大学生数学竞赛指导全书（非数学类） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

内容简介

　　《大学生数学竞赛指导全书（非数学类）》紧扣大学生数学竞赛的大纲，层次鲜明，逻辑性强，知识点全面但不烦琐。《大学生数学竞赛指导全书（非数学类）》共10章，包括函数、极限与连续，一元函数微分学，一元函数积分学，空间解析几何与多元函数微分学，多元函数积分学，常微分方程，无穷级数，行列式、矩阵与向量，线性方程组，矩阵的特征值、特征向量与二次型.

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目录

目录
前言
第1章 函数、极限与连续 1
1.1 内容概要 1
1.2 例题选讲 11
1.3 竞赛训练题 24
1.4 参考答案 26
第2章 一元函数微分学 28
2.1 内容概要 28
2.2 例题选讲 37
2.3 竞赛训练题 52
2.4 参考答案 53
第3章 一元函数积分学 54
3.1 内容概要 54
3.2 例题选讲 64
3.3 竞赛训练题 77
3.4 参考答案 79
第4章 空间解析几何与多元函数微分学 86
4.1 内容概要 86
4.2 例题选讲 96
4.3 竞赛训练题 126
4.4 参考答案 129
第5章 多元函数积分学 131
5.1 内容概要 131
5.2 例题选讲 140
5.3 竞赛训练题 153
5.4 参考答案 156
第6章 常微分方程 164
6.1 内容概要 164
6.2 例题选讲 170
6.3 竞赛训练题 184
6.4 参考答案 185
第7章 无穷级数 189
7.1 内容概要 189
7.2 例题选讲 201
7.3 竞赛训练题 217
7.4 参考答案 219
第8章 行列式、矩阵与向量 226
8.1 内容概要 226
8.2 例题选讲 237
8.3 竞赛训练题 280
8.4 参考答案 285
第9章 线性方程组 288
9.1 内容概要 288
9.2 例题选讲 294
9.3 竞赛训练题 308
9.4 参考答案 310
第10章 矩阵的特征值、特征向量与二次型 315
10.1 内容概要 315
10.2 例题选讲 324
10.3 竞赛训练题 349
10.4 参考答案 351

前言/序言

　　全国大学生数学竞赛（the Chinese Mathematics Competitions，CMC）自2009年开始已历经七届，作为一项面向本科生的全国性高水平学科竞赛，大学生数学竞赛活动为青年学子提供了一个展示基础知识掌握程度和思维能力的舞台，对高等学校培养人才，促进数学课程的改革与建设，增强大学生学习数学的兴趣，培养大学生的创新精神和应用能力有着重要的意义.但目前针对大学生数学竞赛辅导的教材很少，有必要编写一本适合理工科学生参加数学竞赛的教材.
　　《大学生数学竞赛指导全书（非数学类）》紧扣大学生数学竞赛的大纲，全书共10章，包括函数、极限与连续，一元函数微分学，一元函数积分学，空间解析几何与多元函数微分学，多元函数积分学，常微分方程，无穷级数，行列式、矩阵与向量，线性方程组，矩阵的特征值、特征向量与二次型.每章由内容概要、例题选讲、竞赛训练题和参考答案四部分组成.通过具体的实例，使读者一步一步地随着作者的思路来完成数学竞赛知识点的学习，书中所给例题具有技巧性而又对知识点做了集结，符合竞赛试题特点，主要竞赛知识点都有体现，可使读者思路畅达，将所学知识融会贯通，灵活运用，以达到事半功倍之效。本书可作为本科院校大学生数学竞赛的培训教材以及非数学类专业学生的数学提高课教材，也可作为考研辅导教材.
　　本书由董秋仙、高文明主持编写，董秋仙编写了第1章、第2章，杨玉桃编写了第3章，高文明编写了第4章、第8章，朱向洪编写了第5章，吴问娣编写了第6章，刘君编写了第7章，张芳编写了第9章，刘汝良编写了第10章，
　　科学出版社编辑胡海霞对本书的编写给予了肯定，为本书的出版付出了辛勤的劳动，在此表示衷心感谢.
　　本书的出版得到南昌大学教务处的资助，在此一并表示衷心感谢.
　　由于编者水平、经验有限，书中的不足之处在所难免，恳请读者提出宝贵意见.
　　编者
　　2016年12月于南昌大学

大学数学思维训练与应用进阶指南 本书聚焦于培养非数学专业大学生的逻辑推理能力、抽象思维能力以及解决实际问题的数学工具应用能力。旨在帮助学生建立扎实的数学基础，理解数学思想的精髓，并能将其有效迁移到其他学科的学习与未来职业发展中。 --- 第一部分：基础巩固与思维重塑（Foundational Reinforcement and Mindset Reframing） 本部分旨在为基础薄弱或对数学心存畏惧的学生提供一个友好的切入点，强调数学作为一种思维方式的重要性，而非单纯的计算技巧集合。 第一章：代数思维的深度挖掘与扩展 超越公式的代数本质： 探讨变量、表达式和方程背后的核心逻辑——符号化、抽象化和系统化。不再将代数视为解题步骤，而是理解其作为描述关系和构建模型的语言。 函数概念的泛化与可视化： 从线性函数到更复杂的非初等函数，重点在于理解函数的输入-输出关系、图像的几何意义及其在描述自然和社会现象中的作用。引入“黑箱模型”的概念，强调函数建模的重要性。 不等式与约束条件的逻辑链条： 深入研究平均值不等式、柯西不等式等基础不等式的推导与几何解释。重点在于如何将现实世界中的资源限制、效率要求等转化为精确的数学约束条件，并进行优化判断。 复习与应用： 针对大学入学数学测试中常见的代数陷阱进行专项剖析，例如对指数和对数性质的滥用，以及在求解过程中忽略了定义域的约束。 第二章：几何直觉与空间想象力的培养 平面几何的解析化与代数表达： 使用坐标系（笛卡尔坐标系、极坐标系）来转化和解决传统的纯几何问题。重点训练学生在代数运算中保持对几何图像的直观感知。 立体几何的维度转换与投影： 学习如何从三维对象中提取二维截面信息，以及如何通过投影来理解复杂空间结构。强调向量在描述空间位置和方向上的简洁性与高效性。 变换的几何学： 介绍平移、旋转、反射、缩放等刚体和相似变换，理解这些变换如何保持或改变图形的内在属性。这为后续学习线性代数中的矩阵变换打下直观基础。 非欧几何的初步概念（选读）： 简要介绍球面几何或双曲几何的基本思想，拓宽学生对“空间”定义的认知边界，培养批判性思维。 第三章：数论的趣味与严谨性训练 整数的结构与性质： 深入理解最大公约数、最小公倍数、欧几里得算法（辗转相除法）的逻辑效率。 同余关系的建立与应用： 介绍模运算的性质，并将其应用于日历计算、密码学基础概念（如RSA的简化原理）以及周期性问题的分析中。 素数的奥秘： 探讨素数的分布特点，理解素数在构建整数系统中的基石地位，而非仅仅停留在质数的定义层面。 --- 第二部分：微积分的理论核心与跨学科桥梁（Core Calculus Theory and Interdisciplinary Bridging） 本部分将微积分视为描述“变化”和“积累”的语言，侧重于理解极限背后的严格定义和导数、积分在建模中的实际意义，而非繁琐的求导技巧。 第四章：极限——一切分析的基石 $epsilon-delta$ 语言的真正含义： 详细解析极限的 $epsilon-delta$ 定义，强调其在保证数学严谨性方面的作用。通过直观的几何解释（“围堵”过程）帮助非数学专业学生克服对这种符号表示的恐惧。 连续性的深度解读： 将连续性与函数的“不间断变化”联系起来。探讨不连续点（跳跃、无穷大、可去间断点）在现实世界中可能代表的物理或经济意义。 无穷序列与级数的基础判断： 介绍收敛与发散的概念。重点放在比值检验、根值检验等实用判据，并初步介绍泰勒展开式作为函数逼近工具的强大威力。 第五章：导数——速率、斜率与优化 导数的定义与物理意义的统一： 从平均变化率到瞬时变化率的过渡，强调导数是描述系统在特定瞬间行为的精确工具。 导数的几何应用： 深入探讨切线、法线，以及利用导数分析函数的单调性、极值点和凹凸性。 最优化问题的数学建模： 选取经济学中的利润最大化、工程学中的材料最省化等经典案例，展示如何设定目标函数并利用一阶、二阶导数找到全局最优解。 反函数与复合函数的求导法则的逻辑推导： 强调链式法则的普适性，理解它是处理多层依赖关系的关键。 第六章：积分——累积、面积与平均值的量化 定积分的黎曼和思想： 强调定积分是通过无限细分的“小块”之和来精确计算总量的过程。通过面积、体积、功、流量等实例，固化积分的“累积效应”概念。 微积分基本定理的结构： 深入解析微积分基本定理，它揭示了求导与积分的互逆关系，是整个微积分体系的粘合剂。 不定积分与技巧： 侧重于基本积分公式的记忆与应用，以及分部积分法、变量代换法在简化复杂积分表达式中的逻辑步骤。 积分在统计学中的初步应用： 简要介绍连续概率密度函数下的概率计算，为统计学课程打下必要的积分基础。 --- 第三部分：多元分析与实际问题的推广（Multivariable Analysis and Practical Extension） 本部分将单变量的分析方法推广到多个变量的情况，强调多维空间中的分析工具对于处理复杂系统的必要性。 第七章：向量与线性代数基础概念的几何化 向量的运算与意义： 从几何上的位移、力到代数上的有序数组，理解向量的加减法、数乘的几何含义。 点积与叉积的物理解读： 点积（内积）用于衡量两个向量的“相似度”或投影关系（如功的计算）；叉积（外积）用于描述垂直关系或力矩。 矩阵的本质：线性变换的表达： 将矩阵视为一种对空间进行线性操作的“机器”。重点理解矩阵乘法如何组合不同的变换，而不是仅仅记住乘法规则。 线性方程组的几何解释： 理解方程组无解、有唯一解或有无穷多解的几何图像（相交、平行、重合），为求解算法的有效性提供直观依据。 第八章：多元函数微积分的直观入门 偏导数：隔离变化的视角： 理解偏导数是对其他变量保持不变时，函数对某一个变量的变化率的度量。 梯度向量：变化最快的方向： 介绍梯度向量的定义及其在寻找函数曲面局部极值点中的核心作用。 多重积分的面积与体积计算： 将定积分推广到二维和三维空间，理解二重积分计算曲面下的体积，三重积分计算质量或总量的概念。 第九章：概率论与数理统计的数学框架（非公式堆砌） 随机性与确定性的交汇： 区分随机变量与确定性变量，理解概率分布函数（PDF/PMF）如何用数学精确描述不确定性。 期望与方差的意义： 期望代表长期平均值，方差衡量分散程度。通过实际案例（如投资组合风险评估）说明其重要性。 中心极限定理的直觉阐释： 解释为什么大量独立随机事件的平均结果会趋近于正态分布，这是统计推断的理论基石。 回归分析的几何基础： 简要介绍最小二乘法如何通过线性代数（投影）来找到最佳拟合直线，实现数据间的关联性量化。 --- 附录：数学思维的迁移与反思 本附录不提供新的解题技巧，而是引导学生回顾整个学习过程，并将习得的数学思维模式应用于跨学科的学习中。 1. 抽象化训练： 如何将一个复杂的社会学模型或物理定律提炼成一个简化的数学表达式。 2. 逻辑验证： 学习如何构建“充分必要条件”链条，确保结论的每一步推导都基于已证实的公理或前置条件。 3. 反证法与归谬思想： 掌握通过假设结论不成立，并推导出矛盾来证明原结论的方法论，培养严谨的论证习惯。 4. 工具箱的构建： 总结不同数学工具（如函数、向量、积分）适用于描述不同类型的现实问题（变化、方向、积累）。 本书的最终目标是让读者将数学视为一种强大的、普适性的思维工具箱，而非仅仅是理工科的必修课内容。