物理及工程中的分数维微积分（第1卷）：数学基础及其理论 [Fractional Derivatives for Physicists and Engineers Volume 1:Background and Theory] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

内容简介

　　一个运动质点位置函数的一阶导数表示速度，二阶导数表示加速度，那么分数阶导数的物理意义又是什么呢？分数阶导数是因何而产生，它对现代分析学在物理学的应用产生什么冲击，在将来又有什么发展？《物理及工程中的分数维微积分》二卷本将为你提供一个详细诠释。
　　《物理及工程中的分数维微积分（第1卷）：数学基础及其理论》介绍分数维微积分的数学基础和相应的理论，为这个现代分析学中的重要分支提供了详细而又清晰的分析与介绍。

内页插图

目录

Part Ⅰ Background
1 Heredity and Nonlocality
1.1 Heredity
1.1.1 Concept of heredity
1.1.2 A short excursus in history
1.2 Volterra's heredity theory
1.2.1 Volterra's heredity laws
1.2.2 Hereditary string
1.2.3 Hereditarv oscillator
1.2.4 Energv drinciple
1.2.5 Hereditary electrodynamics
1.3 Hereditary kinetics
1.3.1 Mechanical origin of heredity
1.3.2 Hereditary Boltzmann equation
1.3.3 Fokker-Planckequation
1.3.4 Pauli and Van Hove equations
1.3.5 Hybrid kinetic equations
1.4 Hereditary hydrodynamics
1.4.1 Physicalmotivation
1.4.2 Polymeric liquids
1.4.3 Turbulent diffusion
1.4.4 Coarse-grained diffusion models
1.5 Hereditarv viscoelasticity
1.5.1 Boltzmann's viscoelasticity model
1.5.2 Elastic solid： a mesoscopic approach
1.5.3 One-dimensional harmonic lattice
1.5.4 Axiomatic approach to continuum mechanics
1.6 Hereditary thermodynanucs
1.6.1 Mechanical approach
1.6.2 Hereditary heat-transfer
1.6.3 Extendedirreversible thermodynamics
1.6.4 Axiomatic approach
1.6.5 Ecology and climatology
1.7 Nonlocal models
1.7.1 Many-electron atoms
1.7.2 Electron correlation in metals
1.7.3 Plasma
1.7.4 Vlasov's nonlocal statistical mechanics
1.7.5 Turbulence
1.7.6 Aggregation equations
1.7.7 Nonlocal models in nano-plasticity
1.7.8 Nonlocal wave equations
References
2 Selfsinularity
2.1 Power functions
2.1.1 Standard power function
2.1.2 Properties ofpower functions
2.1.3 Memory
2.1.4 Fractals
2.2 Hydrodynamics
2.2.1 Newtonian fluids
2.2.2 Turbulence
2.2.3 Microscopic fluctuations
2.2.4 Non-Newtonian fiuids
2.3 Polymers
2.3.1 The Nutting law
2.3.2 Relaxation ofpolymer chains
2.3.3 Interpenetrating polymer networks
2.4 Reaction-diffusion
2.4.1 Diffusion
2.4.2 Polymerization
2.4.3 Coagulation and fragmentation
2.5 Solids
2.5.1 Dielectrics
2.5.2 Semiconductors
2.5.3 Spinglasses
2.5.4 Jonscher's universal relaxation law
2.6 Optics
2.6.1 Luminescence decay
2.6.2 Anomalous exciton kinetics
2.6.3 Blinking fluorescence of quantum dots
2.7 Geophysics
2.7.1 Atmosphere and ocean turbulence
……

PartⅡ Theory
Index

《物理及工程中的分数维微积分（第1卷）：数学基础及其理论》图书简介 内容提要： 本书是“物理及工程中的分数维微积分”系列丛书的第一卷，旨在为物理学家、工程师以及希望深入理解这一前沿数学工具的读者，系统地梳理分数阶微积分的理论基石。本书着重于构建一个扎实且清晰的数学框架，为后续应用篇章（第2卷及更高卷）打下坚实的基础。全书内容紧密围绕分数阶导数和积分的定义、基本性质、关键函数关系以及必要的分析工具展开，严格避免了对具体物理模型或工程案例的直接应用讨论。 第一部分：基础概念的重塑与拓展 本书伊始，便对传统整数阶微积分进行了回顾和必要的概念拓展，为引入“非整数阶”的概念做铺垫。我们将从历史背景入手，简要介绍分数阶微积分（Fractional Calculus, FC）的起源，包括莱布尼茨和李欧维尔早期的探索，强调其并非现代数学的突发奇想，而是对传统微积分概念的自然延伸。 核心章节首先聚焦于分数阶导数与积分的定义。我们详细探讨了历史上和现代应用中最核心的几种定义，包括： 1. 黎曼-李欧维尔（Riemann-Liouville, R-L）分数阶导数与积分： 深入解析其卷积结构和与常规积分的关系，探讨其在左侧、右侧及双边定义下的区别与联系，并详细推导其在特定函数（如幂函数、指数函数）上的运算结果。 2. 卡普托（Caputo）分数阶导数： 阐述 Caputo 定义作为工程应用中初始条件的自然选择的重要性，并提供其与 R-L 定义之间的转换公式，分析两者在处理实际问题时的实际差异。 3. 格林尼斯-古尔斯基（Grünwald-Letnikov, G-L）定义： 从离散化的角度，基于泰勒展开的推广来引入 G-L 定义，这为数值方法的实现提供了直观的理解基础。 在定义层面，本书强调了分数阶微积分的非局部性（Non-locality）这一本质特征，并通过对比，清晰地展示了它与传统微积分在算子性质上的根本区别。 第二部分：关键函数与积分变换 分数阶微积分的理论发展与特定数学函数的推广密不可分。本书将大量篇幅用于介绍和分析在分数阶分析中扮演核心角色的特殊函数： 1. 伽马函数（Gamma Function）与贝塔函数（Beta Function）： 作为分数阶微积分运算的“权重因子”，本书不仅回顾了它们的积分定义和基本性质，更侧重于探讨它们在分数阶积分算子中的具体作用机制。 2. 广义超几何函数（Generalized Hypergeometric Functions）与米塔格-莱夫勒函数（Mittag-Leffler Function, MLF）： MLF 被誉为分数阶微积分中的“指数函数”，本书将详细分析其单参数和双参数形式的收敛性、渐近行为，以及它如何替代传统指数函数在分数阶微分方程的解中出现。我们将深入探讨 MLF 在复平面上的性质及其与贝塞尔函数、误差函数之间的关系。 此外，为了有效地求解分数阶微分方程，积分变换方法是不可或缺的工具。本书系统地介绍了傅里叶变换（Fourier Transform）和拉普拉斯变换（Laplace Transform）在分数阶微积分中的推广应用。我们将推导分数阶导数和积分在这些变换下的对应关系，这为后续使用代数方法求解微分方程提供了强大的代数工具箱。 第三部分：分数阶算子的性质与分析工具 在理解了基本定义和核心函数之后，本书转入更深层次的分析，探讨分数阶算子自身的数学性质： 1. 分数阶算子的半群性质： 分析重复应用分数阶算子时，其行为是否构成一个半群结构，以及这对理论推导的意义。 2. 连续性、可微性与积分的可交换性： 详细分析不同分数阶导数（如 R-L 和 Caputo）在特定函数空间中的连续性和可微性条件。特别是，对于不同阶数的分数阶积分和导数，其运算顺序（如 $mathcal{D}^alpha mathcal{D}^eta f$ 与 $mathcal{D}^eta mathcal{D}^alpha f$）的交换性问题将进行严格的论证。 3. 分数阶微积分的矩阵表示： 探讨在有限维近似框架下，如何将分数阶算子转化为带有特定核函数的矩阵形式，为数值分析和线性系统理论的读者提供一个可操作的视角（但本书不对具体的数值算法做展开）。 第四部分：与经典算子的联系与推广 本卷的最后部分，致力于将分数阶微积分的理论与更广泛的数学领域连接起来： 1. 与积分变换的深入关联： 除了拉普拉斯变换外，本书还将介绍富里埃-塞尔维（Fourier-Stieltjes）变换在分数阶积分中的作用，以及分数阶卷积与相关变换之间的关系。 2. 分数阶微积分的泛函空间理论基础： 简要介绍 Sobolev 空间在分数阶导数定义下的推广形式，为理解分数阶偏微分方程（PDEs）的解的存在性和唯一性提供必要的背景知识。 本书特点： 本书的结构是高度模块化和理论驱动的。它完全专注于“数学基础及其理论”的构建，确保读者能够清晰地区分不同定义带来的理论差异。全书语言严谨，推导详尽，力求在严密性与可读性之间取得平衡，是物理和工程领域研究人员系统学习分数阶微积分数学内核的理想入门教材。本书不涉及任何具体的物理模型（如粘弹性、扩散、介电响应等）的建立或求解，而是将所有精力投入到为这些应用提供坚不可摧的数学地基之上。