《代数学基础(上册)》是为非数学学科的研究生编写的公共数学教材，分上、下两册：上册是矩阵论，下册是抽象代数。
本册书内容包括线性空间与线性变换、内积空间、矩阵的相似标准形、矩阵分解、广义逆矩阵、矩阵分析、矩阵函数、特征值估计等。《代数学基础(上册)》内容适当、语言简练、表达规范、论述严谨，为适应读者线性代数基础的差异，还专门编写了一章预备知识，便于取舍，宜于教学。

序言
前言
第0章预备知识 1
0.1多项式 1
0.1.1数域 1
0.1.2多项式的运算 2
0.1.3多项式的整除性 3
0.1.4多项式的根与标准分解 4
习题0.1 5
0.2方阵的特征值与特征向量 6
习题0.2 9
0.3正交矩阵与酉矩阵 9
0.3.1实向量的内积与正交矩阵 10
0.3.2共轭矩阵 11
0.3.3复向量的内积与酉矩阵 12
习题0.3 14
0.4H-矩阵与H-二次型 14
0.4.1H-矩阵的定义与基本性质 14
0.4.2H-二次型 15
习题0.4 17
第1章线性空间与线性变换 18
1.1线性空间的定义及基本性质 18
1.1.1线性空间的定义 18
1.1.2线性空间的基本性质 21
习题1.1 23
1.2基与维数 23
习题1.2 28
1.3坐标与坐标变换 29
1.3.1向量的坐标 29
1.3.2基变换与坐标变换 32
习题1.3 35
1.4线性变换及其性质 36
1.4.1变换及其运算 36
1.4.2线性变换的定义与基本性质 38
习题1.4 42
1.5线性变换与矩阵 44
1.5.1线性变换的矩阵 44
1.5.2线性变换与矩阵的对应关系 47
1.5.3线性变换的特征值与特征向量 50
习题1.5 53
1.6线性空间的子空间 54
1.6.1子空间及其判别 54
1.6.2子空间的交与和 56
*1.6.3线性变换的不变子空间 59
习题1.6 60
第2章内积空间 63
2.1内积空间的定义与基本性质 63
习题2.1 68
2.2标准正交基 68
习题2.2 72
2.3欧氏空间 72
2.3.1欧氏空间的度量矩阵 72
2.3.2子空间的正交补 74
2.3.3正交变换与对称变换 76
习题2.3 79
*2.4酉空间简介 81
第3章矩阵的相似标准形 84
3.1方阵相似于对角矩阵的条件 84
习题3.1 87
3.2H-矩阵的相似对角化 88
习题3.2 91
3.3矩阵的Jordan标准形 91
3.3.1多项式矩阵及其初等变换 92
3.3.2Jordan标准形的求法 94
习题3.3 99
3.4Jordan形的应用 100
3.4.1相似因子的求法 100
3.4.2Jordan形应用举例 103
习题3.4 106
第4章矩阵分解 107
4.1矩阵的QR分解及满秩分解 107
4.1.1矩阵的QR和UR分解 107
4.1.2矩阵的满秩分解 110
习题4.1 113
4.2矩阵的谱分解 114
习题4.2 119
4.3正规矩阵的分解 119
习题4.3 123
4.4矩阵的奇异值分解 124
习题4.4 130
第5章广义逆矩阵 131
5.1M-P广义逆 131
5.1.1广义逆矩阵的概念 131
5.1.2M-P广义逆 132
习题5.1 137
5.2其他几种常用的广义逆矩阵 138
5.2.1矩阵的{1}-逆 138
5.2.2矩阵{1，2}-逆，{1，3}-逆及{1，4}-逆 139
习题5.2 141
5.3广义逆矩阵在求解线性方程组中的应用 141
5.3.1线性方程组的相容性及通解与｛1｝-逆 142
5.3.2相容的线性方程组的极小范数解与矩阵的｛1，4｝-逆 144
5.3.3矛盾方程组的最小二乘解与矩阵的｛1，3｝-逆 145
5.3.4不相容的线性方程组的极小范数最小二乘解与矩阵的M-P广义逆 146
习题5.3 148
第6章矩阵分析 149
6.1向量与矩阵的范数 149
6.1.1向量范数 149
6.1.2矩阵范数 152
习题6.1 157
6.2向量与矩阵序列的收敛性 158
习题6.2 162
6.3矩阵的导数 162
6.3.1函数矩阵对变量的导数 162
6.3.2函数对矩阵的导数 165
6.3.3矩阵对矩阵的导数 166
习题6.3 168
*6.4矩阵的微分与积分 169
第7章矩阵函数 172
7.1矩阵多项式 172
7.1.1矩阵的最小多项式 172
7.1.2矩阵多项式的计算 176
习题7.1 179
7.2一般矩阵函数 180
7.2.1矩阵函数的定义与性质 180
7.2.2用Jordan标准形表达矩阵函数 181
7.2.3用L-S多项式表达矩阵函数 184
习题7.2 188
7.3用幂级数表示的矩阵函数 189
7.3.1矩阵级数与矩阵幂级数的收敛性 189
7.3.2用幂级数表达某些矩阵函数 193
习题7.3 196
第8章特征值的估计 198
8.1特征值界的估计 198
习题8.1 201
8.2特征值所在区域的估计 201
习题8.2 204
8.3H-矩阵特征值的表示 204
习题8.3 206
部分习题参考答案 207
参考文献 233
附录多项式矩阵概述及Jordan定理的证明 234

精彩书摘

第0章预备知识
0.1多项式
0.1.1数域
数，是数学的一个最基本的概念。我们从上小学开始，就一直和数打交道。随着学习的深入，我们认识的数的范围也越来越广，从正整数、分数、有理数、实数直到复数。经验告诉我们：对于反映数量关系的数学问题，其结果往往和所考虑的数的范围有关。例如，多项式x4-2的因式分解，它在有理系数范围内已不能再分解了，而在实系数范围内就可以分解为
这说明对同一个问题，当所考虑的数的范围不同时，结果就可能是不同的。因此，我们常常需要事先指明所涉及的数的范围。数域就是描述数的范围的一个概念。
定义0.1.1 设F是数集，其中至少包含两个不同的数，如果F中任意两个数的和、差、积、商(当除数不为零时)仍然是F中的数，则称F为一个数域。
由定义0.1.1立即可知:任何数域F至少包含0和1。这是因为，若A∈F，则A-A=0∈F;并且，由于F中不止一个元素，必有非零数b∈F，于是bb=1∈F。
如果集合F中任意两个元素做某种运算的结果仍在F中，我们就说F对这种运算封闭。于是，数域就是一个含有不同元素并且对四则运算封闭的数集。
容易验证，全体有理数的集合是一个数域，称为有理数域，记为Q。全体实数的集合和全体复数的集合也都是数域，分别称为实数域和复数域，记为R和C。但是，全体整数的集合就不是数域，因为它对除法运算不封闭。
有理数域、实数域和复数域是最常用的数域。但是数域绝不限于这三个。不难验证数集
F=｛A+b2A，b为有理数｝
构成一个数域。显然，将上述数集中的2换成3，5，7，，都会得到相应的数域。据此一点，就可以想到数域有无穷多个。但是，由于对任何数集F总有F属于C，所以可以说，复数域是最大的数域。还容易证明，有理数域是最小的数域，即:任何数域必包含有理数域在其内(证明留作习题)。
今后讨论问题时，凡涉及数的，我们总假设是在某个指定的数域上进行的(尽管有时并未特别申明)。此时，参与运算的数都要限定在该数域内。例如，实矩阵是实数域上的矩阵，与实矩阵做数乘的数也应该是实数。同样，实系数的线性方程组通常被认为是实数域上的方程组，因而在进行初等变换和求解时也应该在实数域上进行。
0.1.2 多项式的运算
定义0.1.2对于非负整数n及数域F上的数Ai(i=0，1，2，，n)，形式表达式
f(x)=Anxn+An-1xn-1+ +A1x+A0(1)
称为数域F上的一个(一元)多项式，当An≠0时，则称(1)式为一个(一元)n次多项式，非零数An称为该多项式的首项系数，A0称为常数项。
按此定义，3x4+x-2是一个4次多项式；非零常数-2是0次多项式。所有系数全为0的多项式0称为零多项式。通常对零多项式不定义次数。如果为了方便，也可以认为它的次数为-∞。首项系数为1的多项式简称首1多项式。定义0。1。3如果两个多项式f(x)与g(x)中，各同次项的系数都对应相等，则称f(x)与g(x)相等，记为f(x)=g(x)。多项式的四则运算是人们所熟悉的，数域F上的两个多项式相加或相乘其结果仍是数域F上的一个多项式。多项式的加法和乘法还具有各自的交换律、结合律及加法对乘法的分配律。多项式的减法可以归结为加法，因为
f(x)-g(x)=f(x)+［-g(x)］。
至于两个多项式相除，可以用长除法求得商式和余式，对此有如下定理。
定理0.1.1 (带余除法定则) 对任意多项式f(x)及g(x)≠0，恒有唯一的多项式q(x)和r(x)使
f(x)=q(x)g(x)+r(x)，(2)
其中r(x)是0或次数低于g(x)的多项式。
证明以f(x)除以g(x)，由长除法过程知必有适合定理条件的q(x)，r(x)使(2)式成立。下面来证明唯一性。设另有多项式q1(x)及r1(x)使
f(x)=q1(x)g(x)+r1(x)，且次r1(x)＜次g(x)。于是
q(x)g(x)+r(x)=q1(x)g(x)+r1(x)，即［q(x)-q1(x)］g(x)=r1(x)-r(x)。(3)
如果q(x)≠q1(x)，则上式左端次数大于等于g(x)的次数，但右端次数小于g(x)的次数，产生矛盾，故必有q(x)=q1(x)。代入(3)式又得r1(x)=r(x)。
带余除法中所得的q(x)称为g(x)除f(x)的商式，r(x)称为余式。
0.1.3多项式的整除性
定义0.1.4 对于数域F上的多项式f(x)和g(x)，如果存在数域F上的多项式h(x)使
f(x)=g(x)h(x)，(4)
就称g(x)整除f(x)，记为g(x)f(x)。g(x)不能整除f(x)用g(x)�竑(x)表示。
当有(4)式成立时，称g(x)是f(x)的因式，f(x)是g(x)的倍式。
显然，非零常数c是任一多项式的因式，而零多项式0是任一多项式的倍式。
由定义0.1.4及定理0.1.1立知下述定理成立。
定理0.1.2 对于多项式f(x)及g(x)≠0，g(x)f(x)的充分必要条件是g(x)除f(x)余式为0。
关于多项式的整除性，有如下的常用性质。
1° 两个非零多项式互相整除的充要条件是它们仅差一非零常数因子。
事实上，若f(x)=cg(x)，c是非零常数，则显然g(x)与f(x)互相整除。反之，由f(x)与g(x)互相整除，则有多项式h1(x)，h2(x)使
g(x)=h1(x)f(x)，(5)
f(x)=h2(x)g(x)，(6)
(6)式代入(5)式得
g(x)=h1(x)h2(x)g(x)，
g(x)≠0故h1(x)h2(x)=1，因此h1(x)与h2(x)都是非零常数，再由(5)和(6)式知f(x)与g(x)仅差非零常数倍。
2° 若f(x)g(x)，g(x)h(x)，则f(x)h(x)。(整除的传递性)
如果多项式u(x)既是f(x)的因式又是g(x)的因式，则称u(x)为f(x)与g(x)的公因式。
定义0.1.5 如果d(x)是多项式f(x)，g(x)的公因式并且对于f(x)与g(x)的任何公因式d1(x)都有d1(x)d(x)，则称d(x)为f(x)与g(x)的最大公因式或称最高公因式。
容易看出，任意两个不全为0的多项式必有公因式(至少非零常数就是)。关于最大公因式有如下结果。
i) 任意两个多项式(只要它们不都是零多项式)必有最大公因式；(证明略)
ii) 最大公因式不唯一；但两个最大公因式之间最多差一非零常数倍。
这是因为：如果d(x)，h(x)同是多项式f(x)与g(x)的最大公因式，根据定义，它们必互相整除，从而仅差非零常数倍。假如限定最大公因式的首项系数为1，则它是由f(x)与g(x)唯一决定的了。特别地，把f(x)与g(x)的首1最大公因式记为
(f(x)，g(x))。
定义0.1.6 如果多项式f(x)与g(x)的最大公因式是非零常数，则称f(x)与g(x)互素，亦称互质。
显然，f(x)与g(x)互素的充要条件是(f(x)，g(x))=1。实际上两个互素的多项式不存在一次及一次以上的公因式。
定义0.1.7一个多项式p(x)在数域F上不能分解为两个次数比p(x)低的多项式之积，则称f(x)在数域F上是个质式，或称为不可约多项式。
当然，一个多项式是否可约，是和所考虑的数域密切相关的。在复数域上，只有一次式才是质式，而在实数域上，质式可以是一次式及某些二次式。
0.1.4 多项式的根与标准分解
对于正整数n，由n次多项式f(x)形成的方程式f(x)=0称为n次代数方程。我们熟悉的是实系数一元二次方程
Ax2+bx+c=0，A，b，c∈R，A≠0。
它的根依据A，b，c的不同取值可能为不同二实根、相同二实根或共轭二复根。重复出现的根称为重根，其重复出现的次数称为该重根的重数。重数为1的根称为单根。如果约定在复数域上求根，并且重根的个数按其重数计算，那么一元二次代数方程就恰有两个根。这一结论可以推广到一般代数方程上去。由著名的代数学基本定理(即：当n≥1时，复数域上的n次代数方程至少有一个根)便可知下述定理成立。
定理0.1.3 在复数域上，n次代数方程恰有n个根(n≥1)。
定义0.1.8 对于n次(n≥1)多项式f(x)，代数方程f(x)=0的根亦称为多项式f(x)的根或零点。
根据定理0.1.3及定义0.1.8，又可以说：n次(n≥1)多项式在复数域上恰有n个根(重根的个数按重数计算)。
容易理解，A是多项式f(x)的根即指(x-A)f(x)；A是f(x)的k重根即指(x-A)kf(x)而(x-A)k+1f(x)。关于k重根的判别，还有如下定理。
定理0.1.4 x=A是多项式f(x)的k重根的充分必要条件是f(A)=0，f′(A)=0，，f(k-1)(A)=0而f(k)(A)≠0。
证明在x=A处将f(x)作泰勒展开
f(x)=f(A)+f′(A)(x-A)+f″(A)2!(x-A)2+
+f(k-1)(A)(k-1)!(x-A)k-1+f(k)(A)k!(x-A)k+
+f(n)(A)n!(x-A)n。(7)
必要性 A是k重根，则f(x)中恰有(x-A)k这个因式，(7)式前k项必为0，即f(A)=f′(A)= =f(k-1)(A)=0，而且必有f(k)(A)≠0，否则A的重数就多于k了!
充分性当f(A)=f′(A)= =f(k-1)(A)=0，而f(k)(A)≠0，由(7)式即见(x-A)kf(x)而(x-A)k+1�竑(x)，故x=A是f(x)的k重根。
推论0.1.1 如果多项式f(x)满足
f(A)=0，f′(A)=0，，f(k-1)(A)=0，
则x-A至少是f(x)的k重因式。
按照根与一次因式的关系，多项式f(x)的每一个根xi都对应着f(x)的一个一次因式(x-xi)，如果n次多项式(1)在复数域上全部互异的根为x1，x2，，xt，它们的重数分别为n1，n2，，nt，则有
f(x)=An(x-x1)n1(x-x2)n2 (x-xt)nt，(8)
并且n1+n2+ +nt=n。
(8)式右端称为左端多项式f(x)在复数域上的标准分解式。
例如，对于多项式f(x)=x3+2x2+x，分解式
f(x)=x(x+1)2，f(x)=(x+1)2x都是标准分解式，而
f(x)=x(x+1)(x+1)，f(x)=14x(2x+2)2
都不是标准分解式。
对于给定的多项式f(x)，除各个不同根相应一次式方幂排列次序的差异外，标准分解式是唯一的。
习题0.1
1. 判明下列数集是否构成数域？
1) F=｛1，3，5，7，｝;
2) F=｛AπA为有理数｝;
3) F=｛A+biA，b为有理数｝。
2. 设F为任一数域，证明FQ(Q为有理数域)。
3. 设f(x)是一个首项系数为1的多项式，并已知它的根为0，-1，1(二重)，试求f(x)按降幂排列的表达式。
4. 设f(x)=x4-5x3+11x2+Ax+b，试确定A，b的值，使(x-1)2f(x)。
5. 已知多项式f(x)与g(x)次数相同，证明：若f(x)g(x)，则g(x)f(x)。
6. 判明各小题中多项式的因式分解式哪些是复数域上的标准分解。
1) f(x)=(x-1)2(x+1)；
2) g(x)=(x2+2)(x-3)2；
3) h(x)=2(x+1)2x(x+5)；
4) p(λ)=λ(2λ-1)λ-12。
0.2 方阵的特征值与特征向量
鉴于矩阵