包邮 实变函数解题指南 第二版 周民强著 北京大学出版社 北大 实变函数论 周民强教材配套习题图书籍 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

书名：实变函数解题指南 

定价：32

出版社: 北京大学出版社; 1版 (2007年8月1日)

平装: 447页

语种： 简体中文

开本: 32

书号:  9787301294154

商品尺寸: 20.6 x 14.6 x 2 cm

商品重量: 739 g

品牌: 北京大学出版社

一章 集合与点集

1.1 集合

1.1.1 集合的概念与运算

1.1.2 集合间的映射、集合的基数

1.2 点集

1.2.1 Rn中点与点之间的距离、点集的极限点

1.2.2 Rn中的基本点集：闭集、开集

1.2.3 Borel集、点集上的连续函数

1.2.4 Cantor集

1.2.5 点集间的距离

二章 Lebesgue测度

2.1 点集的Lebesgue外测度

2.2 可测集与测度

2.3 可测集与Borel集

2.4 正测度集与矩体的关系

2.5 不可测集

2.6 连续变换与可测集

 

三章 可测函数

3.1 可测函数的定义及其性质

3.2 可测函数列的收敛

3.3 可测函数与连续函数的关系

3.4 复合函数的可测性

3.5 等可测函数

 

四章 Lebesgue积分

4.1 非负可测函数的积分

4.2 一般可测函数的积分

4.3 控制收敛定理

4.4 可积函数与连续函数的关系

4.5 Lebesguc积分与Riemann积分的关系

4.6 重积分与累次积分的关系

 

五章 微分与不定积分

5.1 单调函数的可微性

5.2 有界变差函数

5.3 不定积分的微分

5.4 绝对连续函数与微积分基本定理

5.5 分部积分公式与积分中值公式

5.6 R1上的积分换元公式

 

六章 Lp空间

6.1 Lp空间的定义与不等式

6.2 Lp空间的结构

6.3 L2内积空间

6.4 Lp空间的范数公式

6.5 卷积

 

《现代数学方法论：从代数结构到拓扑空间》 卷一：抽象代数的基石 本书旨在为数学爱好者、研究生及相关领域的研究者提供一个深入理解现代数学核心概念的阶梯。我们从最基础的代数结构出发，层层递进，直至触及现代数学研究的前沿领域。本书的独特之处在于，它不仅梳理了抽象代数的逻辑脉络，更强调了这些抽象概念在解决实际数学问题中的应用和启发。 第一章：群论的初步探索 本章将带领读者进入群论的世界，这是抽象代数中最基本也最重要的结构之一。我们将从群的定义出发，详细阐述了群的性质，例如结合律、单位元、逆元等。在此基础上，我们将引入子群、陪集、正规子群以及商群等核心概念。我们会通过大量的例子，包括对称群、循环群、置换群等，来加深读者对这些抽象概念的理解。 群的定义与基本性质： 介绍半群、幺半群和群的概念，并给出严格的数学定义。深入探讨群的运算性质，如单位元的唯一性、逆元的唯一性、消去律等。 子群与陪集： 定义子群，并给出判断一个集合是否为子群的充要条件。详细讲解左陪集和右陪集，以及它们在群分解中的作用。 正规子群与商群： 引入正规子群的概念，解释其在构造商群中的关键性。通过大量实例，例如交换群的正规子群，非交换群（如$S_3$）的正规子群，展示正规子群的构造方式和性质。详细介绍商群的构造及其运算，并探讨商群与原群之间的同态关系。 同态与同构： 定义群同态和群同构，解释它们在研究群的结构时的意义。介绍同态基本定理，阐述商群与像（image）之间的同构关系。 置换群与凯莱定理： 详细讲解置换群及其性质，特别是交错群$A_n$。介绍凯莱定理，证明了任何有限群都同构于一个置换群，这为研究抽象群提供了一个具体的模型。 循环群： 详细讨论循环群的结构，证明了任何循环群都同构于整数加法群或其有限商群。探讨了循环群的子群结构，及其在数论和密码学中的应用。 第二章：环与域的扩张 在掌握了群论的基本工具后，本章我们将目光转向环和域。环是带有两种运算（加法和乘法）的代数结构，而域则是在环的基础上进一步添加了乘法逆元的特殊环。本章将从环的定义出发，探讨了理想、商环、同态以及主理想环、欧几里得整环、唯一分解整环等重要的环结构。随后，我们将聚焦于域，深入研究域的扩张，包括代数扩张、超越扩张以及伽罗瓦理论的初步思想。 环的定义与基本性质： 给出环的定义，包括加法和乘法运算的性质。区分交换环与非交换环，整环与非整环。 子环与理想： 定义子环，并给出判断子环的充要条件。重点讲解理想，区分左理想、右理想和双边理想。讨论理想的生成元和主理想。 商环与环同态： 介绍商环的构造，并证明商环的性质。定义环同态，并给出环同态基本定理，将环的同态与理想联系起来。 特殊类型的环： 详细研究主理想整环（PID）、欧几里得整环（ED）和唯一分解整环（UFD）。证明了欧几里得整环是主理想整环，主理想整环又是唯一分解整环。这些结构在数论中具有重要意义。 域的定义与基本性质： 给出域的定义，重点强调域中的非零元素的乘法逆元存在性。 域的扩张： 介绍域扩张的概念，定义代数元与超越元。研究域扩张的次数，并探讨有限扩张的性质。 多项式环与根式域： 讨论多项式环的性质，以及多项式的根。介绍分裂域的概念，为理解域扩张的结构提供工具。 第三章：模论初探 模论是线性代数在更一般结构上的推广。如果说向量空间是定义在域上的“阿贝尔群”，那么模就是定义在环上的“阿贝尔群”。本章将引入模的基本概念，包括子模、商模、模同态以及自由模、挠模等。我们还将触及一些模论中的重要结果，例如关于有限生成模的结构定理。 模的定义与基本性质： 定义模，并将其与向量空间进行比较。介绍左模和右模。 子模与商模： 定义子模，并给出判断子模的充要条件。介绍商模的构造以及商模的性质。 模同态与模同构： 定义模同态和模同构，并给出模同态基本定理。 自由模与秩： 定义自由模，并介绍其基的概念。探讨自由模的秩。 有限生成模： 介绍有限生成模的概念，并重点研究其结构。 挠模与永续模： 引入挠模的概念，并探讨其性质。初步介绍永续模的概念。 卷二：拓扑空间的逻辑与几何 在代数结构的坚实基础上，本章我们将转向几何与分析的交汇点——拓扑学。拓扑学研究的是空间在连续变形下不变的性质，它提供了一种更抽象、更本质的方式来理解空间的结构。我们将从集合论的基本概念出发，逐步构建拓扑空间的理论体系，并探讨其在分析和几何中的应用。 第四章：集合论的精确语言 本章作为整个理论体系的基石，将回顾并系统梳理集合论中的基本概念和工具，包括集合、关系、函数、基数以及良序原理等。这些概念不仅是学习后续拓扑学和抽象代数的基础，也为严谨的数学证明提供了必备的语言和工具。 集合、子集与幂集： 集合的基本定义、表示方法。子集、真子集、幂集的定义与性质。 集合运算： 并集、交集、差集、对称差。集合运算的性质，如分配律、德摩根定律。 关系与函数： 二元关系、等价关系、偏序关系。函数的定义、性质，如单射、满射、双射。反函数。 基数与势： 有限集和无限集。可数集与不可数集。康托尔定理。 良序原理与选择公理： 良序原理的陈述及其等价命题。选择公理的陈述及其在数学中的重要作用。 第五章：拓扑空间的构建 本章将正式引入拓扑空间的概念。我们将从开集的定义出发，逐步建立拓扑空间的基本框架，包括闭集、邻域、内点、外点、边界点以及稠集等。通过对这些基本概念的深入理解，读者将能够把握拓扑空间的内在结构。 拓扑的定义： 定义拓扑，即开集的集合族。给出判断一个集合族是否为拓扑的充要条件。 开集与闭集： 详细阐述开集和闭集的性质。开集与闭集的关系。 邻域与基： 定义点邻域和集邻域。介绍邻域基的概念，以及如何利用邻域基来定义拓扑。 内点、外点、边界点与稠密点： 定义这些拓扑概念，并探讨它们之间的关系。 子空间拓扑： 介绍子空间拓扑的构造方法，以及子空间拓扑的性质。 可数公理： 第一可数空间和第二可数空间的概念，以及它们在序列收敛和紧致性判断中的作用。 第六章：连续性与同胚 本章将深入探讨拓扑学中的核心概念——连续性。我们将从函数的连续性定义出发，将其推广到拓扑空间之间的映射。在此基础上，我们将引入同胚的概念，它揭示了两个拓扑空间在拓扑性质上的等价性。通过对连续映射和同胚的分析，读者将能够更深刻地理解拓扑空间的内在结构和几何性质。 连续映射： 定义拓扑空间之间的连续映射，并给出多种等价定义（例如，开集的原像为开集）。 同胚： 定义同胚，即一对连续且存在连续逆映射的映射。阐述同胚的重要性，它意味着两个拓扑空间在拓扑上是“相同的”。 保持拓扑性质的映射： 讨论保持拓扑性质的映射，例如开映射和闭映射。 拓扑不变量： 引入拓扑不变量的概念，即在同胚下保持不变的拓扑性质，例如连通性、紧致性等。 第七章：连通性与分离公理 连通性是描述拓扑空间“是否由一个整体组成”的重要性质。本章将详细讨论连通空间、道路连通空间及其性质。同时，我们将引入一系列分离公理（如$T_0$, $T_1$, $T_2$, $T_3$, $T_4$空间），这些公理刻画了拓扑空间中点与点之间、点与集之间“可区分”的程度，对于理解空间的结构至关重要。 连通空间： 定义连通空间，并给出几种等价的定义。探讨子集、像的连通性。 道路连通空间： 定义道路连通空间，并探讨道路连通性与连通性的关系。 局部连通性： 介绍局部连通性的概念。 分离公理： 详细介绍$T_0$, $T_1$, $T_2$（豪斯多夫空间）, $T_3$（正则空间）, $T_4$（正则豪斯多夫空间）等分离公理。分析这些公理的强弱关系。 分离公理在分析中的作用： 探讨分离公理对于收敛性、极限和连续性的影响。 第八章：紧致性 紧致性是拓扑学中最重要的概念之一，它在分析学和几何学中扮演着核心角色。本章将从开覆盖的定义出发，深入探讨紧致空间的性质。我们将证明许多重要的定理，例如海涅-博雷尔定理（在$mathbb{R}^n$中，紧致集等价于有界闭集），以及紧致空间上的连续函数具有上确界和下确界。 紧致空间的定义： 给出紧致空间的定义（开覆盖的存在有限子覆盖）。 紧致性的等价刻画： 介绍紧致性的其他等价刻画，例如林德洛夫引理。 紧致性的重要性质： 证明闭集在紧致空间中的性质，例如闭子集是紧致的。 连续映射与紧致性： 证明紧致空间上的连续映射的像仍然是紧致的。 紧致空间上的实值函数： 讨论紧致空间上的连续实值函数能够达到其上确界和下确界。 海涅-博雷尔定理： 在欧几里得空间中，证明紧致集与有界闭集的等价性。 卷三：分析学中的拓扑视角 本卷将以前两卷的知识为基础，将拓扑学的思想融入到实分析和泛函分析的核心概念中。我们将重新审视收敛性、度量空间、巴拿赫空间等经典分析概念，并展示拓扑学如何为这些概念提供更深刻的理解和更强大的工具。 第九章：度量空间 度量空间是拓扑空间的一个重要子类，它通过引入距离的概念，使得我们可以精确地度量点之间的远近。本章将从度量空间的定义出发，探讨度量空间中的开集、闭集、收敛性、完备性以及完备度量空间的重要性质。 度量空间的定义： 给出度量函数的定义，以及由度量诱导的拓扑。 度量空间中的开集与闭集： 讨论开球和闭球的性质，以及度量空间中的开集和闭集。 序列的收敛性： 定义度量空间中的序列收敛，并证明其与拓扑的联系。 完备度量空间： 定义完备度量空间，以及柯西序列的概念。证明完备性在解决方程中的重要性。 巴拿赫不动点定理： 证明巴拿赫不动点定理，并给出其在解方程组、微分方程等方面的应用。 度量空间的构造： 介绍一些常见的度量空间，例如欧几里得空间、函数空间等。 第十章：函数空间与赋范线性空间 函数空间是研究函数集合的代数和拓扑结构的空间。本章将引入赋范线性空间的定义，并探讨函数空间中的范数、收敛性、完备性以及一些重要的函数空间，如巴拿赫空间和希尔伯特空间。 赋范线性空间的定义： 定义范数，以及由范数诱导的度量和拓扑。 线性算子： 定义线性算子，并研究其有界性。 巴拿赫空间： 定义巴拿赫空间（完备的赋范线性空间），并讨论其性质。 希尔伯特空间： 定义内积空间和希尔伯特空间（完备的内积空间），并探讨其几何性质，如正交性。 函数空间的例子： 详细介绍$L^p$空间、$C^k$空间等重要的函数空间。 共轭空间： 介绍赋范线性空间的共轭空间，并探讨其性质。 第十一章：勒贝格积分与测度论初步 本章将引导读者进入现代分析的核心——测度论和勒贝格积分。我们将从测度的概念出发，构建可测集和可测函数。在此基础上，我们将介绍勒贝格积分，并阐述其相对于黎曼积分的优越性，特别是它在处理极限运算时的强大能力。 测度的定义： 定义测度，包括集合函数、非负性、可列可加性。 可测集： 介绍σ-代数和可测集的概念。 可测函数： 定义可测函数，并探讨其性质。 勒贝格积分： 定义单调逼近、处处收敛以及$L^1$收敛下的积分。 积分的收敛定理： 详细介绍单调收敛定理、控制收敛定理（利维定理）和Fatou引理，以及它们在分析中的应用。 $L^p$空间： 进一步探讨$L^p$空间的性质，以及它们在泛函分析中的重要性。 本书特色： 循序渐进，逻辑严谨： 从最基础的概念出发，层层深入，确保读者能够逐步掌握抽象数学的精髓。 概念清晰，例证丰富： 结合大量的具体例子，帮助读者理解抽象概念的实际含义和应用。 理论与应用并重： 不仅注重理论的深度，更强调数学思想在解决实际问题中的作用，为读者提供广阔的视野。 为进阶学习打下坚实基础： 本书涵盖了现代数学多个分支的核心内容，为读者后续深入学习代数几何、微分几何、偏微分方程等领域奠定坚实的理论基础。 本书力求成为一本能够带领读者穿越抽象数学迷宫的引路书，让数学的逻辑之美和思想之光在读者心中绽放。