高等数学习题课教材（下） pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

内容简介

　　《高等数学习题课教材》分上、下两册，可以作为高等数学课程的辅助教材在本科教学中应用，《高等数学习题课教材（下）》习题经过精心筛选，配题全面，类型丰富，层次分明，由浅入深，既能学习巩固又能拓展扩充基础知识，有利于各种水平学生进行选择性练习，尤其适合优秀学生进行全方位练习。
　　《高等数学习题课教材（下）》所有习题配备了答案，对典型的题目给出了详细解答，以方便学生自学.书末还附有期中和期末考试模拟试题及解答.希望读者能通过反复多次的训练，达到熟能生巧的目的，为高等数学课程学习和数学竞赛打下坚实的基础。
　　《高等数学习题课教材（下）》可供高等学校理工科非数学专业的本科生使用，也可作为大学生数学竞赛的辅导教材使用。

内页插图

目录

第8章 空间解析几何与向量代数
8.1 向量代数
8.2 空间解析几何
8.3 自测题
8.4 思考题
本章答案与提示

第9章 多元函数微分学
9.1 极限与连续性
9.2 微分法及其应用
9.3 自测题
9.4 思考题
本章答案与提示

第10章 重积分
10.1 二重积分
10.2 三重积分
10.3 自测题
10.4 思考题
本章答案与提示

第11章 曲线积分与曲面积分
11.1 曲线积分
11.2 曲面积分
11.3 自测题
11.4 思考题
本章答案与提示

第12章 常微分方程
12.1 阶微分方程
12.2 高阶微分方程
12.3 综合习题
12.4 自测题
12.5 思考题
本章答案与提示
模拟试题及解答
期中考试模拟试题4套
期末考试模拟试题6套
北京航空航天大学数学竞赛真题9套
北京市数学竞赛真题及解答5套

前言/序言

　　2003年北京航空航天大学高等数学课程获得北京市精品课程建设立项，由此，我们的课程建设工作进入了一个新的阶段，作为总结、继承、改革和发展的一个重要标志，我们组织编写了高等数学教材和这套《高等数学习题课教材》，以适应新形势、新目标下对教学的要求，更好地为后续课程提供必要的理论基础和知识准备。
　　2008年北京航空航天大学高等数学课程再获批进行国家精品课建设，我们对教学过程进一步优化，部分成果就固化在本套习题课教材中，经过这几年在本校本科教学中的应用，已经证明了这套教材所配的习题对相当层次的学校和学生都是适用的，本书的目的在于使课堂教学和课后训练有机配合，让学生接受严格而充分的练习，从而达到学好数学的两个基本要求一理解与熟练，近年来，北航的学生连续在北京市乃至全国数学竞赛中取得了优异成绩，这也从一个侧面反映了这套教材在大班课的辅助教学中的成功，
　　本书是作者在多年教学和辅导过程中经过总结、精选、反复斟酌后才编写完成的，书中习题覆盖面广，类型丰富，重点突出，层次分明，难易兼顾，从易到难被分为三类：第一类题是有关内容的基本概念、重要定理和常用方法，它们被置于每章相应小节中，难度适中；第二类题有一定的技巧性和综合性，是对课程内容的巩固、补充和拓展；第一三类题带有较高的难度，具有一定的挑战性，其中第二、三类题被安排在每章的自测题中，第三类题被标以“*”号，因此每章的自测题是本书重要的部分。

深入解析与技巧精讲：新编微积分（下） 面向对象： 本书旨在服务于高等数学课程中对微积分下半部分内容有深入学习需求的本科生、研究生，以及需要系统回顾和提升解题能力的自学者。尤其适合数学、物理、工程技术、计算机科学等专业对微积分有较高要求的学习者。 内容概述： 《新编微积分（下）》是一本以提升学生对多元微积分、微分方程和级数理论的理解深度与实际应用能力为核心的配套教材与习题指导用书。它并非一本传统意义上的基础概念罗列手册，而是侧重于如何将抽象的数学理论转化为具体的、可操作的解题策略。全书结构紧凑，内容组织遵循逻辑递进的原则，力求在概念的清晰阐述后，立即导向应用层面的训练。 本书内容主要涵盖了以下几个核心模块： 第一部分：多元函数微积分的深化与拓展 本部分是全书的基石之一，它将读者的视野从一维空间扩展至多维空间，这是理解现代科学与工程问题的关键前提。 1. 多元函数的偏导数与梯度场： 我们不仅详细讲解了偏导数的定义、计算方法（如隐函数求导法则、链式法则在多元情境下的应用），更侧重于梯度（Gradient）这一核心概念的物理意义和几何解释。梯度向量指示了函数增长最快的方向，这一点在优化问题中至关重要。习题设计中，大量的应用案例将围绕热传导、流体力学中的势函数等问题展开，要求读者不仅会求梯度，更要能解读梯度场的结构。 2. 多重积分的理论与技巧： 本部分深入探讨了二重积分和三重积分。重点在于积分区域的设定与坐标系的变换。我们提供了详尽的柱坐标系、球坐标系转换的几何推导和代数应用实例。积分的物理意义（如计算质量、质心、转动惯量）将在每一章节穿插进行强化训练。特别地，对于不规则区域上的积分，本书提供了系统化的分解与简化策略，避免了初学者在区域描述上的常见困惑。 3. 曲线积分与曲面积分： 这是连接几何、向量分析与物理场论的关键桥梁。我们详细区分了线积分（第一类和第二类）与面积分（第一类和第二类）的适用场景。格林公式、斯托克斯公式和高斯（散度）公式的推导过程被分解为清晰的逻辑步骤，并辅以大量的二维和三维向量场实例分析。例如，如何利用格林公式计算平面区域的面积，或如何通过散度定理计算通过封闭曲面的流量。 第二部分：微分方程与动力系统基础 微分方程是描述自然界和工程中动态过程的基本数学语言。本部分侧重于求解具有明确解析解的常微分方程（ODE）及其初步的系统分析。 1. 一阶常微分方程的解法集锦： 除了基础的变量分离、恰当积分因子法，本书对伯努利方程、黎卡提方程等特殊形式的求解技巧进行了深入的归纳。重点在于识别方程结构并选择最高效的求解路径。 2. 高阶线性常微分方程： 齐次与非齐次方程的通解结构被清晰界定。我们提供了参数法（拉格朗日法）和待定系数法在求解非齐次方程时的具体操作指南。对于系数为常数的方程，其特征方程的根的各种情况（实根、重根、复根）对应的特解形式的构建被细致地展示。 3. 动力学初步： 引入了二阶常系数线性微分方程在阻尼振动和电路分析（RLC电路）中的应用模型。通过实际物理背景的引入，帮助读者理解自由振动、受迫振动以及临界阻尼等概念，使数学模型具备直观的物理图像。 第三部分：无穷级数：收敛性、函数表示与工程近似 本部分是微积分的升华，它处理的是无限过程的收敛性问题，是傅里叶分析和误差估计的理论基础。 1. 数项级数的敛散性判据： 针对正项级数（比较判别法、比值检验法、根值检验法）和交错级数（莱布尼茨判别法），我们不仅给出了判据的应用条件，还深入探讨了这些判据背后的收敛速度差异。 2. 幂级数与泰勒/麦克劳林级数： 幂级数的收敛半径与收敛区间的确定是本章的重点。如何利用已知的基本函数（如 $e^x, sin x, frac{1}{1-x}$）的麦克劳林级数构造复杂函数的级数表示，是反复训练的重点。同时，如何利用级数的逐项求导和积分来简化计算，书中提供了详尽的范例。 3. 傅里叶级数导论（选讲/基础）： 针对周期函数的表示，本书简要介绍了傅里叶级数的基本概念、奇偶函数简化技巧以及求解傅里叶系数的定积分技巧。这部分内容旨在为后续的偏微分方程（如热传导方程、波动方程）的学习打下必要的解析基础。 解题方法论与特色： 本书的特色在于其“反直觉”的解题策略引导。它不满足于提供标准答案，而是致力于展示“如何避免陷阱”和“如何从不同角度切入问题”。例如，在计算曲面积分时，如果直接积分过于复杂，本书会引导读者反思是否可以利用斯托克斯公式将其转化为线积分；在求解特定微分方程时，会指出哪些技巧是特定结构下的“捷径”。每章末尾设置的“陷阱回顾”板块，专门剖析了历年来学生在解题中易犯的逻辑错误和计算失误。 学习效果预期： 完成本书的系统学习与练习后，学习者将能够熟练掌握多元微积分的工具箱，能够独立建立并求解涉及空间变化和动态过程的数学模型，对现代分析学和应用数学的深入学习将扫除实质性的障碍。本书的目标是培养出既有扎实理论基础，又具备强大问题解决能力的复合型人才。