线性代数与解析几何教程（下册）/普通高等教育“十一五”国家级规划教材 pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

编辑推荐

　　 《普通高等教育“十一五”国家级规划教材：线性代数与解析几何教程（下册）》共12章，上、下册各6章。第1，2章和第8，9章是两个解析几何板块。前者基本是线性部分，也是线性代数的几何背景；后者是曲线曲面部分，二次曲线曲面分类的关键步骤是主轴化，所以放在第7章二次型之后。第3，4章和第5，6章是两个高等代数基础板块。前者是基础的部分；后者是多项式、特征系和对角化，特征系需要较多的多项式知识。第7章二次型，也是高等代数的基础板块。第10～12章则是数学专业的线性代数板块。
《普通高等教育“十一五”国家级规划教材：线性代数与解析几何教程（下册）》为下册。内容包括实二次型、曲线与曲面、射影几何初步、一般向量空间、欧氏空间、酉空间、矩阵相似标准形等。每节后配备了一定数量的练习题，章后配备有综合性较强的习题。

内容简介

　　 《普通高等教育“十一五”国家级规划教材：线性代数与解析几何教程（下册）》讲述了高等院校线性代数与解析几何课程的基本内容，既突出了线性代数作为各专业公共课程的工具性和操作性，也反映了线性代数与解析几何、多项式知识的思想性以及它们之间的内在联系。《普通高等教育“十一五”国家级规划教材：线性代数与解析几何教程（下册）》在内容处理上力求翔实流畅、易学易教。《普通高等教育“十一五”国家级规划教材：线性代数与解析几何教程（下册）》分上、下两册。下册内容包括实二次型、曲线与曲面、射影几何初步、一般向量空间、欧氏空间、酉空间、矩阵相似标准形等6章。每节后配备了一定数量的练习题，章后配备有综合性较强的习题。上、下册均有符号说明、部分习题答案与提示，并附有名词索引，便于阅读查找。
《普通高等教育“十一五”国家级规划教材：线性代数与解析几何教程（下册）》为板块结构，遵循按需选取。《普通高等教育“十一五”国家级规划教材：线性代数与解析几何教程（下册）》既可作为数学各专业学生的教学用书，也可作为非数学专业学生的教学用书，对其他课程的教师也具有参考价值。

内页插图

目录

前言
符号说明
第7章 实二次型
7.1 实二次型
7.2 实对称矩阵
7.3 实二次型标准形
7.4 实向量空间的内积
7.5 正交矩阵
7.6 主轴定理
7.7 实二次型的正负性
第7章补充习题
第8章 曲线与曲面
8.1 空间曲线与曲面的方程
8.2 柱面与锥面
8.3 旋转面
8.4 平面直角坐标变换
8.5 平面二次曲线的欧氏分类
8.6 空间欧氏变换与二次曲面
8.7 空间二次曲面的欧氏分类
8.8 空间二次曲面的欧氏性质
8.9 二次曲线曲面的仿射分类
第8章补充习题
第9章 射影几何初步
9.1 射影平面齐次坐标
9.2 对偶原理
9.3 射影变换，射影分类
第9章补充习题
第10章 一般向量空间
10.1 一般向量空间
10.2 子空间
10.3 基底与维数
10.4 线性映射
10.5 线性映射与基底
10.6 对应定理
10.7 基底变换定理
10.8 子空间的和
10.9 子空间的直和
10.10 线性变换的不变子空间
10.11 线性变换的特征系
第10章补充习题
第11章 欧氏空间、酉空间
11.1 一般欧氏空间
11.2 欧氏空间的线性变换
11.3 酉空间
11.4 谱定理
11.5 谱定理（续）
11.6 正交矩阵的实标准形
11.7 极小平方逼近
第11章补充习题
第12章 矩阵相似标准形
12.1 λ矩阵的子式因子组
12.2 λ矩阵的不变因子组
12.3 λ矩阵的初等因子组
12.4 矩阵相似判别准则
12.5 若尔当标准形
第12章补充习题
部分习题答案与提示
索引

前言/序言

深入探索高等数学的基石：矩阵理论、向量空间与微分几何的精妙构造 本书聚焦于现代数学体系中两个核心且相互关联的领域——线性代数与解析几何——的下部进阶内容，旨在为工科、理科以及计算机科学的专业学习者提供一个严谨、深入且富有启发性的教材。 本书的编排立足于对抽象代数结构的精确描述和几何直觉的有机结合，旨在帮助读者构建起对高维空间、线性变换的本质属性以及曲线曲面局部性质的深刻理解。 第一部分：矩阵代数的深化与抽象化 本部分内容从传统矩阵运算的表象深入到背后蕴含的结构性原理，为理解更高级的数学模型（如有限元分析、量子力学状态描述）打下坚实基础。 1. 特征值与特征向量的深层解析： 我们不再仅仅停留在计算特征值和特征向量的层面。本章将详细探讨特征值问题的物理和几何意义——它们代表了线性变换下保持方向不变的特定方向，以及在这个方向上发生的伸缩比例。内容涵盖： 相似变换与对角化： 深入分析矩阵可对角化的充要条件（基于特征值的代数重数与几何重数的讨论）。讨论如何利用相似变换将复杂矩阵转化为易于分析的对角矩阵形式，尤其是在处理动力学系统演化和迭代计算中的应用。 实对称矩阵的谱理论： 详细阐述谱定理在实数域上的重要性，证明了所有实对称矩阵都可以正交对角化，并讨论了正交矩阵在保持长度和角度不变性下的作用。这为后续的二次型分析奠定基础。 不可约矩阵与佩隆-弗罗贝尼乌斯理论（选讲）： 针对具有非负元素的矩阵（常见于人口增长、经济投入产出模型），介绍佩隆根的唯一性、对应的正特征向量的存在性及其重要意义，展示线性代数理论在离散系统分析中的强大威力。 2. 矩阵的范数与收敛性分析： 本章将线性代数的讨论延伸至分析领域，探讨矩阵的“大小”概念及其在数值计算中的稳定性。 矩阵范数的定义与性质： 介绍诱导范数（如算子范数）和Schur范数等，阐述它们如何衡量线性算子对向量的“最大拉伸”能力。 矩阵的指数与幂级数： 严格定义矩阵函数，特别是矩阵指数 $e^A$ 的收敛性，并讨论其在求解常微分方程初值问题（如 $frac{dx}{dt} = Ax$）中的核心地位。 3. 分块矩阵与克罗内克积： 为处理大规模系统和复杂结构（如网络流、张量运算）提供有效的代数工具。 分块矩阵的乘法与求逆： 详细推导分块矩阵的乘法规则，重点分析可逆分块矩阵的求逆公式（如Schur补的利用），这对求解大型稀疏方程组至关重要。 克罗内克积（Kronecker Product）： 定义克罗内克积，探讨其在表示多维系统哈密顿量或高阶微分算子时的应用，以及其与特征值之间的关系（例如，$ ext{vec}(AXB) = (B^T otimes A) ext{vec}(X)$）。 第二部分：向量空间理论的抽象与深入 本部分是连接线性代数与泛函分析的桥梁，强调了从具体向量（如 $mathbb{R}^n$ 中的坐标向量）到抽象向量空间（如函数空间、多项式空间）的升华。 1. 线性函数的结构与对偶空间： 对线性变换进行更深层次的结构性考察。 内积空间的完备性与希尔伯特空间引入： 讨论完备性在保证极限操作有效性中的作用，并简要引入希尔伯特空间的概念，为傅里叶分析和最小二乘法的几何解释提供框架。 线性泛函与对偶空间： 严格定义线性泛函和向量空间的对偶空间 $V^$。利用Riesz表示定理阐述内积空间中“向量”与“泛函”之间的深刻联系，以及拉格朗日乘子法在对偶空间视角下的几何意义。 2. 张量积与多线性代数基础： 张量积是处理多变量系统和张量分析的基石，对于物理学和数据科学中的高维数据结构至关重要。 张量积的定义与基构造： 严格定义两个向量空间 $U$ 和 $W$ 的张量积 $U otimes W$，并清晰展示如何通过基的笛卡尔积来构造其基。 张量积与线性映射的关系： 探讨张量积空间上的线性映射如何分解为原空间中线性映射的组合，为理解量子力学中的复合系统态（如纠缠态）提供代数工具。 第三部分：解析几何的升华：从欧氏空间到微分几何的萌芽 本部分将线性代数的工具应用于描述和分析三维及更高维空间中的曲线和曲面，衔接微积分的高级应用。 1. 空间曲线的局部性质分析： 本章侧重于用向量值函数描述空间曲线，并利用导数概念来捕捉其瞬时变化。 参数化曲线的运动学解释： 将曲线参数 $t$ 视为时间，曲率 $kappa$ 视为弯曲程度，挠率 $ au$ 视为空间中偏离“平面性”的程度。 弗雷内-塞雷（Frenet-Serret）公式组： 详细推导和分析这一组微分方程组，证明了由自然标架（切向量 $mathbf{T}$、主法向量 $mathbf{N}$、副法向量 $mathbf{B}$）的演化完全决定了曲线在三维空间中的形状。讨论曲率和挠率如何作为曲线的内在几何不变量。 2. 欧氏空间中的曲面理论： 本章是微分几何的开端，使用向量微积分工具描述曲面的局部几何特征。 曲面的参数化与第一基本形式： 定义曲面的参数方程，并引入第一基本形式 $I = E du^2 + 2F du dv + G dv^2$。解释 $E, F, G$ 如何量化了曲面上微小位移的长度，以及它们与曲面等距变换（不改变曲面形状的变换）之间的关系。 法曲率与主曲率： 引入曲面的法向量场。定义沿着曲面上任意方向的法曲率 $kappa_n$，并利用主曲率 $kappa_1, kappa_2$ 来刻画曲面在不同方向上的弯曲程度。 高斯曲率与平均曲率： 重点讨论高斯曲率 $K$（由 $kappa_1 kappa_2$ 给出）的内在性——即它仅依赖于第一基本形式的系数，而与曲面如何嵌入三维空间无关（高斯绝妙定理的几何内涵）。同时分析平均曲率 $H$ 在极小曲面（如肥皂膜）中的物理意义。 关键定理的介绍： 简要介绍 Weingarten 映射和 Codazzi/Gauss 方程的物理意义，为后续更深入的微分几何学习铺设基础。 全书总结： 本书通过对矩阵理论的抽象提炼、向量空间结构的严谨构建，以及对高维空间中几何对象进行微分描述的训练，旨在培养读者强大的数学建模能力和严密的逻辑思维。内容环环相扣，层层递进，是从基础线性代数迈向专业领域（如偏微分方程、微分几何、控制理论）的必经之路。 读者将不再把矩阵视为孤立的数字表，而是理解其作为线性算子在不同基下的表示；也不再将解析几何视为孤立的几何图形，而是认识到其内在的微分结构。