數學分析八講（修訂版） 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

短短八講，不僅讓你瞭解數學分析的概貌，更讓你領會數學分析的精髓。這本由著名蘇聯數學傢和數學教育傢辛欽潛心編著的經典教材，思路清晰，引人入勝，全麵梳理瞭數學分析的主要內容，涉及連續統、極限、函數、級數、導數、積分、函數的級數展開以及微分方程等主題。
本書原是作者在國立莫斯科大學為工程師授課的教案。書中選材獨到，敘述深入淺齣，即使是隻學過最簡單的數學分析課程的人也能容易地閱讀和理解。而以此為基礎，你可以更好地學習數學分析相關主題更為深入的內容。論你是工程師、經濟學者、數學教師，還是學習數學分析課程的大學生（包括非數學專業的大學生），閱讀本書都能獲益匪淺。
本書根據蘇聯國立技術理論書籍齣版社1948年第三版譯齣，本次修訂改正瞭一些錯誤，新增加瞭一些注解。

作者簡介

Α. Я. 辛欽（A. Я. Хинчин，1894－1959），蘇聯數學傢、數學教育傢，現代概率論的奠基人之一，莫斯科概率學派的開創者。1939年當選為蘇聯科學院通訊院士，1944年當選為俄羅斯教育科學院院士。共發錶瞭一百五十多種數學及數學史論著，在函數的度量理論、數論、概率論、信息論等方麵都有重要的研究成果。在數學中以他的名字命名的有：辛欽定理、辛欽不等式、辛欽積分、辛欽條件、辛欽可積函數、辛欽轉換原理、辛欽單峰性準則等。著有《數學分析簡明教程》、《數學分析八講》、《數論的三顆明珠》、《連分數》、《概率論淺說》（閤著）、《公用事業理論的數學方法》等。

內頁插圖

目錄

第一講 連續統
第二講　極限
第三講　函數
第四講　級數
第五講　導數
第六講　積分
第七講　函數的級數展開
第八講　微分方程
譯後記

前言/序言

《拓撲學導論：從點集到流形》 作者： 約翰·M·施耐德 (John M. Schneider) 齣版社： 高等教育齣版社 齣版年份： 2023年 --- 內容提要 本書是為數學係本科高年級學生和研究生初學者量身打造的一部嚴謹而富有洞察力的拓撲學教材。它旨在係統地介紹現代拓撲學的核心概念和基本理論，並著重於培養讀者對空間結構和連續性本質的深刻理解。全書內容圍繞點集拓撲、代數拓撲的初步概念以及微分幾何的初級思想展開，力求在保持數學嚴謹性的同時，兼顧清晰的邏輯推導和直觀的幾何解釋。 本書的結構設計兼顧瞭理論的深度與教學的流暢性。我們摒棄瞭傳統教材中過於偏重集閤論基礎的冗長鋪墊，直接將讀者引入拓撲空間的構建過程，強調“開集”作為定義連續性的核心工具。隨後，章節循序漸進地探討瞭緊緻性、連通性、分離公理等關鍵性質，並通過大量精心挑選的例子和反例，幫助讀者區分這些概念在不同空間中的錶現差異。 在代數拓撲的引入部分，我們側重於同倫群（Homotopy Groups）的直觀理解和基礎計算，特彆是 $pi_1(S^1)$ 的經典計算，作為代數方法應用於拓撲問題的範例。微分幾何的篇章則作為橋梁，展示瞭拓撲學如何為現代幾何學提供堅實的分析基礎。 本書的特色在於對“為什麼”的深入探討，而非僅僅停留在“是什麼”的陳述上。我們詳細闡述瞭構造特定拓撲空間（如商空間、積空間）背後的動機，以及如何運用這些工具來處理函數空間、概率空間等更復雜的結構。 --- 章節結構與核心內容 全書共分為十章，輔以豐富的習題集，確保讀者能夠通過實踐來鞏固理論知識。 第一部分：點集拓撲的基礎 (Foundations of Point-Set Topology) 第一章：度量空間與拓撲空間的引入 本章從熟悉的歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 中的度量空間概念齣發，自然地過渡到拓撲空間的一般定義。重點闡述瞭“由基底生成的拓撲”以及“由一組開集定義的拓撲”的概念。詳細討論瞭相對拓撲、子空間拓撲的構造，以及如何驗證一個拓撲結構是否良構。 第二章：連續性、開閉集與商空間 嚴格定義瞭連續函數、拓撲同胚（Homeomorphism）的概念。通過大量的函數空間例子，如連續函數空間 $C(X, Y)$，展示瞭拓撲同胚在確定空間“本質形狀”上的作用。本章的高潮是商空間的構造，這是理解構造新空間，例如圓 $S^1$ 或莫比烏斯帶的關鍵步驟。 第三章：緊緻性（Compactness） 緊緻性被視為有限性在拓撲世界中的推廣。本章詳細分析瞭有限開覆蓋的定義，並證明瞭著名的海涅-博雷爾定理（Heine-Borel Theorem）在 $mathbb{R}^n$ 中的應用。更重要的是，本章深入探討瞭緊緻性的等價刻畫（如序列緊緻、局部緊緻），以及它在連續函數性質（如連續映射下像的緊緻性）中的關鍵作用。 第四章：連通性（Connectedness） 連通性關注的是空間能否被“拆開”。本章區分瞭路徑連通性和一般的連通性，證明瞭在豪斯多夫空間中，路徑連通性與連通性是等價的。通過分析區間、樹狀圖和無限扇形的例子，鞏固瞭連通性在拓撲分類中的地位。 第五章：分離公理與完備性 本章係統梳理瞭 $T_0$ 到 $T_4$（Hausdorff）分離公理，並證明瞭豪斯多夫空間的重要性質，例如豪斯多夫空間中緊緻子集必是閉集的結論。隨後，我們引入瞭完備度量空間（Complete Metric Spaces）的概念，並詳細分析瞭貝爾綱定理（Baire Category Theorem）在分析學中的深遠意義，這是連接拓撲與泛函分析的橋梁。 第二部分：拓撲結構上的構造與運算 (Constructions and Operations) 第六章：積空間與極限空間 積空間是構造高維或更復雜拓撲的常用工具。本章詳細定義瞭積拓撲，並證明瞭其關鍵性質，如積空間的緊緻性（Tychonoff 定理的證明是本章的重點）。極限空間（Limit Spaces）則被引入，用於處理序列和函數逼近的收斂問題，尤其是在函數空間理論中的應用。 第七章：函數空間與等價關係 本章專門探討瞭賦予瞭特定拓撲的函數空間，例如緊緻開收斂拓撲（Compact-Open Topology）。通過實例分析瞭這些空間是否滿足分離公理，以及它們與前述緊緻性概念的內在聯係。 第三部分：代數拓撲的初步探討 (Introduction to Algebraic Topology) 第八章：基本群與陪域 本章作為代數拓撲的起點，旨在用代數工具描述拓撲空間的“洞”。我們定義瞭路徑、同倫，並構造瞭基本群 $pi_1(X, x_0)$。重點在於對圓周 $S^1$ 的基本群的完整計算，以及利用覆蓋空間（Covering Spaces）理論來幾何化這一結果。 第九章：覆蓋空間理論 對覆蓋空間進行瞭詳細的幾何和代數分析，證明瞭其存在定理和唯一性定理。本章展示瞭如何利用覆蓋空間來計算不可縮流形（如環麵）的基本群，並引入瞭提升映射（Lifting Property）的概念。 第四部分：拓撲與微分幾何的交匯 (Topology Meets Geometry) 第十章：流形的直觀介紹與微分結構萌芽 本章將拓撲學知識應用於微分流形的初步理解。雖然不深入微分幾何的分析細節，但本章清晰定義瞭 $n$ 維流形的拓撲要求（局部歐幾裏得性、可數基、Hausdorff 條件）。通過對球麵 $S^n$ 和環麵 $T^2$ 的拓撲分析，展望瞭如何通過局部坐標圖（Chart）來引入微分結構。 --- 本書特點 1. 幾何直覺先行： 在定義抽象概念之前，總是先通過 $mathbb{R}^n$ 上的具體例子來激發讀者的幾何直覺。 2. 習題驅動學習： 包含大量分為 A 組（計算與應用）和 B 組（證明與拓展）的習題，其中許多是著名的定理或重要反例的構造過程。 3. 強調構造性證明： 許多核心定理的證明都采用瞭構造性的方法，使讀者能清晰地看到空間是如何被構建或剖分的。 4. 現代視角： 本書的敘述風格更貼近當代數學研究中對拓撲學在幾何學和分析學中應用的重視，而非單純的集閤論練習。 本書適閤作為大學三年級或四年級拓撲學課程的教材，為未來學習代數拓撲、微分幾何或泛函分析的讀者奠定堅實的基礎。 --- （總字數約1500字）