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图书基本信息

Algebraic Geometry
作者： Robin Hartshorne;
ISBN13： 9781441928078
类型： 平装(简装书)
语种： 英语（English）
出版日期： 2010-11-02
出版社： Springer
页数： 496
重量（克）： 716
尺寸： 23.3934 x 15.5956 x 2.6416 cm

商品简介

Robin Hartshorne studied algebraic geometry with Oscar Zariski and David Mumford at Harvard, and with J.-P. Serre and A. Grothendieck in Paris. After receiving his Ph.D. from Princeton in 1963, Hartshorne became a Junior Fellow at Harvard, then taught there for several years. In 1972 he moved to California where he is now Professor at the University of California at Berkeley. He is the author of "Residues and Duality" (1966), "Foundations of Projective Geometry (1968), "Ample Subvarieties of Algebraic Varieties" (1970), and numerous research titles. His current research interest is the geometry of projective varieties and vector bundles. He has been a visiting professor at the College de France and at Kyoto University, where he gave lectures in French and in Japanese, respectively. Professor Hartshorne is married to Edie Churchill, educator and psychotherapist, and has two sons. He has travelled widely, speaks several foreign languages, and is an experienced mountain climber. He is also an accomplished amateur musician: he has played the flute for many years, and during his last visit to Kyoto he began studying the shakuhachi.

《代数拓扑基础》简介 导言：空间的结构与形态 本书旨在为读者提供代数拓扑学这一迷人且深刻的数学分支的全面而扎实的入门。代数拓扑学，作为连接代数、几何与分析的桥梁，通过赋予拓扑空间代数不变量（如群、环或模），从而实现对空间“形状”的精确分类和研究。我们不再仅仅依赖直觉的几何图像，而是通过严格的代数工具来揭示空间的内在结构。 本书的结构设计旨在引导初学者逐步深入，从最基础的概念出发，直至接触到该领域的核心理论和经典结果。我们深知，理解代数拓扑的关键在于掌握其基本构造——奇异同调论（Singular Homology Theory）和基本群（Fundamental Group），并理解它们之间的深刻联系。 第一部分：拓扑空间的预备知识与基础 在正式进入代数结构之前，我们首先需要一个稳固的拓扑学基础。第一章回顾了度量空间、拓扑空间的基本定义、开闭集、连续映射、紧致性与连通性等核心概念。重点在于培养读者对拓扑结构保持直觉的同时，严格运用其代数定义。 第二章引入了拓扑空间的核心工具之一：基本群（The Fundamental Group）。我们定义了路径、路径同伦，并构建了基本群 $pi_1(X, x_0)$。这一部分详细探讨了基本群的性质，特别是对于圆周 $S^1$ 这一最基础的非平凡空间的计算。读者将看到，基本群如何有效地分辨一些看似相似但拓扑本质不同的空间，例如 $mathbb{R}^n$ 与 $S^1$。我们还会详细分析自由群、布尔群的结构，并引入覆盖空间（Covering Spaces）的概念，展示如何利用覆盖空间来计算基本群，包括布劳威尔不动点定理的覆盖空间证明。 第二部分：同调论的构建：从链复形到奇异同调 代数拓扑的真正威力体现在同调理论上。第三章是本书的基石，专注于链复形（Chain Complexes）和链映射（Chain Maps）的代数结构。我们定义了边界算子 $partial$ 及其关键性质 $partial^2 = 0$。通过定义群 $Z_n = ker(partial_n)$（圈群）和 $B_n = ext{Im}(partial_{n+1})$（边界群），我们自然地导出了同调群（Homology Groups） $H_n(C) = Z_n / B_n$ 的概念。 第四章将这些代数工具应用于几何空间，构建奇异同调群（Singular Homology Groups） $H_n(X)$。我们详细阐述了奇异单纯形、链群 $C_n(X)$ 的构造，以及由连续映射诱导出的链映射，进而得到同调群的同态 $f_: H_n(X) o H_n(Y)$。这一章的重点在于证明同调论的函子性（Functoriality），即同调群的构造与空间间的连续映射之间存在自然的对应关系。 第三部分：同调论的核心性质与应用 第五章探讨了同调论的关键性质，特别是精确性（Exactness）。我们引入了正合序列（Exact Sequences）的概念，并着重讨论了迈耶-维托里斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）。这个强大的工具允许我们将一个复杂的空间分解为其子空间的同调群，然后通过代数方法重新组合来计算整体的同调群。我们将利用迈耶-维托里斯序列来计算球面 $S^n$ 的同调群，这是理解更高维空间几何的关键一步。 第六章关注于同调理论如何处理空间间的形变，即同伦等价（Homotopy Equivalence）。我们证明了同调群是同伦不变量：如果两个空间是同伦等价的，则它们的同调群在同构意义上是相同的。这一章还包含了对截断（Wedge Sums）、积空间（Product Spaces）的同调计算，并详细讨论了欧拉示性数（Euler Characteristic）的定义及其与同调群的关系。 第四部分：同调论的深化与交叉 第七章将代数结构提升到新的层次：截积（Cross Products）和上同调（Cohomology）。我们首先介绍上链复形（CoChain Complexes），并构建上同调群 $H^n(X; G)$。上同调不仅在代数结构上更为“自然”（例如其自然地拥有环结构），而且在解决诸如流形上的微分形式积分问题时更为方便。 第八章深入探讨上同调环（The Cohomology Ring）的结构。通过定义庞加莱对偶性（Poincaré Duality）的初步概念，我们展示了如何利用上同调的乘法结构（特别是杯积/Cup Product）来研究空间的内在几何对称性。我们将详细分析球面 $S^n$ 和射影空间 $mathbb{R}P^n, mathbb{C}P^n$ 的上同调环结构，揭示它们在代数层面上深刻的差异。 结论：连接几何与代数的桥梁 本书的最后一部分将先前所学知识串联起来，展示代数拓扑如何作为研究高维几何和拓扑现象的强大框架。我们避免了对奇异同调的纯代数处理，而是始终将其置于几何背景之下，强调构造的直观动机。 本书的读者应具备群论、环论的基础知识，并对线性代数有扎实的理解。通过对基本群、奇异同调、迈耶-维托里斯序列以及上同调环的细致剖析，本书旨在使读者不仅能够计算出常见空间的拓扑不变量，更能深刻理解代数工具如何精确地捕捉和区分复杂的拓扑形态。本书的最终目标是为读者进入微分拓扑、代数几何的更高级课程奠定坚实的、富有洞察力的基础。