第 1章 0 的故事——無即是有
本章學習內容　2
小學一年級的迴憶　2
10進製計數法　3
什麼是10進製計數法　3
分解2503　3
2進製計數法　4
什麼是2進製計數法　4
分解1100　5
基數轉換　6
計算機中為什麼采用2　進製計數法　8
按位計數法　10
什麼是按位計數法　10
不使用按位計數法的羅馬數字　11
指數法則　12
10的0次方是什麼　12
10–1是什麼　13
規則的擴展　14
對20進行思考　14
2–1是什麼　15
0所起的作用　16
0的作用：占位　16
0的作用：統一標準，簡化規則　16
日常生活中的0　17
人類的極限和構造的發現　18
重溫曆史進程　18
為瞭超越人類的極限　19
本章小結　20
第　2章 邏輯——真與假的二元世界
本章學習內容　22
為何邏輯如此重要　22
邏輯是消除歧義的工具　22
緻對邏輯持否定意見的讀者　23
乘車費用問題—兼顧完整性和排他性　23
收費規則　23
命題及其真假　24
有沒有“遺漏”　24
有沒有“重復”　25
畫一根數軸輔助思考　26
注意邊界值　27
兼顧完整性和排他性　28
使用if　語句分解問題　28
邏輯的基本是兩個分支　29
建立復雜命題　29
邏輯非—不是A　30
邏輯與—A並且B　32
邏輯或—A或者B　34
異或—A或者B（但不都滿足）　37
相等—A和B相等　39
蘊涵—若A則B　40
囊括所有瞭嗎　45
德摩根定律　46
德摩根定律是什麼　46
對偶性　47
卡諾圖　48
二燈遊戲　48
首先藉助邏輯錶達式進行思考　49
學習使用卡諾圖　50
三燈遊戲　52
包含未定義的邏輯　54
帶條件的邏輯與（&&）　55
帶條件的邏輯或（||）　57
三值邏輯中的否定（!）　58
三值邏輯的德摩根定律　59
囊括所有瞭嗎　60
本章小結　60
第3章　餘數——周期性和分組
本章學習內容　64
星期數的思考題(1)　64
思考題（100　天以後是星期幾）　64
思考題答案　65
運用餘數思考　65
餘數的力量—將較大的數字除一次就能分組　65
星期數的思考題(2)　66
思考題（10100　天以後是星期幾）　66
提示：可以直接計算嗎　67
思考題答案　67
發現規律　68
直觀地把握規律　68
乘方的思考題　70
思考題（1　234 567987 654 321）　70
提示：通過試算找齣規律　70
思考題答案　70
迴顧：規律和餘數的關係　71
通過黑白棋通信　71
思考題　71
提示　73
思考題答案　73
奇偶校驗　74
奇偶校驗位將數字分為2　個集閤　74
尋找戀人的思考題　74
思考題（尋找戀人）　74
提示：先試算較小的數　75
思考題答案　75
迴顧　76
鋪設草席的思考題　77
思考題（在房間裏鋪設草席）　77
提示：先計算一下草席數　78
思考題答案　78
迴顧　79
一筆畫的思考題　79
思考題（哥尼斯堡七橋問題）　79
提示：試算一下　80
提示：考慮簡化一下　81
提示：考慮入口和齣口　82
思考題答案　82
奇偶校驗　85
本章小結　86
第4章　數學歸納法——如何徵服無窮數列
本章學習內容　88
高斯求和　88
思考題（存錢罐裏的錢）　88
思考一下　89
小高斯的解答　89
討論一下小高斯的解答　89
歸納　91
數學歸納法—如何徵服無窮數列　91
0　以上的整數的斷言　92
小高斯的斷言　93
什麼是數學歸納法　93
試著徵服無窮數列　94
用數學歸納法證明小高斯的斷言　95
求齣奇數的和—數學歸納法實例　96
通過數學歸納法證明　96
通過數學歸納法證明　97
圖形化說明　98
黑白棋思考題—錯誤的數學歸納法　99
思考題（黑白棋子的顔色）　99
提示：不要為圖所惑　100
思考題答案　101
編程和數學歸納法　101
通過循環錶示數學歸納法　101
循環不變式　104
本章小結　107
第5章　排列組閤——解決計數問題的方法
本章學習內容　110
計數—與整數的對應關係　110
何謂計數　110
注意“遺漏”和“重復”　111
植樹問題—不要忘記0　111
植樹問題思考題　111
加法法則　115
加法法則　115
乘法法則　118
乘法法則　118
置換　121
置換　121
歸納一下　122
思考題（撲剋牌的擺法）　123
排列　124
排列　124
歸納一下　126
樹形圖—能夠認清本質嗎　128
組閤　130
組閤　130
歸納一下　131
置換、排列、組閤的關係　133
思考題練習　134
重復組閤　135
也要善於運用邏輯　137
本章小結　140
第6章　遞歸——自己定義自己
本章學習內容　144
漢諾塔　144
思考題（漢諾塔）　145
提示：先從小漢諾塔著手　145
思考題答案　148
求齣解析式　150
解齣漢諾塔的程序　151
找齣遞歸結構　152
再談階乘　154
階乘的遞歸定義　154
思考題（和的定義）　155
遞歸和歸納　156
斐波那契數列　156
思考題（不斷繁殖的動物）　157
斐波那契數列　159
帕斯卡三角形　162
什麼是帕斯卡三角形　162
遞歸定義組閤數　165
組閤的數學理論解釋　165
遞歸圖形　167
以遞歸形式畫樹　167
實際作圖　168
謝爾平斯基三角形　170
本章小結　171
第7章　指數爆炸——如何解決復雜問題
本章學習內容　174
什麼是指數爆炸　174
思考題（摺紙問題）　174
指數爆炸　177
倍數遊戲—指數爆炸引發的難題　178
程序的設置選項　178
不能認為是“有限的”就不假思索　180
二分法查找—利用指數爆炸進行查找　180
尋找犯人的思考題　180
提示：先思考人數較少的情況　181
思考題答案　182
找齣遞歸結構以及遞推公式　183
二分法查找和指數爆炸　185
對數—掌握指數爆炸的工具　186
什麼是對數　187
對數和乘方的關係　187
以2為底的對數　188
以2為底的對數練習　189
對數圖錶　189
指數法則和對數　191
對數和計算尺　192
密碼—利用指數爆炸加密　195
暴力破解法　195
字長和安全性的關係　196
如何處理指數爆炸　197
理解問題空間的大小　197
四種處理方法　198
本章小結　199
第8章　不可解問題——不可解的數、無法編寫的程序
本章學習內容　202
反證法　202
什麼是反證法　202
質數思考題　204
反證法的注意事項　205
可數　205
什麼是可數　205
可數集閤的例子　206
有沒有不可數的集閤　208
對角論證法　209
所有整數數列的集閤是不可數的　209
所有實數的集閤是不可數的　213
所有函數的集閤也是不可數的　214
不可解問題　215
什麼是不可解問題　215
存在不可解問題　216
思考題　217
停機問題　218
停機　218
處理程序的程序　219
什麼是停機問題　219
停機問題的證明　221
寫給尚未理解的讀者　224
不可解問題有很多　226
本章小結　226
第9章　什麼是程序員的數學——總結篇
本章學習內容　230
何為解決問題　233
認清模式，進行抽象化　233
由不擅長催生齣的智慧　233
幻想法則　234
程序員的數學　235
附錄　邁嚮機器學習的第 一步
本附錄學習內容　238
什麼是機器學習　239
受到廣泛關注的機器學習技術　239
機器學習是隨著時代發展誕生的技術　239
預測問題和分類問題　240
預測問題　240
分類問題　243
感知器　245
什麼是感知器　245
加權求和　247
激活函數　249
感知器小結　250
機器學習是如何“學習”的　250
學習的流程　250
訓練數據與測試數據　251
損失函數　252
梯度下降法　254
作為程序員要做些什麼　256
神經網絡　256
什麼是神經網絡　256
誤差反嚮傳播法　258
深度學習和強化學習　259
人類就這樣沒用瞭嗎　260
附錄小結　261
· · · · · · (收起)