高等学校教材：抽象代数 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

内容简介

　　《高等学校教材：抽象代数》介绍了抽象代数学中基本的内容，共4章。第一章介绍了等价关系、分类和代数系统等预备知识，第二章至第四章则分别介绍了群、环、域和伽罗瓦（Galois）理论等。在每一章的末尾，还简述了一些有趣的史料和有关数学家的传记。
　　《高等学校教材：抽象代数》可作为高等学校数学类专业本科高年级学生及研究生的教材，也可作为相关技术人员的参考用书。

内页插图

目录

第一章 预备知识
第1节 集合与映射
第2节 置换集合S
第3节 等价关系与分类
第4节 代数系统
附录

第二章 群
第1节 群的概念和性质
第2节 子群
第3节 正规子群与商群
第4节 群的同态与同构
第5节 循环群
第6节 群的直积与直和
第7节 群在集合上的作用
第8节 西罗（Sylow）定理
第9节 有限交换群
附录

第三章 环
第1节 环的概念和性质
第2节 无零因子环及其性质
第3节 理想与商环
第4节 环的同态与同构
第5节 极大理想与素理想
第6节 整环的分式化
第7节 唯一分解整环
第8节 多项式环
第9节 多项式环的因子分解
附录

第四章 域
第1节 域的扩张
第2节 单扩张
第3节 有限扩张与代数扩张
第4节 分裂域和正规扩张
第5节 有限域
第6节 伽罗瓦基本定理
第7节 有限可解群
第8节 根式扩张与解方程
第9节 尺规作图

附录
参考文献
名词索引
符号索引

前言/序言

　　抽象代数学是以有运算的集合（即代数系统）作为其研究对象的一门基础性数学学科。它在数学发展中占据着非常重要的地位。近年来，随着物理学、化学、计算机以及数字信息技术的飞速发展，抽象代数学的知识和技巧也越来越多地应用于这些相关科学领域。例如，群论应用于物理学和晶体化学，环与域应用于编码和信息技术领域等。
　　本书是作者在近几年讲授抽象代数（或近世代数）讲稿的基础上整理而形成的。作者在大连理工大学为数学类专业本科高年级学生和非数学类专业研究生多次讲授这门课程。写本书的初衷是想以尽可能直观、简洁和初等的语言，向学生较系统地介绍抽象代数学的基本思想、方法和技巧，以使学生初步了解和掌握抽象代数学研究的问题、使用的方法和技巧，为学生进一步学习代数学和其他学科奠定基础。
　　本书包含了抽象代数学中最基本的内容：第一章预备知识，介绍了学习抽象代数学的基本知识，如映射、等价关系、分类和代数系统等；第二章群，介绍了群、子群、正规子群和商群等，同时还着重强调了群在集合上的作用在研究群结构方面所起的作用，并以此为工具介绍了西罗（Sylow）定理和有限交换群的结构定理；第三章环，介绍了环、子环、理想、商环等，同时以多项式环为例，系统地讨论了环的唯一分解性等性质；第四章域，介绍了域和域的扩张理论，并较详细地介绍了伽罗瓦（Galois）基本定理及其应用。此外，在每一章后，我们还简单介绍了与该章有关的一点史料和某些重要数学家的生平。
　　根据我们的教学经验，完成本书全部内容的教学需要大约60学时。
　　在此我们对在本书的编辑出版过程中提出宝贵修改意见的审稿专家及编辑表示衷心感谢。由于作者水平有限，书中难免存在不少缺点和错误，敬请读者斧正。

大学数学系列：解析几何与线性代数基础教程 （面向理工科及数学专业本科生，旨在建立坚实的代数与空间几何基础） --- 第一部分：解析几何的几何直观与代数表达 第一章 空间直角坐标系与向量代数 本章是连接几何直观与代数运算的桥梁。我们从三维空间直角坐标系的建立入手，详细阐述点坐标的确定、距离公式、中点公式以及向量在空间中的坐标表示。重点在于向量的线性运算——加法、减法、数乘，并通过几何意义来解释这些运算的代数形式。 1.1 空间直角坐标系 坐标轴的定义与方向规定。 点的坐标表示与象限划分（在三维空间中的类比）。 坐标变换：平移与旋转对坐标的影响（为后续的二次型和主轴问题打下基础）。 1.2 空间向量的坐标表示 自由向量与位置向量的概念区分。 向量的线性组合及其在坐标系下的表示。 1.3 向量的运算与几何意义 点乘（数量积）：定义、性质及其在求角度、投影中的应用。 叉积（向量积）：定义、几何意义（平行四边形的面积、法向量的确定）及其在求面积、力矩中的应用。 混合积：定义、几何意义（平行六面体的体积）及其判别共面性。 第二章 空间曲线与曲面的方程 本章将几何图形转化为代数方程，是解析几何的核心任务。我们将从最基础的直线和平面开始，逐步深入到更复杂的二次曲面。 2.1 平面的方程 点法式、一般式方程的推导与几何意义。 空间中两平面的夹角、点到平面的距离公式。 平面束的概念及其在特定约束问题中的应用。 2.2 直线的方程 直线的方向向量与参数方程、对称方程的建立。 空间中两直线的位置关系（相交、平行、异面）的判定。 直线与平面的夹角、线面关系。 2.3 二次曲面基础 球面的标准方程与一般方程。 圆柱面、圆锥面的方程及其截距特征。 椭球面、双曲面（单叶/双叶）的规范形式，重点分析其投影和截线特征。 2.4 二次型与二次曲面的分类 引入二次型（Quadratic Form）的概念，理解 $mathbf{x}^T A mathbf{x}$ 的几何意义。 通过配方法和正交变换（矩阵对角化）简化二次曲面方程。 利用特征值和特征向量对二次曲面进行规范化分类，识别主轴方向。 --- 第二部分：线性代数的核心理论与应用 第三章 矩阵代数与线性方程组 本章是线性代数的基础，着重于矩阵的运算规则及其在线性系统求解中的作用。 3.1 矩阵的运算与性质 矩阵的加减、乘法、转置与数乘。重点分析矩阵乘法的非交换性。 方阵的行列式：二阶、三阶行列式的计算，高阶行列式的拉普拉斯展开定理，行列式的性质。 逆矩阵的定义、存在条件（秩的概念引入）及计算方法（伴随矩阵法）。 3.2 初等行变换与矩阵的秩 初等行变换的类型及其对矩阵的等价性影响。 行阶梯形矩阵（Echelon Form）的求法。 矩阵的秩（Rank）的定义、计算方法及其在矩阵理论中的重要性。 3.3 线性方程组的解法 线性方程组的增广矩阵表示。 高斯消元法（Gaussian Elimination）的完整流程，及如何通过行阶梯形矩阵判断解的存在性与唯一性。 齐次线性方程组的基础解系与通解的结构。 克拉默法则（Cramer's Rule）的适用条件与局限性。 第四章 向量空间：抽象化与结构理解 本章将从具体集合提升到抽象的向量空间概念，这是理解更高阶代数结构的关键一步。 4.1 线性空间（向量空间）的公理化定义 对向量、标量的定义域（实数域 $mathbb{R}$ 或复数域 $mathbb{C}$）。 满足的八条公理及其验证。 常见的线性空间实例：$mathbb{R}^n$ 空间、多项式空间、函数空间。 4.2 线性相关性、基与维度 线性组合、线性展成（张成空间）。 线性相关与线性无关的判别（利用行列式或矩阵秩）。 基（Basis）的概念：最小生成集与极大无关组的统一。 维数（Dimension）的唯一性证明及其与基中向量数量的关系。 4.3 子空间 子空间的定义与判定定理。 列空间（Column Space）、零空间（Null Space）和行空间（Row Space）的概念及其维度关系（秩-零化度定理）。 第五章 线性映射与相似性 本章探讨向量空间之间的结构保持映射（线性变换），并引入相似性理论。 5.1 线性变换（线性映射） 线性变换的定义、性质（如与矩阵乘法的关系）。 核（Kernel）与像（Image）的概念，核与像的维度关系（同构于秩-零化度定理）。 5.2 相似变换与特征值问题 特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）的定义、计算方法。 相似矩阵的性质（行列式、迹、特征值保持不变）。 对角化问题：可对角化的条件（特征向量的完备性）。 5.3 对称矩阵与正交对角化 对称矩阵的特殊性质（实特征值，特征向量正交）。 施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，构造正交基。 正交对角化定理及其在二次型化简中的应用。 --- 结语 本书严格遵循数学逻辑的递进关系，从具象的几何描述出发，通过代数工具进行精确刻画，最终升华到抽象的向量空间理论。力求在保持数学严谨性的同时，通过丰富的例题和习题，帮助学生掌握解决复杂问题的能力。