工程数学·线性代数：全程学习指导与习题精解（同济六版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

编辑推荐

　　《工程数学·线性代数：全程学习指导与习题精解（同济六版）》根据线性代数课程考试和考研内容，在每一章设计了一套同步自测题，目的是给广大同学提供练习机会，帮助广大同学进一步消化知识、夯实基础、提高能力，同时检验自己对线性代数知识的掌握程度，找出差距，以便更好地学习线性代数。

内容简介

　　《工程数学·线性代数：全程学习指导与习题精解（同济六版）》由以下几部分组成：1.基本要求、重点与难点：给出了每一章的基本要求及该章的重点和难点内容。2.主要概念与公式：列出了每一章的基本概念、重要定理和重要公式，突出必须掌握或考试中出现概率较高的核心内容。
　　3.重点、难点解答：列出每一章的重点、难点内容，并对重点、难点内容给出了详细的归纳和解释，以帮助广大同学对相应内容理解得更加透彻。
　　4.典型例题分析：精选每一章内容所涉及的重要题型，并进行了详细的分析和解答，以帮助广大同学更好地掌握和理解相关题型的解法，达到举一反三、触类旁通的效果。
　　5.课后习题全解：对教材中课后每一道习题均给出了详细的分析和解答，以帮助广大同学回顾、巩固、深化每一章的内容讲解。
　　6.考研真题精解：精选历年硕士研究生入学考试试题中具有代表性的题目进行了详细的分析和解答。这些题目涉及内容广、题型多、解题技巧性强，可以进一步帮助广大同学举一反三、触类旁通、开拓解题思路，更好地掌握《线性代数》的基本内容和解题方法。

作者简介

　　滕兴虎，解放军理工大学教师，并被评为理工大学优秀教师，省非理科数学竞赛优秀指导教师。长期从事数学分析、高等数学、线性代数、概率论与数理统计等课程的教学和研究，多次担任考研辅导及各类数学竞赛指导工作。因工作突出荣立三等功一次，多次荣获嘉奖。

内页插图

目录

第一章 行列式
基本要求、重点与难点
主要概念与公式
重、难点解答
典型例题分析
课后习题全解
考研真题精解
同步测试题
同步测试题参考答案

第二章 矩阵及其运算
基本要求、重点与难点
主要概念与公式
重、难点解答
典型例题分析
课后习题全解
考研真题精解
同步测试题
同步测试题参考答案

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
基本要求、重点与难点
主要概念与公式
重、难点解答
典型例题分析
课后习题全解
考研真题精解
同步测试题
同步测试题参考答案

第四章 向量组的线性相关性
基本要求、重点与难点
主要概念与公式
重、难点解答
典型例题分析
课后习题全解
考研真题精解
同步测试题
同步测试题参考答案

第五章 相似矩阵及二次型
基本要求、重点与难点
主要概念与公式
重、难点解答
典型例题分析
课后习题全解
考研真题精解
同步测试题
同步测试题参考答案

第六章 线性空间与线性变换
基本要求、重点与难点
主要概念与公式
重、难点解答
典型例题分析
课后习题全解
考研真题精解
同步测试题
同步测试题参考答案

前言/序言

高等代数学习指南：扎实基础，精通矩阵与向量空间 导言：迈向严谨的数学思维 高等代数，作为数学分析、概率论与数理统计等众多核心课程的基石，是理工科学生乃至所有需要进行量化分析的专业人士必须掌握的工具。它不仅提供了处理多维数据的强大框架，更是培养逻辑推理能力和抽象思维的绝佳途径。本书旨在为初学者提供一条清晰、循序渐进的学习路径，帮助读者从零开始，系统、深入地理解高等代数的各个核心概念。 第一部分：代数结构与数域基础 本书的起点是对代数结构进行初步的探讨，这为后续更复杂的线性代数内容奠定了必要的理论基础。我们从最基本的概念入手，如集合、映射、运算等，随后深入讲解群、环、域等抽象代数结构。虽然高等代数的核心在于线性代数，但理解这些基础结构有助于我们更好地把握向量空间、线性变换的本质——它们本身就是一种特定的代数结构。 集合与运算： 严谨定义集合的性质，掌握集合间的基本运算，如交集、并集、补集，以及笛卡尔积的概念。 二元运算与代数结构： 引入二元运算的封闭性、结合律、交换律等性质。重点解析群（Group）的定义、子群、陪集与拉格朗日定理，为理解向量空间的封闭性和运算规则打下基础。 环与域： 简要介绍环（Ring）和域（Field）的概念，特别是实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 在线性代数中的重要性。理解数域的完备性是后续求解特征值、对角化问题的理论前提。 第二部分：线性空间的基石——向量空间 向量空间是线性代数的灵魂所在。本部分将详尽阐述向量空间（Vector Space）的严格定义及其丰富内涵。 向量空间的定义与性质： 详细列出向量空间需满足的十条公理，并通过实例（如多项式空间、函数空间）说明其普适性。重点分析零向量、负向量的唯一性等基本性质。 子空间的概念： 定义子空间（Subspace），讲解如何检验一个集合是否构成向量空间的一个子空间。子空间的交集与和空间的概念及其维度计算是本节的难点和重点。 线性组合、线性相关与基： 线性组合是构建向量空间的基础操作。我们将区分线性相关（Linearly Dependent）与线性无关（Linearly Independent）集合，并通过“向量组的极大线性无关组”的概念自然过渡到“基”（Basis）的定义。理解基的意义在于它提供了一种坐标表示的最小、完备的描述方式。 维数（Dimension）： 严格证明任何向量空间的基所含向量的数目是固定的，即空间的维数。讨论有限维向量空间的性质，如维数与子空间、商空间的关系。 第三部分：线性映射与矩阵的本质 矩阵是描述线性变换的最直观工具。本部分将深入探讨线性映射（Linear Transformation）的性质，并揭示矩阵与线性映射之间的同构关系。 线性映射的定义与性质： 定义从一个向量空间到另一个向量空间的线性映射，探讨其保持向量加法和标量乘法的特性。分析零映射、恒等映射的性质。 核空间与像空间： 线性映射的两个重要属性——核空间（Kernel/Null Space）和像空间（Image/Range）。它们分别对应了线性方程组的齐次解集和映射的输出范围。 秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）： 这一定理是连接线性映射的“输入维度”、“输出维度”、“核空间维度”和“像空间维度”的桥梁，是理解线性系统复杂度的关键。 矩阵的表示： 如何根据选定的基，将抽象的线性映射转化为具体的矩阵。详细讲解基变换（Change of Basis）对矩阵表示的影响，即相似变换。 第四部分：线性方程组的求解与结构 线性方程组是高等代数最直接的应用场景。本书将采用矩阵的视角，系统阐述求解的理论和方法。 增广矩阵与初等行变换： 介绍增广矩阵（Augmented Matrix）以及三种初等行变换（Elementary Row Operations）的性质。 行阶梯形与行简化阶梯形（RREF）： 通过高斯消元法（Gaussian Elimination）将矩阵化为行阶梯形，这是求解线性方程组的核心算法。讲解如何利用RREF直接判断解的存在性和解的结构。 解的结构： 证明任意线性方程组的解集可以表示为“特解”与“对应齐次方程组的通解”之和，这深刻揭示了线性系统的内在结构。 矩阵的秩与方程解： 明确矩阵的列秩、行秩与方程解的个数之间的关系（Rouché-Capelli 定理的矩阵形式）。 第五部分：特征值、特征向量与对角化 特征值与特征向量是分析线性系统动态特性、解决微分方程、进行数据降维（如PCA）的关键工具。 特征值与特征向量的定义： $mathbf{Av} = lambda mathbf{v}$ 的几何意义在于，线性变换仅拉伸或压缩向量，而不改变其方向。 特征多项式与谱： 计算特征多项式 $det(mathbf{A} - lambda mathbf{I}) = 0$，求出所有特征值（谱）。讨论代数重数与几何重数的概念。 对角化条件： 判定一个矩阵是否可对角化（Diagonalizable）。重点阐述实对称矩阵的性质——它们总是可对角化的，且特征向量相互正交。 相似变换与矩阵的标准化： 利用特征向量构成的矩阵 $mathbf{P}$，将矩阵 $mathbf{A}$ 相似变换为对角矩阵 $mathbf{Lambda}$，即 $mathbf{A} = mathbf{P}mathbf{Lambda}mathbf{P}^{-1}$。 第六部分：内积空间与正交性 内积空间引入了长度、角度等几何概念，将抽象的向量空间提升到了欧几里得几何的层面。 内积的定义与性质： 推广点积（Dot Product）的概念，定义内积（Inner Product）及其共轭对称性、正定性等要求。 范数与正交性： 利用内积定义向量的范数（长度）和两向量间的夹角。重点讲解正交（Orthogonal）和标准正交基（Orthonormal Basis）的概念。 施密特正交化过程（Gram-Schmidt Process）： 介绍如何将任意一组基转化为一组标准正交基，这是求解最小二乘问题的理论基础。 正交投影与最小二乘法： 利用正交投影的概念，解决超定线性方程组（方程多于未知数）的最佳近似解问题，即最小二乘解（Least Squares Solution）。 谱定理（The Spectral Theorem）： 深入探讨实对称矩阵的对角化性质，证明其特征向量可以构成一组完备的正交基。 总结与展望 本书力求在保持数学严谨性的同时，注重概念的几何直观性与算法的可操作性。通过大量的例题解析和详细的步骤说明，我们旨在帮助读者不仅学会“如何计算”，更要理解“为何如此”。掌握高等代数，意味着掌握了现代科学与工程中处理复杂系统的基本语言。