数学模型与数学建模（第4版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

内容简介

　　数学模型是架于数学理论和实际问题之间的桥梁。数学建模是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。《数学模型与数学建模（第4版）》是作为数学理论教学的一个补充，通过数学模型和数学建模有关问题的论述和模型实例的介绍，使读者应用数学解决实际问题的能力有所提高。《数学模型与数学建模（第4版）》分三篇：第一篇阐述了数学模型和数学建模的有关问题和常用的数学模型及其组建的方法。第二篇给出了15个模型的实例，以展示不同领域的实际问题中如何组建数学模型及其应用效果。第三篇介绍了数学模型在相关学科或领域的基础理论研究中的应用。
　　《数学模型与数学建模（第4版）》可作为大学数学系“数学模型”课的教材、非数学专业研究生和本科生选修课的教材，也可供高等院校师生以及各类科学技术工作者参考。

内页插图

目录

第1篇 数学模型和数学建模
第1章 数学模型
1．1 引言
1．2 数学模型
1．3 问题举例
第2章 数学建模
2．1 数学建模
2．2 数学建模过程
2．3 数学建模举例
第3章 常见的模型及其组建
3．1 量纲分析与轮廓模型
3．2 数据资料与拟合模型
3．3 平衡原理和机理模型
3．4 优化问题与规划模型
3．5 系统动态的仿真模型
3．6 随机现象模拟与Monte Carlo模型
3．7 复杂决策系统与层次分析模型
第3章 习题

第2篇 数学模型实例
第4章 日常生活中的数学模型
4．1 日常生活中的概率模型
4．2 铅球投掷模型
4．3 屋檐水槽模型
4．4 拥挤水房模型
第4章 习题
第5章 自然界与环境资源的数学模型
5．1 放射性衰变与考古计年模型
5．2 湖水污染模型
5．3 生物种群的动态
第5章 习题
第6章 医学与遗传的数学模型
6．1 糖尿病诊断模型
6．2 传染病模型
6．3 药物动力学房室模型
6．4 群体遗传模型
第6章 习题
第7章 与社会有关的数学模型
7．1 代表名额分配模型
7．2 密码和解密模型
7．3 作战模型
7．4 团体决策模型
第7章 习题

第3篇 相关学科中数学模型的系统研究
第8章 经济学中的数学模型
8．1 需求理论模型
8．2 供给理论模型
8．3 市场均衡模型
8．4 投入产出模型
第8章 习题
第9章 交通流的数学模型
9．1 建立模型
9．2 模型的分析——密度波及其传播
第9章 习题
参考文献

前言/序言

　　自从1915年北京高等师范学校成立数学物理部，1922年成立数学系，2004年成立北京师范大学数学科学学院以来，学院教师已经出版了600多部教材．在这些教材中，共有8种／部（12本）教材出版第3版，其中张禾瑞和郝鈵新教授编著的《高等代数》自1957年出版后，在2007年出版第5版。这是学院教师中出版第5版的唯一的一种教材。
　　刘来福教授等编著的《数学模型与数学建模》自1997年出版第1版以来，2002年出版的第2版入选面向21世纪课程教材，2009年出版的第3版先后入选普通高等教育“十一五”国家级规划教材、“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材和北京市高等教育精品教材．这是学院教师中出版第4版的第2种教材。
　　俗话说，事不过三．一种教材是否有生命力，出版版次是一个重要的指标。
　　2015年，北京师范大学将迎来数学学科成立百年华诞。在21世纪，学院希望：（1）能够有更多的教材经过修订后出版第4版，第5版……（2）能够有更多的教师加入到教材修订中。（3）在学院从事教学的教师，应该在一生的教学生涯中至少以自己为主，编写或修订一种教材作为己任，并注意适时地修订或更新教材。学院还希望使用这些教材的校内外专家学者和广大读者，提出宝贵的修改意见，使其不断改进和完善。
　　本套教材可供高等院校本科生、教育学院数学系、函授（数学专业）、网络教学和在职中学教师等使用和参考。（李仲来执笔）

数学模型与数学建模（第4版） 之外：探索更广阔的计算与应用世界 一部聚焦前沿计算范式、跨学科问题解决与复杂系统分析的深度指南 本书旨在为读者提供一个与经典《数学模型与数学建模》（第4版）所涵盖的经典建模方法论截然不同的知识视野。我们不再着眼于传统的常微分方程、偏微分方程在特定物理或工程问题中的应用，而是将焦点投向大数据、人工智能、计算科学和新兴交叉学科对数学工具的颠覆性需求。本书面向的读者群体是那些已经掌握了基础建模思想，渴望进入更复杂、更动态、更依赖计算能力领域的研究人员、高年级本科生和研究生。 --- 第一部分：大数据时代的数学基础重构与计算范式转换 本部分彻底脱离了传统教材中对线性规划、静态优化这类成熟模型的深入探讨，转而聚焦于高维数据结构、非凸优化以及随机过程的复杂迭代。 第一章：高维几何与拓扑数据分析（TDA） 在海量、高维数据面前，欧几里得几何的直观性迅速瓦解。本章将深入探讨如何用数学语言描述和处理高维空间的内在结构。 拓扑学视角下的数据降维： 介绍持久同调（Persistent Homology）的基本原理，如何利用Betti数和持续图来识别数据中的“洞”和“环”，揭示数据内在的拓扑特征，而非仅仅依赖PCA或SVD这类线性方法。 流形学习的新进展： 区别于Isomap或LLE，我们将重点分析基于张量和稀疏表示的流形学习技术，探讨它们在高分辨率图像和基因组学数据中的应用潜力。 距离度量与度量空间理论： 探讨在网络、文本数据中，如何选择或构建更具信息性的距离函数（如Wasserstein距离、图核函数），以及度量空间理论在度量学习中的核心地位。 第二章：随机过程的非平稳与非马尔可夫建模 传统马尔可夫链和布朗运动模型在描述突发事件、金融市场极端波动或复杂生物网络时显得力不从心。本章致力于探索更具现实复杂性的随机系统。 重尾分布与Lévy过程： 深入分析幂律分布、Pareto分布的起源，以及如何利用Lévy过程来建模资产价格的跳跃现象，这与经典的布朗运动模型有着本质的区别。 随机微分方程（SDEs）的数值求解挑战： 重点讨论非线性、高维SDEs的隐式方法、Milstein方案等高阶近似方法，及其在模拟复杂物理系统（如湍流的早期阶段）中的稳定性和精度问题。 随机网络动力学： 引入随机过程在复杂网络上的演化模型，如基于梯度的随机优化在网络学习中的收敛性分析。 第三章：现代优化理论：约束、非凸性与大规模求解 本部分完全侧重于训练深度学习模型和求解大规模工程优化问题所必需的现代优化工具，而非传统的线性规划单纯形法。 非凸优化与鞍点问题： 详细分析交替方向乘子法（ADMM）及其变体在处理大规模分离优化问题中的效率。讨论变分不等式和鞍点优化在博弈论模型和生成对抗网络（GANs）训练中的作用。 随机梯度下降（SGD）及其加速机制： 探讨Momentum、AdaGrad、RMSProp到AdamW等优化器的数学原理、收敛速度的理论证明（尤其是在非凸情形下的一阶/二阶收敛性），以及学习率调度策略的优化。 大规模约束处理： 聚焦于内点法（Interior Point Methods）在处理大规模稀疏约束系统时的计算瓶颈及克服方法，以及拉格朗日松弛技术在组合优化问题中的应用。 --- 第二部分：跨学科的动态系统与信息论视角 本部分将数学建模的视角从“求解”转向“理解”和“控制”，重点关注信息流、复杂性评估和系统涌现现象。 第四章：信息论在系统分析中的应用 信息论不再仅仅是香农的信道编码理论，它已成为衡量系统复杂性、预测系统状态和设计高效算法的核心工具。 互信息与条件互信息： 如何利用它们来量化两个变量之间的依赖性，尤其是在非线性系统中，以识别关键特征或因果关系（区别于简单的皮尔逊相关系数）。 熵速率与复杂性度量： 引入Kolmogorov复杂性、统计复杂性等概念，用于评估时间序列的内在复杂程度，并将其应用于自然语言处理和生物序列分析。 最大熵原理与概率分布的推断： 在只有部分约束信息的情况下，如何构建最不偏倚（最大熵）的概率模型，这在风险评估和数据插值中至关重要。 第五章：网络科学与图结构建模 本章超越了传统的网络流问题，深入探讨网络结构的拓扑性质如何决定其承载的动力学行为。 图拉普拉斯算子与谱图理论： 详细解释图拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量在图聚类、谱聚类以及图信号处理中的核心地位。 复杂网络的多尺度建模： 介绍社团检测算法（如Louvain方法）的数学基础，以及如何通过网络重整化（Renormalization）在不同尺度上理解系统的宏观行为。 基于图神经网络（GNN）的建模范式： 探讨如何将图卷积运算（如ChebNet, GCN）的数学定义应用于图结构数据的特征提取和预测任务，实现对节点和边的结构化学习。 第六章：计算方法与算法实现的前沿 本部分侧重于将理论模型转化为高效可执行代码所必需的计算数学知识，强调数值稳定性和并行化。 张量代数与高阶分解： 介绍Tucker分解、CP分解在多维数组（如fMRI数据、推荐系统评分矩阵）降维和特征提取中的优势，及其在GPU加速环境下的实现细节。 稀疏矩阵技术与预处理： 针对超大规模线性系统的求解（如有限元方法、大规模网络分析），探讨AMg (Algebraic Multigrid) 方法、预条件子的设计与构建，以加速迭代求解器的收敛速度。 不确定性量化（UQ）与贝叶斯计算： 引入蒙特卡洛方法（MCMC、HMC）在量化模型输入不确定性如何影响输出结果中的作用，以及如何利用贝叶斯框架进行参数估计和模型选择，这在工程可靠性分析中是不可或缺的。 --- 结论：从确定性模型到适应性智能系统 本书的最终目标是引导读者完成从对“精确解”的追求到对“鲁棒性预测”和“适应性决策”的思维转变。读者将学会如何运用高维分析、随机动力学和现代计算优化工具，去驾驭那些在经典建模框架下难以触及的、由海量数据驱动的复杂现实问题。它提供的是一套面向未来的、跨越传统学科壁垒的数学工具箱。