識掌握程度和思維能力的舞颱，對高等學校培養人纔，促進數學課程的改革與建設，增強大學生學習數學的興趣，培養大學生的創新精神和應用能力有著重要的意義.但目前針對大學生數學競賽輔導的教材很少，有必要編寫一本適閤理工科學生參加數學競賽的教材.
　　《大學生數學競賽指導全書（非數學類）》緊扣大學生數學競賽的大綱，全書共10章，包括函數、極限與連續，一元函數微分學，一元函數積分學，空間解析幾何與多元函數微分學，多元函數積分學，常微分方程，無窮級數，行列式、矩陣與嚮量，綫性方程組，矩陣的特徵值、特徵嚮量與二次型.每章由內容概要、例題選講、競賽訓練題和參考答案四部分組成.通過具體的實例，使讀者一步一步地隨著作者的思路來完成數學競賽知識點的學習，書中所給例題具有技巧性而又對知識點做瞭集結，符閤競賽試題特點，主要競賽知識點都有體現，可使讀者思路暢達，將所學知識融會貫通，靈活運用，以達到事半功倍之效。本書可作為本科院校大學生數學競賽的培訓教材以及非數學類專業學生的數學提高課教材，也可作為考研輔導教材.
　　本書由董鞦仙、高文明主持編寫，董鞦仙編寫瞭第1章、第2章，楊玉桃編寫瞭第3章，高文明編寫瞭第4章、第8章，硃嚮洪編寫瞭第5章，吳問娣編寫瞭第6章，劉君編寫瞭第7章，張芳編寫瞭第9章，劉汝良編寫瞭第10章，
　　科學齣版社編輯鬍海霞對本書的編寫給予瞭肯定，為本書的齣版付齣瞭辛勤的勞動，在此錶示衷心感謝.
　　本書的齣版得到南昌大學教務處的資助，在此一並錶示衷心感謝.
　　由於編者水平、經驗有限，書中的不足之處在所難免，懇請讀者提齣寶貴意見.
　　編者
　　2016年12月於南昌大學

大學數學思維訓練與應用進階指南 本書聚焦於培養非數學專業大學生的邏輯推理能力、抽象思維能力以及解決實際問題的數學工具應用能力。旨在幫助學生建立紮實的數學基礎，理解數學思想的精髓，並能將其有效遷移到其他學科的學習與未來職業發展中。 --- 第一部分：基礎鞏固與思維重塑（Foundational Reinforcement and Mindset Reframing） 本部分旨在為基礎薄弱或對數學心存畏懼的學生提供一個友好的切入點，強調數學作為一種思維方式的重要性，而非單純的計算技巧集閤。 第一章：代數思維的深度挖掘與擴展 超越公式的代數本質： 探討變量、錶達式和方程背後的核心邏輯——符號化、抽象化和係統化。不再將代數視為解題步驟，而是理解其作為描述關係和構建模型的語言。 函數概念的泛化與可視化： 從綫性函數到更復雜的非初等函數，重點在於理解函數的輸入-輸齣關係、圖像的幾何意義及其在描述自然和社會現象中的作用。引入“黑箱模型”的概念，強調函數建模的重要性。 不等式與約束條件的邏輯鏈條： 深入研究平均值不等式、柯西不等式等基礎不等式的推導與幾何解釋。重點在於如何將現實世界中的資源限製、效率要求等轉化為精確的數學約束條件，並進行優化判斷。 復習與應用： 針對大學入學數學測試中常見的代數陷阱進行專項剖析，例如對指數和對數性質的濫用，以及在求解過程中忽略瞭定義域的約束。 第二章：幾何直覺與空間想象力的培養 平麵幾何的解析化與代數錶達： 使用坐標係（笛卡爾坐標係、極坐標係）來轉化和解決傳統的純幾何問題。重點訓練學生在代數運算中保持對幾何圖像的直觀感知。 立體幾何的維度轉換與投影： 學習如何從三維對象中提取二維截麵信息，以及如何通過投影來理解復雜空間結構。強調嚮量在描述空間位置和方嚮上的簡潔性與高效性。 變換的幾何學： 介紹平移、鏇轉、反射、縮放等剛體和相似變換，理解這些變換如何保持或改變圖形的內在屬性。這為後續學習綫性代數中的矩陣變換打下直觀基礎。 非歐幾何的初步概念（選讀）： 簡要介紹球麵幾何或雙麯幾何的基本思想，拓寬學生對“空間”定義的認知邊界，培養批判性思維。 第三章：數論的趣味與嚴謹性訓練 整數的結構與性質： 深入理解最大公約數、最小公倍數、歐幾裏得算法（輾轉相除法）的邏輯效率。 同餘關係的建立與應用： 介紹模運算的性質，並將其應用於日曆計算、密碼學基礎概念（如RSA的簡化原理）以及周期性問題的分析中。 素數的奧秘： 探討素數的分布特點，理解素數在構建整數係統中的基石地位，而非僅僅停留在質數的定義層麵。 --- 第二部分：微積分的理論核心與跨學科橋梁（Core Calculus Theory and Interdisciplinary Bridging） 本部分將微積分視為描述“變化”和“積纍”的語言，側重於理解極限背後的嚴格定義和導數、積分在建模中的實際意義，而非繁瑣的求導技巧。 第四章：極限——一切分析的基石 $epsilon-delta$ 語言的真正含義： 詳細解析極限的 $epsilon-delta$ 定義，強調其在保證數學嚴謹性方麵的作用。通過直觀的幾何解釋（“圍堵”過程）幫助非數學專業學生剋服對這種符號錶示的恐懼。 連續性的深度解讀： 將連續性與函數的“不間斷變化”聯係起來。探討不連續點（跳躍、無窮大、可去間斷點）在現實世界中可能代錶的物理或經濟意義。 無窮序列與級數的基礎判斷： 介紹收斂與發散的概念。重點放在比值檢驗、根值檢驗等實用判據，並初步介紹泰勒展開式作為函數逼近工具的強大威力。 第五章：導數——速率、斜率與優化 導數的定義與物理意義的統一： 從平均變化率到瞬時變化率的過渡，強調導數是描述係統在特定瞬間行為的精確工具。 導數的幾何應用： 深入探討切綫、法綫，以及利用導數分析函數的單調性、極值點和凹凸性。 最優化問題的數學建模： 選取經濟學中的利潤最大化、工程學中的材料最省化等經典案例，展示如何設定目標函數並利用一階、二階導數找到全局最優解。 反函數與復閤函數的求導法則的邏輯推導： 強調鏈式法則的普適性，理解它是處理多層依賴關係的關鍵。 第六章：積分——纍積、麵積與平均值的量化 定積分的黎曼和思想： 強調定積分是通過無限細分的“小塊”之和來精確計算總量的過程。通過麵積、體積、功、流量等實例，固化積分的“纍積效應”概念。 微積分基本定理的結構： 深入解析微積分基本定理，它揭示瞭求導與積分的互逆關係，是整個微積分體係的粘閤劑。 不定積分與技巧： 側重於基本積分公式的記憶與應用，以及分部積分法、變量代換法在簡化復雜積分錶達式中的邏輯步驟。 積分在統計學中的初步應用： 簡要介紹連續概率密度函數下的概率計算，為統計學課程打下必要的積分基礎。 --- 第三部分：多元分析與實際問題的推廣（Multivariable Analysis and Practical Extension） 本部分將單變量的分析方法推廣到多個變量的情況，強調多維空間中的分析工具對於處理復雜係統的必要性。 第七章：嚮量與綫性代數基礎概念的幾何化 嚮量的運算與意義： 從幾何上的位移、力到代數上的有序數組，理解嚮量的加減法、數乘的幾何含義。 點積與叉積的物理解讀： 點積（內積）用於衡量兩個嚮量的“相似度”或投影關係（如功的計算）；叉積（外積）用於描述垂直關係或力矩。 矩陣的本質：綫性變換的錶達： 將矩陣視為一種對空間進行綫性操作的“機器”。重點理解矩陣乘法如何組閤不同的變換，而不是僅僅記住乘法規則。 綫性方程組的幾何解釋： 理解方程組無解、有唯一解或有無窮多解的幾何圖像（相交、平行、重閤），為求解算法的有效性提供直觀依據。 第八章：多元函數微積分的直觀入門 偏導數：隔離變化的視角： 理解偏導數是對其他變量保持不變時，函數對某一個變量的變化率的度量。 梯度嚮量：變化最快的方嚮： 介紹梯度嚮量的定義及其在尋找函數麯麵局部極值點中的核心作用。 多重積分的麵積與體積計算： 將定積分推廣到二維和三維空間，理解二重積分計算麯麵下的體積，三重積分計算質量或總量的概念。 第九章：概率論與數理統計的數學框架（非公式堆砌） 隨機性與確定性的交匯： 區分隨機變量與確定性變量，理解概率分布函數（PDF/PMF）如何用數學精確描述不確定性。 期望與方差的意義： 期望代錶長期平均值，方差衡量分散程度。通過實際案例（如投資組閤風險評估）說明其重要性。 中心極限定理的直覺闡釋： 解釋為什麼大量獨立隨機事件的平均結果會趨近於正態分布，這是統計推斷的理論基石。 迴歸分析的幾何基礎： 簡要介紹最小二乘法如何通過綫性代數（投影）來找到最佳擬閤直綫，實現數據間的關聯性量化。 --- 附錄：數學思維的遷移與反思 本附錄不提供新的解題技巧，而是引導學生迴顧整個學習過程，並將習得的數學思維模式應用於跨學科的學習中。 1. 抽象化訓練： 如何將一個復雜的社會學模型或物理定律提煉成一個簡化的數學錶達式。 2. 邏輯驗證： 學習如何構建“充分必要條件”鏈條，確保結論的每一步推導都基於已證實的公理或前置條件。 3. 反證法與歸謬思想： 掌握通過假設結論不成立，並推導齣矛盾來證明原結論的方法論，培養嚴謹的論證習慣。 4. 工具箱的構建： 總結不同數學工具（如函數、嚮量、積分）適用於描述不同類型的現實問題（變化、方嚮、積纍）。 本書的最終目標是讓讀者將數學視為一種強大的、普適性的思維工具箱，而非僅僅是理工科的必修課內容。