李群论（英文版） [Theory of Lie Groups] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

内容简介

　　Expository books on the theory of Lie groups generally confine themselves to the local aspect of the theory.This limitation was probably necessary as long as general topology was not yet sufficiently well elaborated to provide a solid base for a theory in the large.These days are now passed， and we have thought that it would be'useful to have a systematic treatment of the theory from a global point of view. The present volume introduces the main basic principles which govern the theory of Lie groups.
　　A Lie group is at the same time a group， a topological space and a manifold: it has therefore three kinds of "structures，" which are interrelated with each other.The elem，entary properties of abstractgroups are by now sufficiently well known to the general mathematical public to make it unnecessary for such a book as this one to contain a purely group-theoretic chapter.The theory of topological groups， however， has been included and is treated in Chapter II. The great- est part of this chapteris concerned with the theory of covering spaces and groups， which is developed independently from the theory of paths. Chapter III is concerned with the theory of （analytic） mani-folds （independently of the notion of group）.Our definition of a manifold is inspired by the definition of a Riemann surface given by H. Weyl in his book。‘Die Idee der Riemannschen Flache"; it has， compared with the definition by overlapping system of coordinates， the advantage of being intrinsic.The theory of involutive systems of differential equations on a manifold is treated not only from the local point of view but also in the large. In order to achieve this， a defini-tion of the submanifolds of a manifold is given according to which a submanifold is not necessarily a topological subspace of the manifold in which it is imbedded.

内页插图

目录

INTRODCTION
Ⅰ.THE CLASSICAL LINEAR GROUPS
Ⅱ.TOPOLIGIVAL GROUPS
Ⅲ.MANIFOLDS
Ⅳ.ANAKYTIC GROUPS.LIE GROUPS
Ⅴ.THE DIFFERENTIAL CALCULUS OF CARTAN
Ⅵ.COMPACT LIE AND THEIR REPRESENTATIONG
INDEX

前言/序言

图书简介：《拓扑群导论》 作者： [请在此处填写作者姓名，例如：张维，王晓明] 译者： [请在此处填写译者姓名，例如：李明，陈芳] 出版社： [请在此处填写出版社名称，例如：科学出版社，高等教育出版社] 出版年份： [请在此处填写出版年份，例如：2022年] --- 核心内容概览 本书《拓扑群导论》（Introduction to Topological Groups）旨在为数学专业本科高年级学生和研究生提供一个全面而深入的拓扑群理论基础。全书结构严谨，逻辑清晰，从最基本的拓扑空间和群论概念出发，逐步构建起现代拓扑群理论的完整框架。本书的叙述侧重于概念的清晰阐释、基本定理的严格证明以及关键例子的详尽分析，力求使读者在掌握理论的同时，建立起对该领域几何和代数内在联系的直观理解。 本书的重点聚焦于局部紧致阿贝尔群 (Locally Compact Abelian Groups, LCAGs) 这一核心结构，并适当地引入了非阿贝尔群的初步探讨。我们避免了对李群结构的深入探讨，而是将重心放在了傅里叶分析在这些群上的推广，特别是庞加莱对偶定理及其在调和分析中的基础应用。 第一部分：基础回顾与拓扑群的建立 本部分旨在为读者建立起理解拓扑群所需的必要背景知识。 第一章：拓扑空间基础回顾 本章首先简要回顾了度量空间、拓扑空间的基本定义、连续性、开闭集、紧致性、连通性等核心概念。重点强调了完备性和可分性在后续理论发展中的作用。我们引入了紧致性在群结构下的特殊表现，例如紧化（compactification）的概念。 第二章：群论的拓扑化 本章正式引入拓扑群的定义——一个既是拓扑空间又是群，且乘法和求逆运算都是连续的代数结构。我们讨论了子群、商群在拓扑结构下的保持性与变化。特别地，本章详细分析了均匀性 (Uniformity) 在拓扑群上的自然诱导，并引入了一致收敛的概念，这为后续的拓扑结构分析奠定了基础。 第三章：连通性与局部性质 拓扑群的结构往往由其连通性决定。本章深入探讨了连通单位分量的性质，证明了单位分量在拓扑群中的特殊地位。此外，我们分析了局部欧几里得空间和局部紧致空间在群结构下的重要性，引入了拓扑维数的初步概念，并讨论了李群作为局部欧几里得拓扑群的特例（仅作概念引入，不对其李代数结构展开）。 第二部分：局部紧致阿贝尔群 (LCAGs) 的核心结构 本部分是本书的理论核心，全面深入地剖析了局部紧致阿贝尔群的结构。 第四章：构造性分解定理 本章的核心是证明皮卡德-冯·诺伊曼定理（Picard–von Neumann Theorem） 的阿贝尔群版本，即任何局部紧致阿贝尔群都可以分解为其欧几里得部分和紧致部分的直积（或在某些情况下，是射影极限）。我们详细分析了离散群和圆群 $mathbb{T}$ 的结构，并展示了如何将任意 LCAGs 分解为这些基本群的构造组合。对 $mathbb{R}^n$ 上的拓扑群结构进行了深入的讨论。 第五章：对偶理论的基石——连续群表示 本章引入了特征 (Characters) 的概念，即从拓扑群到圆群 $mathbb{T}$ 的连续同态。我们证明了对于任何局部紧致阿贝尔群 $G$，其特征群 $hat{G}$ 仍然是一个拓扑群。本章着重分析了紧群和离散群的对偶结构：紧群的对偶是离散群，离散群的对偶是紧群。 第六章：庞加莱对偶定理与傅里叶分析的推广 本章是本书的高潮部分，集中讨论了 庞加莱对偶定理 (Pontryagin Duality Theorem) 的完整证明。我们详细阐述了傅里叶变换如何自然地从有限阿贝尔群推广到任意 LCAGs。关键在于建立群 $G$ 与其对偶群 $hat{G}$ 之间的深刻对称性。本章通过对 $mathbb{R}^n$ 和 $mathbb{T}^n$ 上的傅里叶分析进行类比，加深了读者对对偶概念的理解。 第三部分：进一步的结构与应用初步 本部分将理论应用于更广阔的数学领域，并对非阿贝尔群进行了初步的接触。 第七章：紧群的结构与表示 虽然本书主要关注阿贝尔群，但为了完整性，本章对紧群的结构进行了更细致的探讨。我们引入了紧群上的平均 (Invariant Measure) 概念（哈尔测度初步），并讨论了紧群上的连续函数空间上的积分。对紧群的不可约连续表示进行了概念介绍，为后续的表征论打下基础，但不对表示理论的细节做深入展开。 第八章：非阿贝尔群的初步探索 本章简要介绍了拓扑李群的定义，并着重于区分阿贝尔群与非阿贝尔群在拓扑和代数上的根本差异。我们探讨了李群的生成元（即李代数的概念雏形），以及在 $ ext{GL}(n, mathbb{R})$ 上的局部结构分析。这一章旨在激励读者在未来学习中探索更复杂的群论结构。 目标读者与学习价值 本书适用于： 1. 数学专业高年级本科生和研究生，特别是对调和分析、泛函分析或代数拓扑感兴趣的读者。 2. 需要理解局部紧致群上傅里叶分析基础的物理、工程领域研究人员。 本书假设读者已具备群论、基础拓扑学和基本实分析的扎实知识。通过对 LCAGs 及其对偶性的系统学习，读者将能够熟练运用拓扑群这一强大工具来解决代数、几何和分析学中的关键问题，为深入研究调和分析、代数表示论和微分几何打下坚实的基础。全书配备了大量的练习题，旨在巩固理论理解和培养严谨的数学思维。