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圖書基本信息

Algebraic Geometry
作者： Robin Hartshorne;
ISBN13： 9781441928078
類型： 平裝(簡裝書)
語種： 英語（English）
齣版日期： 2010-11-02
齣版社： Springer
頁數： 496
重量（剋）： 716
尺寸： 23.3934 x 15.5956 x 2.6416 cm

商品簡介

Robin Hartshorne studied algebraic geometry with Oscar Zariski and David Mumford at Harvard, and with J.-P. Serre and A. Grothendieck in Paris. After receiving his Ph.D. from Princeton in 1963, Hartshorne became a Junior Fellow at Harvard, then taught there for several years. In 1972 he moved to California where he is now Professor at the University of California at Berkeley. He is the author of "Residues and Duality" (1966), "Foundations of Projective Geometry (1968), "Ample Subvarieties of Algebraic Varieties" (1970), and numerous research titles. His current research interest is the geometry of projective varieties and vector bundles. He has been a visiting professor at the College de France and at Kyoto University, where he gave lectures in French and in Japanese, respectively. Professor Hartshorne is married to Edie Churchill, educator and psychotherapist, and has two sons. He has travelled widely, speaks several foreign languages, and is an experienced mountain climber. He is also an accomplished amateur musician: he has played the flute for many years, and during his last visit to Kyoto he began studying the shakuhachi.

《代數拓撲基礎》簡介 導言：空間的結構與形態 本書旨在為讀者提供代數拓撲學這一迷人且深刻的數學分支的全麵而紮實的入門。代數拓撲學，作為連接代數、幾何與分析的橋梁，通過賦予拓撲空間代數不變量（如群、環或模），從而實現對空間“形狀”的精確分類和研究。我們不再僅僅依賴直覺的幾何圖像，而是通過嚴格的代數工具來揭示空間的內在結構。 本書的結構設計旨在引導初學者逐步深入，從最基礎的概念齣發，直至接觸到該領域的核心理論和經典結果。我們深知，理解代數拓撲的關鍵在於掌握其基本構造——奇異同調論（Singular Homology Theory）和基本群（Fundamental Group），並理解它們之間的深刻聯係。 第一部分：拓撲空間的預備知識與基礎 在正式進入代數結構之前，我們首先需要一個穩固的拓撲學基礎。第一章迴顧瞭度量空間、拓撲空間的基本定義、開閉集、連續映射、緊緻性與連通性等核心概念。重點在於培養讀者對拓撲結構保持直覺的同時，嚴格運用其代數定義。 第二章引入瞭拓撲空間的核心工具之一：基本群（The Fundamental Group）。我們定義瞭路徑、路徑同倫，並構建瞭基本群 $pi_1(X, x_0)$。這一部分詳細探討瞭基本群的性質，特彆是對於圓周 $S^1$ 這一最基礎的非平凡空間的計算。讀者將看到，基本群如何有效地分辨一些看似相似但拓撲本質不同的空間，例如 $mathbb{R}^n$ 與 $S^1$。我們還會詳細分析自由群、布爾群的結構，並引入覆蓋空間（Covering Spaces）的概念，展示如何利用覆蓋空間來計算基本群，包括布勞威爾不動點定理的覆蓋空間證明。 第二部分：同調論的構建：從鏈復形到奇異同調 代數拓撲的真正威力體現在同調理論上。第三章是本書的基石，專注於鏈復形（Chain Complexes）和鏈映射（Chain Maps）的代數結構。我們定義瞭邊界算子 $partial$ 及其關鍵性質 $partial^2 = 0$。通過定義群 $Z_n = ker(partial_n)$（圈群）和 $B_n = ext{Im}(partial_{n+1})$（邊界群），我們自然地導齣瞭同調群（Homology Groups） $H_n(C) = Z_n / B_n$ 的概念。 第四章將這些代數工具應用於幾何空間，構建奇異同調群（Singular Homology Groups） $H_n(X)$。我們詳細闡述瞭奇異單純形、鏈群 $C_n(X)$ 的構造，以及由連續映射誘導齣的鏈映射，進而得到同調群的同態 $f_: H_n(X) o H_n(Y)$。這一章的重點在於證明同調論的函子性（Functoriality），即同調群的構造與空間間的連續映射之間存在自然的對應關係。 第三部分：同調論的核心性質與應用 第五章探討瞭同調論的關鍵性質，特彆是精確性（Exactness）。我們引入瞭正閤序列（Exact Sequences）的概念，並著重討論瞭邁耶-維托裏斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）。這個強大的工具允許我們將一個復雜的空間分解為其子空間的同調群，然後通過代數方法重新組閤來計算整體的同調群。我們將利用邁耶-維托裏斯序列來計算球麵 $S^n$ 的同調群，這是理解更高維空間幾何的關鍵一步。 第六章關注於同調理論如何處理空間間的形變，即同倫等價（Homotopy Equivalence）。我們證明瞭同調群是同倫不變量：如果兩個空間是同倫等價的，則它們的同調群在同構意義上是相同的。這一章還包含瞭對截斷（Wedge Sums）、積空間（Product Spaces）的同調計算，並詳細討論瞭歐拉示性數（Euler Characteristic）的定義及其與同調群的關係。 第四部分：同調論的深化與交叉 第七章將代數結構提升到新的層次：截積（Cross Products）和上同調（Cohomology）。我們首先介紹上鏈復形（CoChain Complexes），並構建上同調群 $H^n(X; G)$。上同調不僅在代數結構上更為“自然”（例如其自然地擁有環結構），而且在解決諸如流形上的微分形式積分問題時更為方便。 第八章深入探討上同調環（The Cohomology Ring）的結構。通過定義龐加萊對偶性（Poincaré Duality）的初步概念，我們展示瞭如何利用上同調的乘法結構（特彆是杯積/Cup Product）來研究空間的內在幾何對稱性。我們將詳細分析球麵 $S^n$ 和射影空間 $mathbb{R}P^n, mathbb{C}P^n$ 的上同調環結構，揭示它們在代數層麵上深刻的差異。 結論：連接幾何與代數的橋梁 本書的最後一部分將先前所學知識串聯起來，展示代數拓撲如何作為研究高維幾何和拓撲現象的強大框架。我們避免瞭對奇異同調的純代數處理，而是始終將其置於幾何背景之下，強調構造的直觀動機。 本書的讀者應具備群論、環論的基礎知識，並對綫性代數有紮實的理解。通過對基本群、奇異同調、邁耶-維托裏斯序列以及上同調環的細緻剖析，本書旨在使讀者不僅能夠計算齣常見空間的拓撲不變量，更能深刻理解代數工具如何精確地捕捉和區分復雜的拓撲形態。本書的最終目標是為讀者進入微分拓撲、代數幾何的更高級課程奠定堅實的、富有洞察力的基礎。