高等學校教材：抽象代數 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

　　《高等學校教材：抽象代數》介紹瞭抽象代數學中基本的內容，共4章。第一章介紹瞭等價關係、分類和代數係統等預備知識，第二章至第四章則分彆介紹瞭群、環、域和伽羅瓦（Galois）理論等。在每一章的末尾，還簡述瞭一些有趣的史料和有關數學傢的傳記。
　　《高等學校教材：抽象代數》可作為高等學校數學類專業本科高年級學生及研究生的教材，也可作為相關技術人員的參考用書。

內頁插圖

目錄

第一章 預備知識
第1節 集閤與映射
第2節 置換集閤S
第3節 等價關係與分類
第4節 代數係統
附錄

第二章 群
第1節 群的概念和性質
第2節 子群
第3節 正規子群與商群
第4節 群的同態與同構
第5節 循環群
第6節 群的直積與直和
第7節 群在集閤上的作用
第8節 西羅（Sylow）定理
第9節 有限交換群
附錄

第三章 環
第1節 環的概念和性質
第2節 無零因子環及其性質
第3節 理想與商環
第4節 環的同態與同構
第5節 極大理想與素理想
第6節 整環的分式化
第7節 唯一分解整環
第8節 多項式環
第9節 多項式環的因子分解
附錄

第四章 域
第1節 域的擴張
第2節 單擴張
第3節 有限擴張與代數擴張
第4節 分裂域和正規擴張
第5節 有限域
第6節 伽羅瓦基本定理
第7節 有限可解群
第8節 根式擴張與解方程
第9節 尺規作圖

附錄
參考文獻
名詞索引
符號索引

前言/序言

　　抽象代數學是以有運算的集閤（即代數係統）作為其研究對象的一門基礎性數學學科。它在數學發展中占據著非常重要的地位。近年來，隨著物理學、化學、計算機以及數字信息技術的飛速發展，抽象代數學的知識和技巧也越來越多地應用於這些相關科學領域。例如，群論應用於物理學和晶體化學，環與域應用於編碼和信息技術領域等。
　　本書是作者在近幾年講授抽象代數（或近世代數）講稿的基礎上整理而形成的。作者在大連理工大學為數學類專業本科高年級學生和非數學類專業研究生多次講授這門課程。寫本書的初衷是想以盡可能直觀、簡潔和初等的語言，嚮學生較係統地介紹抽象代數學的基本思想、方法和技巧，以使學生初步瞭解和掌握抽象代數學研究的問題、使用的方法和技巧，為學生進一步學習代數學和其他學科奠定基礎。
　　本書包含瞭抽象代數學中最基本的內容：第一章預備知識，介紹瞭學習抽象代數學的基本知識，如映射、等價關係、分類和代數係統等；第二章群，介紹瞭群、子群、正規子群和商群等，同時還著重強調瞭群在集閤上的作用在研究群結構方麵所起的作用，並以此為工具介紹瞭西羅（Sylow）定理和有限交換群的結構定理；第三章環，介紹瞭環、子環、理想、商環等，同時以多項式環為例，係統地討論瞭環的唯一分解性等性質；第四章域，介紹瞭域和域的擴張理論，並較詳細地介紹瞭伽羅瓦（Galois）基本定理及其應用。此外，在每一章後，我們還簡單介紹瞭與該章有關的一點史料和某些重要數學傢的生平。
　　根據我們的教學經驗，完成本書全部內容的教學需要大約60學時。
　　在此我們對在本書的編輯齣版過程中提齣寶貴修改意見的審稿專傢及編輯錶示衷心感謝。由於作者水平有限，書中難免存在不少缺點和錯誤，敬請讀者斧正。

大學數學係列：解析幾何與綫性代數基礎教程 （麵嚮理工科及數學專業本科生，旨在建立堅實的代數與空間幾何基礎） --- 第一部分：解析幾何的幾何直觀與代數錶達 第一章 空間直角坐標係與嚮量代數 本章是連接幾何直觀與代數運算的橋梁。我們從三維空間直角坐標係的建立入手，詳細闡述點坐標的確定、距離公式、中點公式以及嚮量在空間中的坐標錶示。重點在於嚮量的綫性運算——加法、減法、數乘，並通過幾何意義來解釋這些運算的代數形式。 1.1 空間直角坐標係 坐標軸的定義與方嚮規定。 點的坐標錶示與象限劃分（在三維空間中的類比）。 坐標變換：平移與鏇轉對坐標的影響（為後續的二次型和主軸問題打下基礎）。 1.2 空間嚮量的坐標錶示 自由嚮量與位置嚮量的概念區分。 嚮量的綫性組閤及其在坐標係下的錶示。 1.3 嚮量的運算與幾何意義 點乘（數量積）：定義、性質及其在求角度、投影中的應用。 叉積（嚮量積）：定義、幾何意義（平行四邊形的麵積、法嚮量的確定）及其在求麵積、力矩中的應用。 混閤積：定義、幾何意義（平行六麵體的體積）及其判彆共麵性。 第二章 空間麯綫與麯麵的方程 本章將幾何圖形轉化為代數方程，是解析幾何的核心任務。我們將從最基礎的直綫和平麵開始，逐步深入到更復雜的二次麯麵。 2.1 平麵的方程 點法式、一般式方程的推導與幾何意義。 空間中兩平麵的夾角、點到平麵的距離公式。 平麵束的概念及其在特定約束問題中的應用。 2.2 直綫的方程 直綫的方嚮嚮量與參數方程、對稱方程的建立。 空間中兩直綫的位置關係（相交、平行、異麵）的判定。 直綫與平麵的夾角、綫麵關係。 2.3 二次麯麵基礎 球麵的標準方程與一般方程。 圓柱麵、圓錐麵的方程及其截距特徵。 橢球麵、雙麯麵（單葉/雙葉）的規範形式，重點分析其投影和截綫特徵。 2.4 二次型與二次麯麵的分類 引入二次型（Quadratic Form）的概念，理解 $mathbf{x}^T A mathbf{x}$ 的幾何意義。 通過配方法和正交變換（矩陣對角化）簡化二次麯麵方程。 利用特徵值和特徵嚮量對二次麯麵進行規範化分類，識彆主軸方嚮。 --- 第二部分：綫性代數的核心理論與應用 第三章 矩陣代數與綫性方程組 本章是綫性代數的基礎，著重於矩陣的運算規則及其在綫性係統求解中的作用。 3.1 矩陣的運算與性質 矩陣的加減、乘法、轉置與數乘。重點分析矩陣乘法的非交換性。 方陣的行列式：二階、三階行列式的計算，高階行列式的拉普拉斯展開定理，行列式的性質。 逆矩陣的定義、存在條件（秩的概念引入）及計算方法（伴隨矩陣法）。 3.2 初等行變換與矩陣的秩 初等行變換的類型及其對矩陣的等價性影響。 行階梯形矩陣（Echelon Form）的求法。 矩陣的秩（Rank）的定義、計算方法及其在矩陣理論中的重要性。 3.3 綫性方程組的解法 綫性方程組的增廣矩陣錶示。 高斯消元法（Gaussian Elimination）的完整流程，及如何通過行階梯形矩陣判斷解的存在性與唯一性。 齊次綫性方程組的基礎解係與通解的結構。 剋拉默法則（Cramer's Rule）的適用條件與局限性。 第四章 嚮量空間：抽象化與結構理解 本章將從具體集閤提升到抽象的嚮量空間概念，這是理解更高階代數結構的關鍵一步。 4.1 綫性空間（嚮量空間）的公理化定義 對嚮量、標量的定義域（實數域 $mathbb{R}$ 或復數域 $mathbb{C}$）。 滿足的八條公理及其驗證。 常見的綫性空間實例：$mathbb{R}^n$ 空間、多項式空間、函數空間。 4.2 綫性相關性、基與維度 綫性組閤、綫性展成（張成空間）。 綫性相關與綫性無關的判彆（利用行列式或矩陣秩）。 基（Basis）的概念：最小生成集與極大無關組的統一。 維數（Dimension）的唯一性證明及其與基中嚮量數量的關係。 4.3 子空間 子空間的定義與判定定理。 列空間（Column Space）、零空間（Null Space）和行空間（Row Space）的概念及其維度關係（秩-零化度定理）。 第五章 綫性映射與相似性 本章探討嚮量空間之間的結構保持映射（綫性變換），並引入相似性理論。 5.1 綫性變換（綫性映射） 綫性變換的定義、性質（如與矩陣乘法的關係）。 核（Kernel）與像（Image）的概念，核與像的維度關係（同構於秩-零化度定理）。 5.2 相似變換與特徵值問題 特徵值（Eigenvalues）和特徵嚮量（Eigenvectors）的定義、計算方法。 相似矩陣的性質（行列式、跡、特徵值保持不變）。 對角化問題：可對角化的條件（特徵嚮量的完備性）。 5.3 對稱矩陣與正交對角化 對稱矩陣的特殊性質（實特徵值，特徵嚮量正交）。 施密特（Gram-Schmidt）正交化過程，構造正交基。 正交對角化定理及其在二次型化簡中的應用。 --- 結語 本書嚴格遵循數學邏輯的遞進關係，從具象的幾何描述齣發，通過代數工具進行精確刻畫，最終升華到抽象的嚮量空間理論。力求在保持數學嚴謹性的同時，通過豐富的例題和習題，幫助學生掌握解決復雜問題的能力。