信息与计算科学丛书·典藏版（38） 非线性分歧：理论和计算 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

内容简介

　　《信息与计算科学丛书·典藏版（38） 非线性分歧：理论和计算》系统地介绍了非线性问题由有序走向混沌的过程中起重要作用的分歧理论及其计算，重点讨论了奇异点的分类和确定、拟弧长延拓方法、解枝的转接、路径跟踪等处理奇异性的分歧计算技巧，介绍了Hopf分歧、周鞋解的计算和分歧，还介绍了同宿轨道和异宿轨道的计算、Liapunov指数的计算、奇异吸引于和分数维的计算等全局分歧和混沌动力学中的计算方法。
　　《信息与计算科学丛书·典藏版（38） 非线性分歧：理论和计算》可作为应用数学、计算数学、非线性科学等专业的研究生教材，也町以作为相应专业本科高年级学生的选修课教材以及有关科学计算工作者和科研人员的参考书。

内页插图

目录

《信息与计算科学丛书》序
前言

第1章 分歧理论基础
1．1 分歧的实际背景和例子
1．2 Liapunov-Schmidt方法的两个例子
1．3 Liapunov-Schrrudt方法的一般框架
1．4 Hopf分歧
习题

第2章 延拓方法和定常分歧图的计算
2．1 局部延拓方法
2．2 奇异点的分类和确定
2．3 拟弧长延拓方法
2．4 解枝的转接
2．5 22对称性和对称破缺分歧
2．6 极小扩张系统方法
习题二

第3章 Hopf分歧和周期解的延拓
3．1 L-S过程和Hopf分歧定理
3．2 迭代方法
3．3 确定Hopf分歧点的数值方法
3．4 周期解的计算与延拓
3．5 周期解的稳定性和Floquet理论
3．6 单值矩阵的计算
3．7 周期解的分歧
习题三

第4章 两参数非线性分歧问题和高阶奇异点的计算
4．1 三阶折叠点的计算
42简单横截分歧点的计算和性质
4．3 Takens-Bogdanov点
4．4 二阶折叠/Hopf分歧点
4．5 Hopf/Hopf分歧点
4．6 二重奇异点的计算
习题四

第5章 全局分歧和混沌
5．1 通向混沌的道路
5．2 混沌的机理和马蹄映照
5．3 计算同宿轨道和异宿轨道的数值方法
5．4 Liapunov指数的计算
5．5 奇异吸引子和分数维
5．6 功率谱
习题五

参考文献

前言/序言

　　本书的写作已经酝酿有十多年了，20世纪80年代初我在美国加州理工学院做访问学者时接触了非线性分歧问题的理论和计算，逐渐对其产生兴趣并将之作为自己的主要研究方向，回国后，在上海科学技术大学和上海师范大学给研究生讲授非线性分歧问题的理论和计算方面的课程时，逐步积累了这方面的材料，经过十多年的完善，相对比较成熟了，就有了出版本书的想法。
　　非线性科学从20世纪70年代以来发展迅速，混沌理论作为20世纪物理学的三大发现之一，得到了长足的进步，在理解混沌的机理和非线性系统如何走向混沌的过程中，分歧理论起了很重要的作用。目前非线性科学的研究正方兴未艾，受到越来越多的科技工作者的关注计算机的快速发展更促进了非线性问题的研究，对复杂非线性系统的数值模拟刺激了有关计算方法的发展。80年代以来，曾多次召开非线性分歧计算方面的国际会议，出版了有关的论文集，总结了各种非线性分歧计算方面的研究成果，用于非线性分歧计算的专用软件也不断涌现。
　　本书作为应用数学和计算数学的研究生教材，覆盖了非线性分歧计算的主要内容。第1章介绍非线性分歧问题的实际背景和基本理论。第2章介绍定常分歧的理论和计算，包括奇异点的分类和确定、拟弧长延拓方法、解枝的转接、路径跟踪等处理奇异性的分歧计算技巧。第3章介绍从定常解走向周期解的Hopf分歧、周期解的计算和延拓、周期解的稳定性和分歧。第4章讨论高阶奇异点的计算，包括三阶折叠点、横截分歧点、Takens-Bogdanov点、二阶折叠/Hopf分歧点、Hopf/Hopf分歧点、二重奇异点的计算，其中包括了作者的研究成果。第5章介绍有关全局分歧和混沌动力学方面的计算、Liapunov指数的计算、奇异吸引子和分数维的计算每章后面都附有习题，习题的完成特别是各类数值计算题的完成对于理解课程会有重要的帮助，其中带星号的习题有必要在计算机上编程计算，本书可以作为科学计算工作者和有关科研人员的参考书，也可以作为应用数学和信息与计算科学专业本科高年级学生的选修课教材使用。
　　本书得到了许多同志的关心和帮助，特别是作者的历届博士生和硕士生，他们对本书的内容提出了很好的建议，做了大量的录入工作，在此表示衷心的感谢本书的出版得到了国家科学技术著作出版基金的大力资助，并得到了上海市教育委员
　　会科研基金（No.05D207）、上海市科技发展基金（No.03QA14036）、国家自然科学基金项目（No.10671130）、上海市重点学科（No.T0401）和上海师范大学研究生教材建设项目的支持，在此一并表示感谢。

图书简介：信息与计算科学丛书·典藏版（38） 非线性分歧：理论和计算 《信息与计算科学丛书·典藏版》（第38册） 聚焦于数学、物理、工程以及计算机科学等多个前沿交叉领域中至关重要的一个分支——非线性分歧理论及其计算方法。本书旨在为研究人员、高级本科生及研究生提供一个全面而深入的视角，理解复杂系统在参数变化下行为的突变现象及其背后的数学原理，并掌握实现有效数值模拟的关键技术。 在自然界和工程实践中，绝大多数有意义的问题都以非线性方程或非线性动力系统的形式出现。当系统的一个或多个参数缓慢变化时，其平衡点、周期解或其他不变集的稳定性或拓扑结构可能发生质的变化，这种现象即为“分歧”（Bifurcation）。对分歧现象的深入理解，是设计稳定控制策略、预测气候变化、分析电路稳定性以及优化材料性能的基础。 第一部分：非线性分歧的数学基础与经典理论 本书的开篇部分，建立起理解非线性分歧现象所需的坚实数学基础。它首先回顾了常微分方程（ODE）系统和泛函微分方程（PDE）中定性理论的核心概念，如相平面分析、稳定性理论（李雅普诺夫稳定性）、不动点理论以及局部动力学性质的判定。 随后，本书系统地梳理了局部分歧理论。重点剖析了最基本且最普遍的几类分歧： 1. 鞍结分歧（Saddle-Node Bifurcation）： 描述了平衡点如何成对出现或消失的过程，这是系统由稳定态或不稳定态转化的关键点。书中详细分析了其特征值结构和规范形（Normal Form）的推导过程。 2. 转子分歧（Transcritical Bifurcation）： 探讨了两个平衡点之间的交换稳定性现象，常出现在竞争或相互作用的系统中。 3. 分岔（Pitchfork Bifurcation）： 包括超临界和亚临界两种情况，描述了一个平衡点分裂成三个平衡点（或反之），这是对称性破缺或结构转变的经典模型。 4. 霍普夫分歧（Hopf Bifurcation）： 这是一个至关重要的分歧类型，标志着系统从稳定不动点向极限环振荡的转变。本书深入探讨了该分歧的复数特征值条件，并详细推导了确定振荡幅值和稳定性的中心流形（Center Manifold）方法。 对于上述每一类分歧，理论部分不仅提供了严格的数学证明，还结合了具体的、易于可视化的低维模型案例（如Liénard方程、FitzHugh-Nagumo模型等），帮助读者直观感受分歧点的物理意义。 第二部分：降维技术与中心流形理论的应用 在处理高维非线性系统时，直接分析所有自由度是极其困难的。本书将大量篇幅投入到降维技术，特别是中心流形理论的应用上。 中心流形理论是连接局部分歧理论与实际高维问题的桥梁。它指出，系统在分歧点附近的动力学行为完全由那些对应于零（或接近零）特征值的子空间上的动态决定。本书详尽地阐述了如何通过坐标变换将系统化简至中心流形上，从而将复杂的无限维或高维问题，转化为一个低维的、易于分析的、保持分歧特性的简化系统。规范形理论（Normal Form Theory）的推导过程被细致分解，确保读者能够掌握如何从简化的中心流形方程中准确提取分歧的类型和稳定性信息。 第三部分：非局部分歧与全局行为 随着对系统复杂性认识的加深，研究范围不再局限于分歧点附近。本书引入了非局部分歧（Non-local Bifurcations） 的概念，尤其关注滞后现象（Hysteresis） 和全局分歧。 这部分内容涵盖了： 1. 周期性分歧（Period Doubling Cascade）与混沌的出现： 探讨了Feigenbaum常数和倍周期分岔序列如何导致系统进入混沌状态。 2. 全局分歧的类型： 介绍如折叠（Fold）分歧、鞍结点在极限环上的分歧（Saddle-Node on Limit Cycle），以及如何利用Poincaré截面法来识别这些非局部事件。 3. 分支追踪（Branch Tracking）： 重点讨论了如何利用延拓算法（Continuation Methods）来追踪系统解的整个路径，包括平衡点、周期解以及更复杂的准周期解。 第四部分：非线性分歧的数值计算方法 理论分析固然重要，但在实际工程和科学计算中，高效、鲁棒的数值算法是解决问题的关键。本书的第四部分完全致力于分歧检测与跟踪的计算方法。 1. 结构化数值算法： 预测-修正（Predictor-Corrector）框架： 详细介绍了如何利用欧拉法、龙格-库塔法等时间积分方法对动力系统进行时间步进，以及如何结合牛顿法进行平衡点的修正。 基于牛顿法的分歧点检测： 书中深入探讨了如何通过分析系统雅可比矩阵的零特征值来定位分歧点。这涉及到使用Cholesky分解或LU分解等线性代数技术来判断矩阵的秩。 2. 高效的分歧追踪算法： 步长控制与分支切换： 讲解了如何动态调整数值步长以精确捕获分歧点。特别关注了如何使用“弧长延拓”（Arc-Length Continuation）方法，例如Cartwright或pseudo-arc length方法，来处理垂直分支（如超临界霍普夫分歧）。 有效自由度计算： 针对中心流形理论指导下的数值模拟，阐述了如何结合降维技术，在计算过程中实时估计有效维数，从而显著减少计算负担。 矩阵奇异性检测： 强调了使用子空间方法和残差分析技术，在保持数值稳定性的前提下，精确识别雅可比矩阵的奇异性，这是检测分歧发生的关键技术指标。 总结与展望 《非线性分歧：理论和计算》提供了一个从基础数学概念到前沿计算实现的完整知识体系。它不仅使读者掌握了分析和分类各种分歧现象的工具，更重要的是，教会了如何利用现代数值方法，对复杂非线性系统进行稳健的分支追踪和分析。本书是深入理解和模拟复杂动力学系统转变的必备参考书。