度量空間的拓撲學 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

　　《度量空間的拓撲學》主要是以度量空間為基礎進行拓撲學性質的探究。對於讀者而言，以度量空間為基礎可以降低拓撲學的入門難度。與此同時《度量空間的拓撲學》也介紹瞭對於拓撲學而言相對重要的結果，特彆是其他中文書籍相對較少涉及的拓撲學維數論，無限維拓撲學等的相關結果也在本書中有所體現。此外，重視拓撲學和其他學科的結閤是本書的一個特點。《度量空間的拓撲學》從基本的集閤論知識起步，先介紹瞭度量空間、連續映射、度量空間的連通性和緊性，然後介紹瞭可分度量空間、完備度量空間、Baire空間，還包含瞭這些結論在分析學中的應用、Cantor集的拓撲特徵及其萬有性；進一步，《度量空間的拓撲學》定義瞭拓撲空間，並把度量空間的拓撲學知識推廣到瞭更一般的拓撲空間中，並定義瞭仿緊性，證明瞭一些可度量化定理等。最後本書證明瞭Michael選擇定理、Dugundji擴張定理、Brouwer不動點定理和Anderson定理。
　　《度量空間的拓撲學》主要麵嚮數學專業本科生和低年級研究生，也可以作為對拓撲學有興趣的研究者的參考書。

內頁插圖

目錄

第1章 公理集閤論簡述
1．1 集閤論公理
1．2 集閤上的幾種特殊關係
1．3 序數與基數
1．4 選擇公理

第2章 度量空間
2．1 度量空間的定義及例子
2．2 開集、閉集、基、序列
2．3 閉包、內部、邊界
2．4 連續映射、同胚、拓撲性質
2．5 一緻連續、等距映射與等價映射
2．6 度量空間的運算
2．7 Urysohn引理和Tietze擴張定理
2．8 Borel集和絕對Borel空間

第3章 度量空間的連通性
3．1 連通空間
3．2 連通分支與局部連通空間
3．3 道路連通空間

第4章 緊度量空間
4．1 緊度量空間的定義、等價條件
4．2 緊度量空間的運算I
4．3 緊度量空間的性質
4．4 局部緊度量空間
4．5 緊度量空間的運算II
4．5．1 超空間
4．5．2 函數空間
4．6 Cantor集的拓撲特徵

第5章 可分度量空間
5．1 可分度量空間的定義及等價條件
5．2 嵌入定理
5．3 Cantor空間的萬有性質

第6章 完備度量空間與可完備度量空間
6．1 完備度量空間
6．2 度量空間的完備化
6．3 可完備度量空間
6．4 Baire性質及其應用

第7章 拓撲空間與可度量化定理
7．1 拓撲空間的定義及例子
7．2 分離性公理
7．3 緊性與緊化
7．4 可數性公理與可分可度量化定理
7．5 仿緊空間
7．6 度量化定理
7．7 說明

第8章 Michael選擇定理與Brouwer不動點定理
8．1 綫性空間
8．2 Michael選擇定理及其應用
8．3 Euclidean空間R
8．4 Brouwer．不動點定理
8．4．1 單形和單純復形
8．4．2 單形的重心重分
8．4．3 Spermer定理
8．4．4 Brouwer不動點定理

第9章 維數論
9．1 三種維數的定義
9．2 關於覆蓋維數的進一步討論
9．3 度量空間的維數
9．4 維數與Euclidean空間Rn
9．5 無限維維數論簡述

第10章 無限維拓撲學引論
10．1．構造同胚的三種方法及其應用
10．1．1 方法一：同胚列的極限是同胚的條件
10．1．2 方法二：Bing收縮準則
10．1．3 方法三：同痕
10．2 Z-集
10．3 Z-集的同胚擴張定理I
10．4 Z-集的同胚擴張定理II
10．5 吸收子
10．6 Anderson定理
參考文獻
索引

前言/序言

　　本書的主要目的是為本科生和研究生提供度量空間的拓撲學的入門材料；同時為拓撲學專業的研究生提供關於維數論和無限維拓撲學的入門材料。相對於國內一般的點集拓撲學教材而言，本教材的重點是度量空間的拓撲學，這恰好是拓撲學在其他數學分支應用中最重要的部分，同時滿足瞭在一個相對比較短的篇幅內以比較低的起點上給齣一些深刻的拓撲學定理的要求。另外，本教材提供的拓撲學維數論在國內齣版的教材中較少涉及；無限維拓撲學，特彆是Anderson定理（即Hilbert空間l2同胚於無限可數個實直綫的乘積）在國內齣版的中文書籍中還沒有齣現。作者的另一個期待是本書能盡量體現拓撲學和其他數學分支的聯係，例如，證明存在充分多的處處連續處處不可導的函數，對Cantor集的探討，對Euclidean空間Rn的拓撲性質的討論，證明Michael選擇定理、Brouwer不動點定理和Brouwer域不變性定理等。
　　本書由十章組成，第1章給齣本書需要的集閤論知識。第2章定義度量空間、連續映射和其他基本概念並給齣這些概念的性質，同時我們也給齣大量例子，第3章和第4章分彆定義度量空間的連通性和緊性，研究這兩類度量空間的基本性質，特彆是給齣Cantor集的拓撲特徵，第5章研究可分度量空間，特彆是證明瞭含Cantor空間在內的一些空間的萬有性質。第6章定義和研究完備度量空間與可完備度量空間並給齣其在分析上的應用，第7章定義拓撲空間，探討第2-6章的各種概念在更一般的拓撲空間中的變化，並給齣拓撲空間一些特有的性質，例如，仿緊性；證明瞭一些經典的度量化定理。在第8章，我們的目的是證明Michael選擇定理、Dugundji擴張定理和Brouwer不動點定理，前兩個結論是聯係拓撲學和分析學的重要橋梁，後者是拓撲學中的最重要的結果之一。為此，我們定義拓撲綫性空間、單純復形等概念，第9章討論維數論。我們定義三種維數並給齣它們重閤的條件，利用這些結果我們證明Euclidean空間Rn是互相不同胚的和Brouwer域不變性定理——一個在很多數學分支中有用的定理。本書的最後一章給齣無限維拓撲學引論，其主要目的是證明Anderson定理，證明這個結果所使用的工具在今天的無限維拓撲學研究中仍然生機勃勃。
　　本書的前七章已經在汕頭大學本科生和研究生教學中多次使用，後麵三章也在拓撲專業研究生教學中多次使用。

好的，這是一本關於概率論與數理統計的圖書簡介，旨在深入探討隨機現象的理論基礎、分析方法及其在實際問題中的應用。 --- 圖書簡介：概率論與數理統計 引言：隨機世界的精確描述 在自然界和社會現象中，確定性規律固然重要，但充滿瞭不確定性的隨機性同樣構成瞭世界的基本麵貌。從物理學中的粒子運動，到經濟學中的市場波動，再到生物學中的基因錶達，理解和量化這些隨機性是現代科學與工程領域不可或缺的能力。《概率論與數理統計》一書旨在為讀者提供一個係統、深入且嚴謹的理論框架，用以描述、分析和推斷隨機現象背後的規律。 本書不僅是概率論基礎概念的集閤，更是一套解決實際問題的工具箱，側重於將抽象的數學語言轉化為對現實世界不確定性的精確把握。 第一部分：概率論——不確定性的數學基石 (約 500 字) 本書的開篇部分專注於概率論的公理化基礎，為後續的深入分析奠定堅實的地基。 1. 隨機事件與樣本空間： 首先，我們對隨機試驗的結果空間進行嚴格定義。樣本空間的結構（離散、連續或混閤）直接決定瞭後續概率測度構造的復雜性。隨機事件被定義為樣本空間中的子集，並探討瞭事件之間的代數運算及其在概率理論中的意義。 2. 概率的公理化定義與性質： 遵循 Kolmogorov 的三條基本公理，我們建立瞭概率測度的形式化框架。重點討論瞭古典概型、幾何概型以及條件概率的深入剖析。條件概率不僅是計算工具，更是貝葉斯推理的邏輯核心。我們將詳細討論馬爾可夫鏈（Markov Chains）作為條件概率序列的特殊應用，展示其在有限狀態空間中演化過程的建模能力。 3. 隨機變量及其分布： 隨機變量是將樣本空間映射到實數軸上的關鍵橋梁。本書詳細區分瞭離散型隨機變量（如二項分布、泊鬆分布）和連續型隨機變量（如均勻分布、指數分布、正態分布）。對於連續型，我們深入探討概率密度函數（PDF）的性質及其在積分運算中的作用。 4. 隨機變量的聯閤分布與獨立性： 在多維隨機現象中，變量之間的相互關係至關重要。我們引入瞭聯閤概率分布函數（CDF 和 PDF），並著重分析瞭邊緣分布的獲取方法。變量間的獨立性概念，基於乘法規則而非簡單相加，被嚴格界定，並探討瞭在獨立性假設下聯閤概率的簡化計算。 5. 隨機變量的數字特徵： 期望（均值）和方差是描述隨機變量集中趨勢和離散程度的兩個核心度量。本書將期望的運算律（綫性性質）擴展到隨機嚮量，並引入瞭協方差和相關係數來衡量綫性依賴關係。隨後，將視角投嚮更高階的矩，如偏度和峰度，以更全麵地描繪分布的形態。 6. 隨機變量的極限理論： 這是連接概率論與統計推斷的過渡地帶。本書詳述瞭依概率收斂、依分布收斂以及均方收斂的嚴格定義與相互關係。大數定律（弱收斂與強大數定律）保證瞭樣本均值的穩定性，而中心極限定理（CLT）則揭示瞭正態分布在大量獨立同分布隨機變量和下的普遍齣現性，這是推斷統計的理論基石。 第二部分：數理統計——從數據中學習 (約 750 字) 數理統計是應用概率論解決實際數據問題的科學。本部分的核心思想是：如何利用有限的樣本信息對未知的總體特徵做齣可靠的估計和檢驗。 1. 統計量與抽樣分布： 首先界定統計量的概念，即樣本的函數。重點分析瞭常見統計量（如樣本均值、樣本方差）的抽樣分布。我們將詳細推導和應用卡方分布、$t$ 分布和$F$ 分布，這些分布是進行參數估計和假設檢驗的必備工具。 2. 參數估計： 估計理論分為點估計和區間估計。 點估計： 介紹估計量的優良性質，包括無偏性、有效性（最小方差）和一緻性。詳細講解兩大核心方法：矩估計法（MOM）和極大似然估計法（MLE）。MLE 因其漸近最優性，將占據較大篇幅，著重分析其構造過程、一緻性和漸近正態性。 區間估計： 討論如何為未知參數構建置信區間。我們將針對正態總體（已知/未知方差）和比例參數，演示如何利用前麵介紹的抽樣分布構建精確的置信水平區間。 3. 假設檢驗： 假設檢驗是統計推斷的核心技術，用於判斷數據是否支持某個預設的理論觀點。 基本框架： 嚴格定義原假設 ($H_0$) 和備擇假設 ($H_1$)，並闡明第一類錯誤（$alpha$ 錯誤）和第二類錯誤（$eta$ 錯誤）。引入檢驗的功效函數和P 值的概念，強調其在決策過程中的作用。 常見檢驗： 係統講解針對單個總體均值、兩個總體均值差、總體比例的 Z 檢驗和 $t$ 檢驗。對於方差的檢驗，將涉及卡方檢驗的應用。 4. 方差分析（ANOVA）： 當需要比較三個或更多個總體的均值時，ANOVA 提供瞭一種統一且高效的方法。我們將從單因素方差分析入手，探討其與 $F$ 檢驗的內在聯係，並解釋如何通過分解總平方和（Total Sum of Squares）來隔離處理效應和隨機誤差。 5. 綫性迴歸分析： 探討變量間的綫性關係建模。 簡單綫性迴歸： 建立因變量與一個自變量之間的關係模型 $Y = eta_0 + eta_1 X + epsilon$。重點介紹最小二乘法（OLS）估計 $eta_0$ 和 $eta_1$，並分析估計量的性質。隨後，我們將對迴歸模型本身進行檢驗（如 $t$ 檢驗、模型的整體 $F$ 檢驗），並討論殘差分析的重要性，以檢驗模型假設的有效性。 多元綫性迴歸： 將模型擴展到多個自變量，引入矩陣錶示法來簡化 OLS 的求解和性質推導。討論瞭多重共綫性、變量選擇等實際問題。 結語 本書的編寫遵循從理論到應用、從基礎到深入的邏輯路徑。每章後均附有大量精心設計的習題，旨在鞏固讀者對概念的理解並訓練其解決實際問題的能力。掌握本書內容，讀者將能夠以嚴謹的數學思維，科學地處理和解讀來自不同領域的隨機數據，從而在科學研究、數據分析和決策製定中做齣更明智的判斷。