本书系统介绍了随机抛物型、双曲型和椭圆型方程的有限元分析方法，全书共6 章。第1 章是预备知识，包括Banach 空间和Hilbert 空间中的几类有界线性算子、Sobolev 空间基本理论、算子半群、有限元方法的基础理论，以及穷维随机积分的基本概念和性质；第2 章介绍随机抛物型方程的有限元分析方法，其中包括确定性抛物方程有限元方法理论分析、自伴算和非自伴算子随机抛物方程的有限元分析方法；第3 章对经典的随机Navier-Stokes 方程进行有限元分析和后验误差估计，重点介绍了后验误差估计方法；第4 章以分别带有Q-Wiener 过程噪声项和带有Brownian 片噪声项的两类随机弹性方程为例，介绍双曲型随机偏微分方程的有限元理论分析方法；第5 章以随机Poisson 方程和随机Stokes 方程为例，介绍椭圆型随机偏微分方程的有限元理论分析方法；第6 章介绍随机积分微分方程有限元理论分析方法。

作者简介

杨小远，北京航空航天大学数学与系统科学学院教授，《IEEE Transactions on Signal Processing》《Information Sciences》、《IEEE Transactions on Image Processing》、《International Journal of Computer Mathematics》、《IET Signal Processing》、《IET Control Theory ＆ Applications》审稿人。

第 1 章基础知识 ???????????????? 1
1．1 Banach空间和Hilbert空间上的有界线性算子 ? ? 1
1．1．1 度量空间 ????????????????? 1
1．1．2 线性算子与线性泛函 ?? ? 4
1．1．3 核算子与Hilbert-Schmit算子 ?? ????? 7
1．2 Sobolev空间 ???????????????? 10
1．2．1 广义导数与Sobolev空间 ?????????? 11
1．2．2 Sobolev空间嵌入定理 ??????????? 14
1．2．3 迹定理 ????????????????? 15
1．2．4 Sobolev空间中的等价模定理 ???? ??? 17
1．2．5 Sobolev空间中的内插理论 ???????? 18
1．2．6 Gronwall引理 ?????????????? 19
1．3 算子半群 ???????????????? 21
1．3．1 抽象函数 ??????????????? 21
1．3．2 算子半群基本概念 ???????????? 25
1．3．3 C0半群 ????????????????? 26
1．3．4 解析半群与算子的分数次幂 ???????? 31
1．3．5 半群的扰动和逼近 ??????????? 33
1．4 有限元方法基本理论 ?????? ???? 35
1．4．1 变分原理 ???????????????? 35
1．4．2 有限元离散与插值误差估计 ????????? 39
1．4．3 发展方程的有限元方法 ??????????? 45
1．5 随机积分 ?????????? ?????? 46
1．5．1 概率空间 ???????? ?????? 46
1．5．2 随机变量与Bochner积分 ?????????? 48
1．5．3 条件期望与独立性 ???????????? 52
1．5．4 Gaussian测度 ?????????????? 53
1．5．5 随机过程与鞅 ???????? ????? 54
1．5．6 关于＆#119876;-Wiener过程的随机积分 ??????? 57
第 2 章随机抛物方程有限元方法 ????????? 63
2．1 抛物方程有限元方法理论分析 ???????? 63
2．1．1 空间半离散格式的误差估计 ???????? 63
2．1．2 全离散格式的有限元误差估计 ??????? 69
2．2 自伴算子随机抛物方程有限元方法 ?????? 72
2．2．1 空间半离散格式的误差估计 ???????? 72
2．2．2 全离散格式的有限元误差估计 ??????? 76
2．3 非自伴算子随机抛物方程有限元方法 ????? 83
2．3．1 空间半离散格式的误差估计 ???????? 83
2．3．2 全离散格式的有限元误差估计 ??????? 93
2．4 研究进展评述 ????????????????99
第 3 章随机Navier-Stokes方程的有限元分析与后验误差估计 ???? 103
3．1 方程的理论分析 ???????????? ???????? 103
3．2 有限元误差估计 ?????????????????????? 105
3．2．1 时间半离散格式的误差估计 ???????????????? 105
3．2．2 全离散格式的有限元误差估计 ??????????????? 118
3．3 后验误差估计 ??????????????????????? 124
3．3．1 加权Clement-type插值算子 ???????????????? 124
3．3．2 空间半离散格式的后验误差估计 ?????????????? 127
3．3．3 全离散格式的后验误差估计 ???????????????? 135
3．4 研究进展评述 ??????????????????????? 141
第 4 章随机弹性方程有限元方法 ???????????????? 143
4．1 弹性方程有限元方法理论分析 ???????????????? 143
4．1．1 弹性方程解的定性分析 ?????????????????? 143
4．1．2 基于C1元的弹性方程半离散有限元方法 ???? ?? 146
4．1．3 基于C1元的弹性方程全离散有限元方法 ??????? 148
4．1．4 基于C0元的弹性方程半离散有限元方法 ??????? 151
4．1．5 基于C0元的弹性方程全离散有限元方法 ??????? 154
4．2 带有＆#119876;-Wiener过程噪声项的随机弹性方程有限元方法 ??157
4．2．1 随机弹性方程解的性质 ?????????????? 157
4．2．2 基于C1元的随机弹性方程半离散有限元方法强误差估计 ? 159
4．2．3 基于C1元的随机弹性方程全离散有限元方法强误差估计 ? 162
4．2．4 基于C0元的随机弹性方程半离散有限元方法强误差估计 165
4．2．5 基于C0元的随机弹性方程全离散有限元方法强误差估计 ? 166
4．2．6 随机弹性方程有限元方法的弱误差估计 ???????? 168
4．3 带有Brownian片噪声项的随机波动方程和随机弹性方程有限元方法 173
4．3．1 两类随机双曲方程的统一表示形式 ?????????????173
4．3．2 方程的正则化 ??????????????????? ? 175
4．3．3 正则化方程误差估计 ?????????????????? 176
4．3．4 随机指数积分法 ???????????????????? 180
4．3．5 全离散有限元逼近 ???????????? 183
4．4 研究进展评述 ??????????????? 192
第 5 章随机椭圆型方程有限元方法 ?????? 195
5．1 椭圆方程的Green函数 ?????????? 195
5．2 随机椭圆方程有限元方法 ???????? 198
5．2．1 方程的正则化 ??????????? 199
5．2．2 有限元误差估计 ?????????? 204
5．3 随机Stokes方程非协调有限元方法 ???? 206
5．3．1 随机Stokes方程Green函数的性质 ??? 206
5．3．2 白噪声的正则化 ??????????? 210
5．3．3 非协调有限元逼近 ?????????? 213
5．4 研究进展评述 ????????????? 218
第 6 章随机积分微分方程有限元方法 ???? 221
6．1 随机积分微分方程的理论分析 ?????? 221
6．1．1 问题的陈述 ????????????? 221
6．1．2 积分微分方程的预解系 ???????? 223
6．1．3 随机积分微分方程温和解的存在性和唯一性 ????? 227
6．2 空间半离散格式的误差估计 ????????????? 230
6．3 全离散格式的有限元误差估计 ???????????? 235
6．4 研究进展评述 ??????????????????? 242
参考文献 ??????????????????????? 243