信息與計算科學叢書：分數階微分方程的有限差分方法 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

《分數階微分方程的有限差分方法》力求對分數階微分方程的差分方法做個簡明介紹。《分數階微分方程的有限差分方法》分為6章。第1章介紹瞭4種分數階導數的定義。第2章討論求解時間分數階慢擴散方程的有限差分方法。第3章研究時間分數階波方程的有限差分方法。第4章考慮求解空間分數階偏微分方程的有限差分方法。第5章關心求解一類時空分數階微分方程的有限差分方法。第6章介紹求解一類時間分布階微分方程的有限差分方法。

內頁插圖

目錄

第1章 分數階導數及其數值逼近
1．1 分數階導數的定義和性質
1．1．1 分數階積分
1．1．2 Crunwald-Letnikov（C-L）分數階導數
1．1．3 Riemann-Liouville（R-L）分數階導數
1．1．4 Caputo分數階導數
1．1．5 Riesz分數階導數
1．1．6 積分下限處分數階導數的性態
1．2 分數階導數的Fourier變換
1．3 分數階常微分方程
1．3．1 R-L型分數階常微分方程的求解
1．3．2 Caputo型分數階常微分方程的求解
1．4 分數階導數的數值逼近
1．4．1 R-L分數階導數的C-L逼近
1．4．2 Riesz分數階導數的中心差商逼近
1．4．3 Caputo分數階導數的L1插值逼近
1．4．4 Caputo分數階導數的Alikhanov超收斂點插值逼近
1．5 分數階常微分方程的差分方法
1．5．1 基於G-L逼近的方法
1．5．2 基於L1插值逼近的方法
1．5．3 基於Alikhanov超收斂點插值逼近的方法
1．6 補注與討論
習題1

第2章 時間分數階慢擴散方程的差分方法
2．1 一維問題基於G-L逼近的空間二階方法
2．1．1 差分格式的建立
2．1．2 差分格式的唯一可解性
2．1．3 差分格式的穩定性
2．1．4 差分格式的收斂性
2．2 一維問題基於G-L逼近的空間四階方法
2．2．1 差分格式的建立
2．2．2 差分格式的唯一可解性
2．2．3 差分格式的穩定性
2．2．4 差分格式的收斂性
2．3 一維問題基於L1插值逼近的空間二階方法
2．3．1 差分格式的建立
2．3．2 差分格式的唯一可解性
2．3．3 差分格式的穩定性
2．3．4 差分格式的收斂性
2．4 一維問題基於L1插值逼近的空間四階方法
2．4．1 差分格式的建立
2．4．2 差分格式的唯一可解性
2．4．3 差分格式的穩定性
2．4．4 差分格式的收斂性
2．5 二維問題基於G-L逼近的ADI方法
2．5．1 差分格式的建立
2．5．2 差分格式的唯一可解性
2．5．3 差分格式的穩定性
2．5．4 差分格式的收斂性
2．6 二維問題基於L1插值逼近的ADI方法
2．6．1 差分格式的建立
2．6．2 差分格式的唯一可解性
2．6．3 差分格式的穩定性
2．6．4 差分格式的收斂性
2．7 多項時間分數階慢擴散方程的差分方法
2．7．1 差分格式的建立
2．7．2 差分格式的唯一可解性
2．7．3 差分格式的穩定性
2．7．4 差分格式的收斂性
2．8 補注與討論
習題2

第3章 時間分數階波方程的差分方法
3．1 一維問題的空間二階方法
3．1．1 差分格式的建立
3．1．2 差分格式的唯一可解性
3．1．3 差分格式的穩定性
3．1．4 差分格式的收斂性
3．2 一維問題的空間四階方法
3．2．1 差分格式的建立
3．2．2 差分格式的唯一可解性
3．2．3 差分格式的穩定性
3．2．4 差分格式的收斂性
3．3 二維問題的ADI方法
3．3．1 差分格式的建立
3．3．2 差分格式的唯一可解性
3．3．3 差分格式的穩定性
3．3．4 差分格式的收斂性
3．4 二維問題的緊ADI方法
3．4．1 差分格式的建立
3．4．2 差分格式的唯一可解性
3．4．3 差分格式的穩定性
3．4．4 差分格式的收斂性
3．5 多項時間分數階波方程的差分方法
3．5．1 差分格式的建立
3．5．2 差分格式的唯一可解性
3．5．3 差分格式的穩定性
3．5．4 差分格式的收斂性
3．6 補注與討論
習題3

第4章 空間分數階微分方程的差分方法
4．1 一維問題基於位移G-L逼近的一階方法
4．1．1 差分格式的建立
4．1．2 差分格式的唯一可解性
4．1．3 差分格式的穩定性
4．1．4 差分格式的收斂性
4．2 一維問題基於加權位移G-L逼近的二階方法
4．2．1 差分格式的建立
4．2．2 差分格式的唯一可解性
4．2．3 差分格式的穩定性
4．2．4 差分格式的收斂性
4．3 一維問題基於加權位移G-L逼近的四階方法
4．3．1 差分格式的建立
4．3．2 差分格式的唯一可解性
4．3．3 差分格式的穩定性
4．3．4 差分格式的收斂性
4．4 二維問題基於加權位移G-L逼近的四階ADI方法
4．4．1 差分格式的建立
4．4．2 三個引理
4．4．3 差分格式的唯一可解性
4．4．4 差分格式的穩定性
4．4．5 差分格式的收斂性
4．5 補注與討論
習題4

第5章 時空分數階微分方程的差分方法
5．1 一維問題的空間二階方法
5．1．1 差分格式的建立
5．1．2 差分格式的唯一可解性
5．1．3 兩個引理
5．1．4 差分格式的穩定性
5．1．5 差分格式的收斂性
5．2 一維問題的空間四階方法
5．2．1 差分格式的建立
5．2．2 差分格式的唯一可解性
5．2．3 差分格式的穩定性
5．2．4 差分格式的收斂性
5．3 二維問題的空間二階方法
5．3．1 差分格式的建立
5．3．2 差分格式的唯一可解性
5．3．3 差分格式的穩定性
5．3．4 差分格式的收斂性
5．4 二維問題的空間四階方法
5．4．1 差分格式的建立
5．4．2 差分格式的唯一可解性
5．4．3 差分格式的穩定性
5．4．4 差分格式的收斂性
5．5 補注與討論
習題5

第6章 時間分布階慢擴散方程的差分方法
6．1 一維問題空間和分布階二階方法
6．1．1 差分格式的建立
6．1．2 差分格式的唯一可解性
6．1．3 兩個引理
6．1．4 差分格式的穩定性
6．1．5 差分格式的收斂性
6．2 一維問題空間和分布階四階方法
6．2．1 差分格式的建立
6．2．2 差分格式的唯一可解性
6．2．3 差分格式的穩定性
6．2．4 差分格式的收斂性
6．3 二維問題空間和分布階二階方法
6．3．1 差分格式的建立
6．3．2 差分格式的唯一可解性
6．3．3 差分格式的穩定性
6．3．4 差分格式的收斂性
6．4 二維問題空間和分布階四階方法
6．4．1 差分格式的建立
6．4．2 差分格式的唯一可解性
6．4．3 差分格式的穩定性
6．4．4 差分格式的收斂性
6．5 二維問題空間和分布階二階ADI方法
6．5．1 差分格式的建立
6．5．2 差分格式的唯一可解性
6．5．3 差分格式的穩定性
6．5．4 差分格式的收斂性
6．6 二維問題空間和分布階四階ADI方法
6．6．1 差分格式的建立
6．6．2 差分格式的唯一可解性
6．6．3 差分格式的穩定性
……
參考文獻
索引
《信息與計算科學叢書》已齣版書目

前言/序言

信息與計算科學叢書：分數階微分方程的有限差分方法 引言 在現代科學與工程的眾多領域，從材料科學、生物醫學到信號處理和控製理論，分數階微積分（Fractional Calculus）作為一種強大的數學工具，正扮演著越來越重要的角色。與傳統整數階微積分相比，分數階微積分能夠更精確地描述具有記憶效應、非局域性和奇異性的復雜係統行為，從而為分析和解決這些係統中的問題提供瞭更細緻和普適的視角。然而，分數階微分方程（Fractional Differential Equations, FDEs）的解析解往往難以獲得，這使得數值解法成為研究和應用的關鍵。在眾多數值方法中，有限差分方法（Finite Difference Method, FDM）因其概念直觀、實現相對簡便且在特定問題上具有良好的精度和效率，一直受到研究者的青睞。 本書《信息與計算科學叢書：分數階微分方程的有限差分方法》旨在為讀者係統地介紹和深入探討分數階微分方程的有限差分數值求解方法。我們希望通過本書，能夠為從事相關領域研究的學者、工程師以及對這一前沿計算方法感興趣的廣大學子提供一套全麵、深入且具有實踐指導意義的學習資源。本書將重點關注如何將經典的有限差分思想應用於各類分數階算子，並在此基礎上構建求解分數階微分方程的數值格式，分析其穩定性和收斂性，並探討實際應用中的挑戰與策略。 本書內容概述 本書內容設計循序漸進，從基礎概念的引入到復雜問題的求解，力求為讀者構建一個紮實的知識體係。 第一部分：分數階微積分基礎迴顧與有限差分法的引入 在深入探討分數階微分方程的有限差分方法之前，有必要對分數階微積分的核心概念以及有限差分法的基本原理進行簡要迴顧。 分數階微積分的曆史與發展： 追溯分數階微積分的起源，介紹其發展曆程中的重要裏程碑和關鍵人物。 分數階積分的定義： 詳細闡述幾種常用的分數階積分定義，如Riemann-Liouville定義、Caputo定義、Grünwald-Letnikov定義等。深入理解不同定義的數學形式及其物理意義，特彆是在描述連續介質和非局域現象方麵的優勢。 分數階微分的定義： 基於分數階積分的定義，推導相應的分數階微分定義，並討論其與整數階微分在性質上的異同。 分數階微積分的性質： 介紹分數階微積分的一些基本性質，如綫性性質、積分的連續性和可微性等，為後續數值方法的推導奠定基礎。 有限差分法的基本思想： 迴顧有限差分法在求解常微分方程和偏微分方程中的基本思想，包括如何用差商逼近導數，以及網格劃分、時間步長等基本概念。 第二部分：格林納維奇-古特裏（Grünwald-Letnikov）定義下的有限差分方法 Grünwald-Letnikov定義是一種直接將整數階差分推廣到分數階的定義，其形式直觀，易於轉化為有限差分格式，是早期研究分數階微分方程數值解的重要方法之一。 Grünwald-Letnikov分數階微分的定義與性質： 詳細介紹Grünwald-Letnikov分數階微分的公式，並通過算例說明其計算方式。 基於Grünwald-Letnikov定義的有限差分近似： 推導使用Grünwald-Letnikov定義求解分數階導數（包括左側和右側導數）的有限差分格式。重點分析其近似誤差和截斷誤差。 時間分數階微分方程的有限差分法： Caputo型時間分數階微分方程： 重點介紹Caputo型定義在物理模型中的重要性，以及如何基於Grünwald-Letnikov定義近似Caputo型分數階導數。 全離散化格式的構建： 針對不同類型的時間分數階微分方程（如常係數、變係數、非綫性），推導相應的全離散化有限差分格式。 穩定性與收斂性分析： 對構建的有限差分格式進行嚴格的數學分析，包括馮·諾依曼（von Neumann）方法或能量方法進行穩定性分析，以及利用截斷誤差分析和不等式技巧進行收斂性分析。 空間分數階微分方程的有限差分法： 對稱分數階導數的近似： 介紹對稱分數階導數在描述空間非局域性中的應用，並推導其有限差分近似。 基於網格點的差分格式： 討論如何處理空間離散化中的邊界條件和非局域性特徵。 穩定性與收斂性分析： 分析空間分數階微分方程有限差分法的穩定性和收斂性。 時空分數階微分方程的有限差分法： 聯閤時間和空間的分數階導數，介紹其有限差分法的構建與分析。 第三部分：Caputo分數階微分方程的有限差分方法 Caputo定義在描述具有初始條件的分數階微分方程時更為方便，其導數定義與物理初始條件直接相關。因此，針對Caputo定義開發高效的數值方法至關重要。 Caputo分數階微分的性質與計算： 梳理Caputo分數階微分的數學性質，以及其與Grünwald-Letnikov定義的關係。 Caputo型時間分數階微分方程的數值求解： 精確處理時間非局域性： 重點討論如何在數值格式中精確或高精度地處理時間分數階導數的捲積性質，以及纍積效應。 L1和L2格式： 詳細介紹基於梯形求積公式和高階求積公式發展齣的L1和L2等格式，分析其精度和計算效率。 隱式和顯式格式： 探討不同類型時間步進格式的優缺點，以及如何選擇閤適的格式以保證穩定性和效率。 實際算例與結果分析： 通過具體的Caputo型分數階微分方程模型（如分數階擴散方程、分數階波動方程）進行數值模擬，展示算法的有效性，並對結果進行深入分析。 Caputo型空間分數階微分方程的數值求解： 介紹如何將Caputo定義應用於空間分數階微分算子，並推導相應的有限差分格式。 第四部分：其他分數階微分算子的有限差分方法 除瞭Grünwald-Letnikov和Caputo定義，還有一些其他分數階微分算子在特定問題中也具有重要的應用。 Riemann-Liouville定義下的有限差分方法： 探討基於Riemann-Liouville定義推導有限差分格式的難點與解決方案。 廣義分數階微積分的有限差分方法： 簡要介紹更廣義的分數階微積分框架，以及如何將其數值化。 第五部分：分數階微分方程有限差分法的應用與進階 在掌握瞭基礎的有限差分方法後，本書將進一步探討其在具體問題中的應用，以及一些更高級的數值技術。 實際應用中的挑戰與策略： 高維問題： 討論如何處理高維分數階微分方程的有限差分求解。 非綫性問題： 介紹求解非綫性分數階微分方程的數值技巧，如迭代方法、Newton方法等。 復雜邊界條件： 討論如何處理分數階微分方程中的非標準邊界條件。 不規則區域： 簡要提及在不規則區域上求解分數階微分方程的有限差分方法。 精度提升與加速技術： 高階精度格式： 介紹如何構建更高階的有限差分格式，以提高計算精度。 多網格法與迭代求解： 討論如何將多網格法和高效的迭代求解器應用於求解大型稀疏綫性係統，以加速計算。 與其他數值方法的比較： 簡要比較有限差分法與其他求解分數階微分方程的數值方法（如有限元法、譜方法）的優缺點。 軟件實現與案例研究： 編程語言與庫： 推薦常用的編程語言（如Python, MATLAB, C++）和相關的科學計算庫，指導讀者如何實現算法。 典型應用案例： 通過具體的工程和科學問題，如分數階粘彈性材料力學、分數階電化學模型、分數階生物擴散模型等，詳細展示有限差分方法的應用過程，並對模擬結果進行物理解釋。 結語 本書的寫作宗旨是力求清晰、嚴謹，並兼顧理論與實踐。我們希望通過對分數階微分方程有限差分法的係統梳理和深入講解，幫助讀者建立對這一強大數值工具的全麵認識，掌握其核心思想和技術，並能夠將其應用於解決自己研究和工作中的實際問題。分數階微積分及其數值方法是計算科學領域一個充滿活力的研究方嚮，本書的齣版旨在為該領域的進一步發展貢獻力量，並激發更多研究者和工程師的興趣。 目標讀者 本書適閤以下讀者： 信息與計算科學、應用數學、物理學、工程學等相關專業的本科高年級學生和研究生。 從事分數階微積分理論研究、數值方法開發及相關領域應用研究的科研人員。 在材料科學、生物醫學、信號處理、控製工程等領域需要處理分數階微分方程的工程師和技術人員。 對分數階微積分和數值計算有濃厚興趣的讀者。 本書假定讀者具備一定的微積分、綫性代數和基礎數值分析知識。對於分數階微積分的概念，本書將進行必要的鋪墊和迴顧，但讀者若能提前瞭解一些基本概念，將有助於更順暢地閱讀。