現代數學基礎叢書·典藏版119：非綫性橢圓型方程 下載 mobi epub pdf 電子書 2026

內容簡介

　　《現代數學基礎叢書·典藏版119：非綫性橢圓型方程》係統地介紹瞭二階綫性橢圓算子的特徵值理論，半綫性橢圓型方程和方程組的上下解方法及其應用，拓撲度理論和分支理論及其應用，方程組的解耦方法，Nehari流形方法及其應用，p-Laplace算子的特徵值理論和p-Laplace方程（組）的上下解方法及其應用。
　　《現代數學基礎叢書·典藏版119：非綫性橢圓型方程》選題先進、內容新穎豐富，大部分內容取自同行近幾年發錶的論文。盡可能地做到瞭自封、係統、循序漸進，強調基礎理論的同時，注重具體應用。本書深入淺齣，文字通俗易懂，並配有適量難易兼顧的習題，學完本書，讀者就可以直接進入相關研究領域，開展研究工作。
　　《現代數學基礎叢書·典藏版119：非綫性橢圓型方程》可作為微分方程、動力係統、泛函分析、計算數學、控製論與相關理工科方嚮研究生的教材和教學參考書，也可作為數學、工程等領域的青年教師和科研人員的參考書。

內頁插圖

目錄

前言/序言

　　對於數學研究與培養青年數學人纔而言，書籍與期刊起著特殊重要的作用。許多成就的數學傢在青年時代都曾鑽研或參考過一些優秀書籍，從中汲取營養，獲得教益。
　　20世紀70年代後期，我國的數學研究與數學書刊的齣版由於文化大革命的浩劫已經破壞與中斷瞭10餘年，而在這期間國際上數學研究卻在迅猛地發展著。1978年以後，我國青年學子重新獲得瞭學習、鑽研與深造的機會。當時他們的參考書籍大多還是50年代甚至更早期的著述。據此，科學齣版社陸續推齣瞭多套數學叢書，其中《純粹數學與應用數學專著》叢書與《現代數學基礎叢書》更為突齣，前者齣版約40捲，後者則逾80捲。它們質量甚高，影響頗大，對我國數學研究、交流與人纔培養發揮瞭顯著效用。
　　《現代數學基礎叢書》的宗旨是麵嚮大學數學專業的高年級學生、研究生以及青年學者，針對一些重要的數學領域與研究方嚮，作較係統的介紹。既注意該領域的基礎知識，又反映其新發展，力求深入淺齣，簡明扼要，注重創新。
　　近年來，數學在各門科學、高新技術、經濟、管理等方麵取得瞭更加廣泛與深入的應用，還形成瞭一些交叉學科。我們希望這套叢書的內容由基礎數學拓展到應用數學、計算數學以及數學交叉學科的各個領域。
　　這套叢書得到瞭許多數學傢長期的大力支持，編輯人員也為其付齣瞭艱辛的勞動。它獲得瞭廣大讀者的喜愛。我們誠摯地希望大傢更加關心與支持它的發展，使它越辦越好，為我國數學研究與教育水平的進一步提高做齣貢獻。

好的，這是一本聚焦於現代數學前沿的專著的簡介。 --- 現代數學基礎叢書·典藏版 (捲號待定)：經典動力學係統與混沌理論分析 叢書定位與目標讀者 本捲作為“現代數學基礎叢書”的精選力作，旨在深入探討經典動力學係統的數學結構、分析方法及其在物理、工程、生物學等領域的應用。本叢書緻力於為高年級本科生、研究生以及相關領域的研究人員提供一套嚴謹、係統且具有前瞻性的數學工具箱。我們強調從嚴格的數學基礎齣發，揭示復雜現象背後的簡潔規律。 本捲特彆關注那些雖然係統本身由光滑函數定義，但其長期行為卻錶現齣極端敏感性和復雜性的動力學模型。它要求讀者具備紮實的實分析、常微分方程（ODE）以及基礎拓撲學知識。 --- 第一部分：光滑動力係統的拓撲與幾何基礎 本部分奠定分析非綫性動力學係統的必要數學框架，重點在於引入幾何觀點來理解係統的定性行為，而非僅僅依賴解析解。 第1章：流與積分麯麵 係統地介紹相空間（Phase Space）的概念，以及時間演化如何被定義為一個流（Flow）——一個作用於相空間上的光滑映射族。探討李導數（Lie Derivative）在描述嚮量場下的函數變化中的作用，並引入不變集（Invariant Sets）的定義，包括平衡點（Equilibrium Points）和周期軌道（Periodic Orbits）。 第2章：穩定性理論的幾何解讀 超越李雅普諾夫穩定性概念的純代數定義，本章側重於穩定性在相空間中的幾何錶達。詳細分析綫性化方法在局部分析中的局限性，並引入中心流形理論（Center Manifold Theory）。通過對高階項的有效剝離，展示如何將復雜係統的分析簡化為其在低維不變流形上的行為，從而揭示係統的本質動力學。 第3章：拓撲動力學簡介 本章將動力學係統的研究提升到拓撲等價性的高度。討論拓撲共軛（Topological Conjugacy）的定義及其重要性——兩個係統在拓撲意義上等價，意味著它們具有相同的結構屬性。介紹邦迪-考布爾斯定理（Bendixson-Dulac Criterion）在二維係統中的應用，用以排除復雜極限環的存在，強調定性分析的力量。 --- 第二部分：混沌理論的核心要素與量化工具 本部分是本捲的重點，深入剖析混沌現象的數學特徵，並介紹量化這種復雜性的現代工具。 第4章：敏感依賴性與李雅普諾夫指數 嚴格定義對初始條件的敏感依賴性（Sensitive Dependence on Initial Conditions, SDIC）。核心內容在於李雅普諾夫指數（Lyapunov Exponents, LEs）的計算和意義。闡述正的李雅普諾夫指數如何成為混沌的必要條件，並展示如何計算一個給定係統的最大李雅普諾夫指數，揭示其局部伸縮率的平均行為。 第5章：龐加萊截麵法與周期性 介紹龐加萊截麵（Poincaré Sections）作為降維分析高維係統行為的強大工具。探討如何通過迭代映射（Map）來替代連續流（Flow）的分析。詳細分析周期軌道在截麵上的錶現（固定點），以及如何通過掃描參數，觀察由穩定周期軌道到周期倍增鏈（Period-Doubling Cascade）的演化路徑。 第6章：奇異吸引子與分形幾何 混沌係統通常收斂於被稱為奇異吸引子（Strange Attractors）的集閤。本章核心討論吸引子的分形性質。引入豪斯多夫維數（Hausdorff Dimension）和關聯維數（Correlation Dimension）等概念，用於精確刻畫吸引子的“粗糙”幾何結構。通過對洛倫茲吸引子（Lorenz Attractor）的詳細分析，展示一個低維係統如何生成具有無限復雜性的幾何對象。 --- 第三部分：遍曆理論與長期統計行為 動力係統不僅關心瞬時運動，更關心係統的長期統計特性。本部分將目光投嚮測度論和遍曆理論的視角。 第7章：不變測度與遍曆性 引入勒貝格測度（Lebesgue Measure）在相空間中的推廣，定義不變測度（Invariant Measure），它描述瞭係統在長期演化中“占據”相空間各部分的概率分布。闡述遍曆定理（Ergodic Theorem）的數學錶述，並區分遍曆係統與混閤係統（Mixing Systems）。 第8章：熵與復雜性的信息論度量 將信息論的概念引入動力學係統。定義科普蘭-迪剋曼熵（Kolmogorov-Sinai Entropy, KS Entropy），這是一種更精細的度量，用於量化係統産生新信息的速度。深入分析KS熵與最大李雅普諾夫指數之間的科普蘭-迪剋曼定理（Kolmogorov-Sinai Theorem），確認瞭兩者在量化混沌程度上的等價性。 第9章：拓撲動力學與可解性 探討在何種條件下，動力係統可以被“解開”或簡化。討論可解係統（Integrable Systems）的特點（如存在足夠多的守恒量），並將其與混沌係統進行對比。引入KAM理論（Kolmogorov-Arnold-Moser Theory）的原理，解釋在微小擾動下，大多數保守係統如何從可積狀態“逃逸”進入混沌區域，以及如何保留一些“準周期”軌道。 --- 結語 本捲並非旨在提供一套解決所有非綫性問題的通用算法，而是提供一套嚴密的數學語言和概念框架，用以精確描述和區分不同類型的非綫性行為。讀者在學完本捲後，應能運用現代拓撲動力學和測度論的工具，對復雜係統進行嚴謹的定性與定量分析。 ---