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内容简介

　　As with the first, the second volume contains substantially more material than can be covered in a one-semester course. Such courses may omit many beautiful and well-grounded applications which connect broadly to many areas of mathematics.We of course hope that students will pursue this material independently; teachers may find it useful for undergraduate seminars.

目录

Foreword
Chapter Ⅵ Integral calculus in one variable
1 Jump continuous functions
Staircase and jump continuous functions
A characterization of jump continuous functions
The Banach space of jump continuous functions
2 Continuous extensions
The extension of uniformly continuous functions
Bounded linear operators
The continuous extension of bounded linear operators
3 The Cauchy-Riemann Integral
The integral of staircase functions
The integral of jump continuous functions
Riemann sums
4 Properties of integrals
Integration of sequences of functions
The oriented integral
Positivity and monotony of integrals
Componentwise integration
The first fundamental theorem of calculus
The indefinite integral
The mean value theorem for integrals
5 The technique of integration
Variable substitution
Integration by parts
The integrals of rational functions
6 Sums and integrals
The Bernoulli numbers
Recursion formulas
The Bernoulli polynomials
The Euler-Maclaurin sum formula
Power sums
Asymptotic equivalence
The Biemann ζ function
The trapezoid rule
7 Fourier series
The L2 scalar product
Approximating in the quadratic mean
Orthonormal systems
Integrating periodic functions
Fourier coefficients
Classical Fourier series
Bessel's inequality
Complete orthonormal systems
Piecewise continuously differentiable functions
Uniform convergence
8 Improper integrals
Admissible functions
Improper integrals
The integral comparison test for series
Absolutely convergent integrals
The majorant criterion
9 The gamma function
Euler's integral representation
The gamma function on C（-N）
Gauss's representation formula
The reflection formula
The logarithmic convexity of the gamma function
Stirling's formula
The Euler beta integral
Chapter Ⅶ Multivariable differential calculus
1 Continuous linear maps
The completeness of/L（E, F）
Finite-dimensional Banach spaces
Matrix representations
The exponential map
Linear differential equations
Gronwall's lemma
The variation of constants formula
Determinants and eigenvalues
Fundamental matrices
Second order linear differential equations
Differentiability
The definition
The derivative
Directional derivatives
Partial derivatives
The Jacobi matrix
A differentiability criterion
The Riesz representation theorem
The gradient
Complex differentiability
Multivariable differentiation rules
Linearity
The chain rule
The product rule
The mean value theorem
The differentiability of limits of sequences of functions
Necessary condition for local extrema
Multilinear maps
Continuous multilinear maps
The canonical isomorphism
Symmetric multilinear maps
The derivative of multilinear maps
Higher derivatives
Definitions
Higher order partial derivatives
The chain rule
Taylor's formula
Functions of m variables
Sufficient criterion for local extrema
6 Nemytskii operators and the calculus of variations
Nemytskii operators
The continuity of Nemytskii operators
The differentiability of Nemytskii operators
The differentiability of parameter-dependent integrals
Variational problems
The Euler-Lagrange equation
Classical mechanics
7 Inverse maps
The derivative of the inverse of linear maps
The inverse function theorem
Diffeomorphisms
The solvability of nonlinear systems of equations
8 Implicit functions
Differentiable maps on product spaces
The implicit function theorem
Regular values
Ordinary differential equations
Separation of variables
Lipschitz continuity and uniqueness
The Picard-Lindelof theorem
9 Manifolds
Submanifolds of Rn
Graphs
The regular value theorem
The immersion theorem
Embeddings
Local charts and parametrizations
Change of charts
10 Tangents and normals
The tangential in Rn
The tangential space
Characterization of the tangential space
Differentiable maps
The differential and the gradient
Normals
Constrained extrema
Applications of Lagrange multipliers
Chapter Ⅷ Line integrals
1 Curves and their lengths
The total variation
Rectifiable paths
Differentiable curves
Rectifiable curves
2 Curves in Rn
Unit tangent vectors
Paramctrization by arc length
Oriented bases
The Frenet n-frame
Curvature of plane curves
Identifying lines and circles
Instantaneous circles along curves
The vector product
The curvature and torsion of space curves
3 Pfaff forms
Vector fields and Pfaff forms
The canonical basis
Exact forms and gradient fields
The Poincare lemma
Dual operators
Transformation rules
Modules
4 Line integrals
The definition
Elementary properties
The fundamental theorem of line integrals
Simply connected sets
The homotopy invariance of line integrals
5 Holomorphic functions
Complex line integrals
Holomorphism
The Cauchy integral theorem
The orientation of circles
The Cauchy integral formula
Analytic functions
Liouville's theorem
The Fresnel integral
The maximum principle
Harmonic functions
Goursat's theorem
The Weierstrass convergence theorem
6 Meromorphie functions
The Laurent expansion
Removable singularities
Isolated singularities
Simple poles
The winding number
The continuity of the winding number
The generalized Cauchy integral theorem
The residue theorem
Fourier integrals
References
Index

前言/序言

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拓扑结构的基本概念如连通性、密实度和介绍了homeomorphisms早期使用作为一个基础,证明将远不及优雅的(和不直接)否则。例如,介值定理,证明了结果的连接的一个空间。一旦这是结果确定下来的普遍性,它讨论了R。　　

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总的来说,它们的证明简洁和逻辑但需要一些耐心跟随。当做出一个论点,作者经常引用前题一个b。c和定理x y。没有显式地声明校长z,他们正在使用,即使它可能有一个名字。因此,作为一个读者,你要么必须愿意遵循面包屑他们提供或确保你明白为什么他们的论证工作。这真的不是一个批评,只是一个观察。因为这个原因虽然,如果你打算买卷的工作,您N必须买卷N - 1。在每一卷,作者承认的序言中,他们的是太多的材料覆盖在一个学期;事实上,至少有足够的材料在每个卷为一个学年工作的价值。

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作者的典型风格,因为他们承认在他们的前言,是定义数学对象和概念在最一般的方式。他们,然后通过这些定义的后果。考虑一个特定的例子,这种方法,社区的定义提出了三世的连续性。1,一个函数(定义度量空间之间)是连续在x如果每个社区V f(x)存在一个这样的社区你x f(U)包含在诉随后,证明这是相当于两个传统的ε三角洲定义和连续性的情况定义在条款的收敛序列。作者也表明连续性所以定义也同样适用于一个赋范矢量空间(因为每个赋范矢量空间也是一个度量空间)。

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开笔此书前，我曾列过一个写作计划。按人名顺序一个接一个去罗列—他们都是些浪荡江湖，和我的人生轨迹曾交叉重叠的老友们。 　　当时，我坐在一辆咣当咣当的绿皮火车里，天色微亮，周遭是不同省份的呼噜声。我找了个本子，塞着耳机一边听歌一边写……活着的、死了的、不知不觉写满了七八页纸。我吓了一跳，怎么这么多的素材？不过十年，故事却多得堆积如山，这哪里是一本书能够写的完的。 　　头有点儿大，不知该如何取舍，于是索性随手圈了几个老友的人名。反正写谁都是写，就像一大串美味的葡萄，随手摘下的，都是一粒粒饱满的甜。随手圈下的名单，是为此书篇章构成之由来。圈完后一抬头，车窗外没有起伏，亦没有乔木，已是一马平川的华北平原。 　　书的创作过程中，我慢慢梳理出了一些东西，隐约发现自己将推展开的世界，于已经习惯了单一幸福感获取途径的人们而言，那是另一种幸福感。 　　那是一些值得我们去认可、寻觅的幸福感。他们或许是陌生的，但发着光。在我的认知中，一个成熟健全的当代文明社会，理应尊重多元的个体价值观，理应尊重个体幸福感获得方式。这种尊重，应该建立在了解的基础之上，鉴于国人文化传统里对陌生事物的天然抵触因子，“如何去了解”这几个字愈发重要。 　　那么，亲爱的们，我该如何去让你了解那些多元而又陌生的幸福感呢？ 　　写书时，恰逢山东大学抬爱，让我有缘受聘于山东大学儒学高等研究院，于是趁机做了一场名为《亚文化下成长方式的田野调查》的报告讲座。 　　那天会场塞满了人，场面出乎意料的火爆，来的大都是85 后和90后。我讲的就是这份名单：大军、路平、月月、白玛央宗……我和他们的共同生活就是一场田野调查。我没用太学术的语言词汇去贯穿讲座，但讲了许多细节的故事， 那天的叙述方式，是为本书行文的基调。 　　卡尔维诺说：“要把地面上的人看清楚，就要和地面保持距离”。这句话给我带来一个意像：一个穿西服打领带的人，手足并用爬在树上，和大部分同类保持着恰当的距离。他晃荡着腿，骑在自我设定的叛逆里，心无挂碍，乐在其中。偶尔低头看看周遭过客，偶尔抬头，漫天星斗。 　　我期待出到第十本书的时候，也能爬上这样一棵树。 　　当下是我第一本书，芹献诸君后，若价值观和您不重叠、行文有不得人心处，请姑念初犯…… 　　我下次不会改的。 　　等我爬上树了再说。 　　我不敢说这本书写得有多好多好，也懒得妄自菲薄，只知过程中三易其稿，惹得责编戴克莎小姐几度差点儿忿极而泣。如此这般折腾，仅为本色二字：讲故事人的本色，故事中人们的本色。 　　或许，打磨出本色的过程，也是爬树的过程吧。 　　文至笔端心意浅，话到唇畔易虚言，且洒莲实二三子，自有方家识真颜。 　　这本书完稿后，我背起吉他，从北到南，用一个月的时间挨个去探望了书中的老友们，除了那个不用手机的女孩，其他的人我几乎见了一个遍。

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这种方法最初要求更多的读者和他的抽象能力,但在评审者的意见,是绝对的最好方法主体。我真的不知道什么是真正的初学者在数学也能想出来但替代方法是定义事物反复在越来越通用上下文最分析文本做。

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作者的典型风格,因为他们承认在他们的前言,是定义数学对象和概念在最一般的方式。他们,然后通过这些定义的后果。考虑一个特定的例子,这种方法,社区的定义提出了三世的连续性。1,一个函数(定义度量空间之间)是连续在x如果每个社区V f(x)存在一个这样的社区你x f(U)包含在诉随后,证明这是相当于两个传统的ε三角洲定义和连续性的情况定义在条款的收敛序列。作者也表明连续性所以定义也同样适用于一个赋范矢量空间(因为每个赋范矢量空间也是一个度量空间)。

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作者的典型风格,因为他们承认在他们的前言,是定义数学对象和概念在最一般的方式。他们,然后通过这些定义的后果。考虑一个特定的例子,这种方法,社区的定义提出了三世的连续性。1,一个函数(定义度量空间之间)是连续在x如果每个社区V f(x)存在一个这样的社区你x f(U)包含在诉随后,证明这是相当于两个传统的ε三角洲定义和连续性的情况定义在条款的收敛序列。作者也表明连续性所以定义也同样适用于一个赋范矢量空间(因为每个赋范矢量空间也是一个度量空间)。

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拓扑结构的基本概念如连通性、密实度和介绍了homeomorphisms早期使用作为一个基础,证明将远不及优雅的(和不直接)否则。例如,介值定理,证明了结果的连接的一个空间。一旦这是结果确定下来的普遍性,它讨论了R。　　

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这种方法最初要求更多的读者和他的抽象能力,但在评审者的意见,是绝对的最好方法主体。我真的不知道什么是真正的初学者在数学也能想出来但替代方法是定义事物反复在越来越通用上下文最分析文本做。

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