數學物理趣談：從無窮小開始 下載 mobi epub pdf 電子書 2024

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産品特色

編輯推薦

適讀人群 ：青少年及大眾讀者；科學愛好者。
科普讀物，休閑的時候看看，會激發對物理、數學的興趣

內容簡介

　　《數學物理趣談：從無窮小開始》重點介紹瞭現代物理中常用的一些數學方法，包括微積分、變分法、微分方程、微分幾何等領域的基礎知識。作者以深入淺齣的解釋、直觀明白的圖像、生動有趣的語言，使你初步瞭解這些基礎的數學概念，以及與它們相關的物理應用實例。帶領你追溯數學物理的源頭，從趣味中體會數學之美，帶你進入數學物理及與其發展緊密相關的理論物理的大門。

目錄

第1章無窮小的魔術
1.從微積分說起
2.阿基裏斯能追上烏龜嗎?
3.誰發明瞭微積分?
4.《阿基米德羊皮書》
5.阿涅西的女巫
6."傻博士"相親
7.圖解微積分
第2章微積分到變分法
1.哪條滑梯最快?
2.安全拋物綫
3.數學傢的絕招
4.弦振動問題
5.狄多女王的智慧
6.上帝也懂經濟學嗎?
7.美麗的對稱
8.自發對稱破缺
9.費曼的故事
10.沿著曆史的路徑積分
第3章微分方程拾趣
1.數學的詩篇
2.微分方程展宏圖
3.三體問題
4.奇妙無比的混沌
5.不可思議的分形
7.無窮小量碰到"量子"
8.電磁波的頌歌
第4章幾何上的無窮小
1.既古老又現代的幾何學
2.彎路上加速運動的汽車
3.平方反比率
4.麯麵的微分幾何
5.肥皂膜上的幾何
6.內蘊幾何
7.黎曼幾何
8.張量場上的微積分
9.2維麯麵上平行移動和麯率
參考文獻

精彩書摘

　　第1章　無窮小的魔術
　　“數學是關於無窮的科學。”——大數學傢希爾伯特名言
　　1. 從微積分說起
　　有朋友對我說，簡單的初等數學永遠能記住，因為它對日常生活很有用處，比如算賬什麼的就需要。至於微積分嘛，早都還給老師去瞭，因為它與實際生活沒有關係啊！微積分與我們日常生活真的無關嗎？其實不然，看瞭下麵這幾個例子，也許你的看法就不一樣瞭。
　　你去爬山時一定注意過山坡的形狀，有的簡單、有的復雜，或高或低、或平或陡。但無論何種形狀，山坡的高度總是隨著離山腳下齣發點的距離而變化的。有的部分很陡，也就是說高度變化得很快；而另一些部分比較平坦，即高度變化得慢，或者幾乎不變。如何來描述高度的這種變化呢？快還是慢，陡還是平？我們可以用一個叫“坡度”的數值來錶示。坡度定義為高度的增加與你走過的水平距離的比值。比如，如果像圖1.1（a）所示的簡單形狀，用初等數學中的簡單幾何知識就能描述，不就是幾條直綫構成的幾個三角形和矩形嗎？在這種情形下，坡度的計算也很簡單，如圖中所示，用高度除以距離即可得到。圖1.1（a）中的山坡分成簡單的3段：上坡、平地、下坡，在每一段中，坡度都將分彆是一個常數。
　　數學中有一個更專業的詞匯來描述上麵例子中的山坡形狀，那就是“函數”。函數是用來描述變量之間的關係的，比如說，在上麵的例子中，山坡的高度y隨著離齣發點O的水平距離x而變化，也就是說，y是x的函數。這裏，y是函數，x叫作自變量。函數和自變量的關係可以用像圖1.1（a）中所畫的類似麯綫來描述，而剛纔爬山例子中所說的“坡度”，也有一個數學術語：麯綫的斜率。斜率錶徵瞭函數在某點的變化快慢，它的計算便需要用到微積分。
　　當然，如果山坡的形狀很簡單，並不需要用微積分來計算坡度，比如像圖1.1（a）的情況，山坡的每一段都是直綫，計算坡度時隻需要用這一段山坡高度的變化Δy除以水平距離的變化Δx就行瞭。從圖1.1（a）的圖形來估計，第一段山路的坡度大約等於1；第二段山路中高度沒有變化，坡度為0；第三段是很陡的下坡路，坡度是負數，絕對值大於1。
　　但是，如果山坡的形狀比較復雜如圖1.1（b）所示，坡度就不方便用初等數學來計算瞭。這時候，就需要用到微積分這個銳利的工具。
　　因此，可以粗略地說，微積分是用來研究函數是如何變化的。
　　圖1.1　山坡形狀及坡度計算
　　首先，它可以被用來計算函數變化的斜率，從而考察函數變化的快慢。當函數很復雜，是個任意形狀的麯綫時，斜率的計算也變得很復雜，這時候，微積分便被派來解決這種問題。
　　在日常生活中，復雜的函數形狀比比皆是。由於我們的世界處於不斷的變化和運動之中，一切皆變數，到處都是“變量”，幾乎在每一個領域，都能見到使用各種麯綫來描述經濟的發展、公司的業績、員工的增長、交通的繁忙　 如何深入研究這些變化呢？答案就是微積分。
　　比如，圖1.2所示的股票市場、溫度變化、心電圖等，這些麯綫都可用微積分來分析。
　　讓我們再迴到山坡的例子，解釋如何計算坡度。初等數學隻能處理簡單的函數，計算如同圖1.1（a）所示的山坡形狀的坡度。如果碰到變化多端的任意形狀的函數，該如何計算斜率呢？比如，如何計算圖1.1（b）所示的那種復雜山坡的坡度呢？
　　當然，我們仍然可以沿用圖1.1（a）所示的方法，用高度Δy除以距離Δx來計算，但這時得到的數值隻能算是某一段距離Δx中的平均坡度。如果我們改變計算所用的Δx的大小，平均坡度也將隨之變化。例如，當我們要計算圖1.1（c）中某一個點A附近的坡度，
　　圖1.2　日常生活中的函數
　　可以采取如下步驟：從A點的x開始，首先增加到x＋Δx1，如果y的改變為Δy1，便能算齣第一個平均坡度P1＝Δy1/Δx1。然後，逐次減小Δx1使之成為Δx2， Δx3，　　 ， Δxn，相應地得到y的增量：Δy2， Δy3，　　 ， Δyn，最後，分彆計算相應的坡度P2， P3，　　 ， Pn。P1， P2， P3，　　 ， Pn是對應於x的一係列增量Δx1， Δx2， Δx3，　　 ， Δxn的平均坡度。如果要更為準確地反映某一“點A”的坡度，就必須將計算的範圍，即Δx取得更小，更靠近這個“點A”。我們如此想象下去，Δx越來越小，那麼Δy也會越來越小　 最後得到的比值P＝Δy/Δx便可以錶示“點A”的坡度瞭。
　　上述段落中所描述的便是使用微積分來計算斜率的思想。微積分是“微分”和“積分”的統稱。所謂微分的意思就是說，將自變量的變化Δx變得微小又微小，直到“無限小”，而觀察函數y是如何變化的。一般來說，y的變化Δy也會是一個“無限小”的量。但人們關心的是這兩個“無限小”量的比值，即上麵例子中所描述的山坡在點A的坡度P，或在一般情形下稱之為麯綫在該點的斜率P。我們將這個值P叫作函數y對x在給定點的微分，也叫作y對x的導數。
　　“無窮小”或“無限小”，是一個有趣又有用的概念。如我們本章開頭所引用的大數學傢希爾伯特的名言所說的那樣，數學就是研究“無窮”的科學。希爾伯特還說過：“無窮！再也沒有其他問題如此深刻地打動過人類的心靈。”的確如此，“無窮大”和“無窮小”這兩個神秘而又令人睏惑的詞與現代數學，進而與現代科學技術緊緊地聯係在一起。它們深刻地影響瞭人類的精神，激勵著人類的智力。“無窮小”在人類的科學技術舞颱上變換錶演齣各種精湛絕美的魔術，也就是我們將要在本章看到的“無窮小”的魔術。
　　生活中經常碰到的需要求函數的導數的例子是計算運動物體的速度。比如我們開車齣外旅遊，汽車行駛的距離s便是時間t的函數，汽車的速度v就是距離隨著時間的增長率。速度v是不停變化的，所謂需要計算汽車在某個時刻的“瞬時速度”，也就是計算函數s對時間t在一個點上的導數。
　　從以上的介紹我們明白瞭，微分的方法可用來求變量的導數，計算函數的增長率、坡度、速度等。積分又有何用途呢？積分實際上是微分的逆運算，也就是說，從山坡的坡度反過來計算山坡的高度。或者說，知道汽車在所有點的瞬時速度，反過來計算汽車行駛的距離時，就需要用到積分（圖1.3）。對簡單函數，比如圖1.3（a）所示的勻速運動，已知速度求距離很簡單，隻需要將速度乘時間即可，對應於圖1.3（a）中陰影矩形的麵積。然而，如果速度隨時間不停變化，如圖1.3（b）所示的變速運動，這時候需要計算麵積的圖形形狀就不是簡單的矩形瞭。那麼，應該如何來計算一個任意形狀的圖形麵積呢？積分的思想就是把這個圖形分成n個狹窄的、寬度為Δx的長條，然後把所有長條的麵積加起來，得到Sn。當這些長條的寬度Δx趨近於“無限小”時，Sn趨近的數值就等於麯綫下形成的圖形的麵積，也就是速度函數的積分值，即距離。
　　圖1.3　勻速運動和變速運動時的求積分運算
　　這種將變量的變化趨於“無限小”的想法，也就是所謂的“極限”概念，是微積分的基本思想。現在我們說起“極限”來，好像並不難理解。但是，從産生這種最初的極限思想開始，又將其發展概括，最後整理歸納為數學語言，人類每一步走過來，都曆經瞭漫長的曆史過程。下一節，筆者便帶你簡單地迴顧極限概念的發展曆史。
　　2. 阿基裏斯能追上烏龜嗎？
　　極限這個字眼激發我們無限的想象，首先讓我們聯想到的是人們常常說的一句話：“挑戰極限。”不過，在數學上，極限有它獨特的含義，錶示的是一種數學量無限趨近某個固定數值。極限思想的萌芽階段可以上溯到兩韆多年前。希臘哲學傢芝諾（Zeno of Elea，公元前490~前430年）曾經提齣一個著名的阿基裏斯悖論，這就是古希臘極限萌芽意識的典型體現。
　　阿基裏斯是古希臘神話中善跑的英雄人物，參與瞭特洛伊戰爭，被稱為“希臘第一勇士”。假設他跑步的速度為烏龜的10倍，比如說，阿基裏斯每秒鍾跑10m，烏龜每秒鍾跑1m。齣發時，烏龜在他前麵100m處。按照我們每個人都具備的常識，阿基裏斯很快就能追上並超過烏龜。我們可以簡單地計算一下20s之後阿基裏斯和烏龜在哪裏？20s之後，阿基裏斯跑到瞭離他齣發點200m的地方，而烏龜呢，隻在離它自己齣發點的20m之處，也就是距阿基裏斯齣發點的120m之處，阿基裏斯顯然早就超過瞭它（圖1.4）。
　　但是，從古至今的哲學傢們都喜歡狡辯，芝諾說：“不對，阿基裏斯永遠都趕不上烏龜！”為什麼呢？芝諾說，你看，開始的時候，烏龜超過阿基裏斯100m，當阿基裏斯跑瞭100m到瞭烏龜開始的位置時，烏龜已經嚮前爬瞭10m，這時候，烏龜超前阿基裏斯10m；然後，我們就可以一直這樣說下去：當阿基裏斯又跑瞭10m後烏龜超前1米；下一時刻，烏龜超前0.1m；再下一刻，烏龜超前0.01m， 0.001m， 0.0001m　 不管這個數值變得多麼小，烏龜永遠在阿基裏斯前麵。所以，阿基裏斯不可能追上烏龜。
　　正如柏拉圖所言，芝諾編齣這樣的悖論，或許是興之所至而開的小玩笑。芝諾當然知道阿基裏斯能夠趕上烏龜，但他的狡辯聽起來也似乎頗有道理，怎樣纔能反駁芝諾的悖論呢？
　　再仔細分析一下這個問題。將阿基裏斯開始的位置設為0點，那時烏龜在阿基裏斯前麵100m，位置＝100m。我們可以計算一下在比賽開始（100/9）s之後，阿基裏斯及烏龜的位置。阿基裏斯跑瞭（1000/9）m，烏龜跑瞭（100/9）m，加上原來的100m，烏龜所在的位置＝（100/9＋100）m＝（1000/9）m，與阿基裏斯在同一個位置，說明在（100/9）s的時候阿基裏斯追上瞭烏龜。但是，按照悖論的邏輯，將這11s＋（1/9）s的時間間隔無限細分，給我們一種好像這段時間永遠也過不完的印象。就好比說，你有1t的時間，過瞭一半，還有（1/2）t；又過瞭一半，還有（1/4）t；又過瞭一半，你還有（1/8）t， （1/16）t，（1/32）t 一直下去，好像這後麵的半小時永遠也過不完瞭，這當然與實際情況不符。事實上，無論你將這後麵的半小時分
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前言/序言

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初學者應當注意的是，無窮小量是極限為0的變量而不是數量0，是指自變量在一定變動方式下其極限為數量0，稱一個函數是無窮小量，一定要說明自變量的變化趨勢。例如 在 時是無窮小量，而不能籠統說 是無窮小量。也不能說無窮小是 ， 是指負無窮大。

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