普通高等教育十一五规划教材
数值分析第5版
数值分析（第5版）
作 者：李庆扬 等编
出 版 社：清华大学出版社
出版时间：2008-12-1
ＩＳＢＮ：9787302185659
版 次：5
页 数：326
字 数：460000
印刷时间：2014-4-1
开 本：16开
纸 张：胶版纸
印 次：11
包 装：平装
定价：39.00元
本书是为理工科大学各专业普遍开设的“数值分析”课程编写的教材。其内容包括插值与逼近，数值微分与数值积分，非线性方程与线性方程组的数值解法，矩阵的特征值与特征向量计算，常微分方程数值解法。每章附有习题并在书末给出了部分答案，每章还附有复习与思考题和计算实习题。全书阐述严谨，脉络分明，深入浅出，便于教学。
本书也可作为理工科大学各专业研究生学位课程的教材，并可供从事科学计算的科技工作者参考。
第1章 数值分析与科学计算引论 1.1 数值分析的对象、作用与特点 1.1.1 数学科学与数值分析 1.1.2 计算数学与科学计算 1.1.3 计算方法与
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数值分析：精妙算法与工程应用的桥梁 数值分析，作为连接理论数学与实际计算工程的坚实桥梁，是现代科学技术发展不可或缺的基石。它研究如何用近似的数值方法来解决数学问题，尤其是在解析解难以获得或不存在的情况下，数值分析提供了强大而有效的工具。从物理学的复杂模拟到金融市场的风险评估，从医学影像的处理到人工智能的深度学习，几乎所有的计算密集型领域都离不开数值分析的支撑。 本书将深入探讨数值分析的核心概念和经典算法，旨在为读者构建一个严谨而实用的理论框架，并引导大家领略其在解决实际工程问题中的强大力量。我们不局限于枯燥的数学推导，更注重算法的实现细节、误差分析以及在不同应用场景下的表现。通过生动形象的讲解和精心设计的案例，读者将能够深刻理解数值分析的精髓，并逐步掌握运用这些工具解决复杂问题的能力。 第一篇：插值与逼近——数据的“曲线救国” 在现实世界中，我们常常面临着大量离散的数据点，而我们往往需要从这些稀疏的数据中推断出连续的函数或趋势。插值与逼近技术正是解决这类问题的关键。本篇将带领读者探索如何巧妙地“连接”这些数据点，从而揭示隐藏在数据背后的规律。 第一章：多项式插值 引言： 什么是插值？为何需要插值？从简单的线性插值出发，引出多项式插值的重要性。 拉格朗日插值： 介绍拉格朗日插值多项式的构造方法，分析其优缺点，并通过实例演示如何构建插值多项式。我们将深入探讨拉格朗日插值多项式的存在唯一性，并理解其系数的计算。 牛顿插值： 学习牛顿插值多项式的递推构造法，理解均差的概念及其计算方法。牛顿插值在计算上比拉格朗日插值更有效，特别是当需要增加插值点时。我们将详细解析牛顿插值法的优势，并对比其与拉格朗日插值的异同。 插值余项： 分析插值多项式与真实函数之间的误差。理解插值余项的表达式，学习如何估计插值误差，并讨论如何通过选择合适的插值节点来减小误差。我们将探讨一些常见的误差界估计方法，并分析不同节点分布对误差的影响。 埃尔米特插值： 介绍插值多项式不仅需要满足函数值相等，还需要满足导数值相等的情况。理解埃尔米特插值多项式的构造，并分析其在特定工程问题中的应用，例如在曲线拟合中要求曲线平滑过渡。 分段多项式插值： 讨论在高次多项式插值可能引起的“龙格现象”问题。介绍分段线性插值和分段二次插值等方法，理解它们如何通过将插值区间分成若干小段来提高插值精度和稳定性。 实际应用： 结合实际数据，演示如何在数据分析、曲线拟合、函数逼近等领域应用多项式插值技术。例如，分析气象数据、股票价格走势，并利用插值进行预测。 第二章：三次样条插值 引言： 为什么需要比简单分段多项式插值更平滑的插值方法？引入样条函数的概念。 三次样条函数： 定义三次样条函数，并介绍其关键性质，即在连接点处具有连续的二阶导数，从而保证了插值曲线的光滑性。 三次自然样条： 详细介绍三次自然样条的构造原理，推导其方程组，并给出求解方法。分析自然样条在边界条件上的特殊性。 三次非自然样条： 介绍其他边界条件下的三次样条插值，例如固定端点导数条件等，并分析不同边界条件对插值结果的影响。 三次样条的优势： 对比三次样条插值与高次多项式插值，突出其在全局稳定性和局部控制方面的优势。 实际应用： 探讨三次样条在计算机图形学（例如绘制平滑曲线）、数控机床路径规划、以及科学数据可视化等方面的应用。我们将展示如何使用三次样条来生成自然流畅的曲线，满足工程设计中的美学和功能要求。 第三章：函数逼近——“最接近”的艺术 引言： 插值是“精确匹配”数据点，而逼近则是在一定范围内寻找一个“最接近”的函数。区分插值与逼近的概念。 最佳平方逼近： 介绍平方误差的概念，以及如何寻找在平方误差意义下与原函数“最接近”的函数。重点讲解在函数空间中的投影思想。 勒让德多项式与切比雪夫多项式： 介绍正交多项式系统，如勒让德多项式和切比雪夫多项式，及其在函数逼近中的重要作用。理解它们如何构成一个完备的函数集，使得任何一个函数都可以用它们的线性组合来逼近。 最佳一致逼近（切比雪夫逼近）： 介绍在最大绝对误差意义下的逼近，即寻找一个函数，使得其与原函数之间的最大误差最小。 最小二乘法： 深入探讨最小二乘法在数据拟合和参数估计中的应用。我们将介绍线性最小二乘法和非线性最小二乘法，并分析它们在统计建模和工程优化中的地位。 实际应用： 演示函数逼近在信号处理（例如傅里叶级数逼近）、数据压缩、以及模型简化等领域的应用。我们将展示如何用更简单的函数来近似复杂的函数，从而降低计算复杂度，提高处理效率。 第二篇：数值积分与微分——测量的精度提升 在科学研究和工程实践中，我们经常需要计算定积分的值，或者估计函数导数。当解析计算困难时，数值积分和数值微分就显得尤为重要。本篇将聚焦于这些关键的数值计算技术。 第四章：数值积分 引言： 解析积分的局限性，引出数值积分的需求。 牛顿-柯特斯公式： 介绍如何利用插值多项式来近似被积函数，从而导出各种牛顿-柯特斯公式，如梯形法则、辛普森法则等。详细推导这些公式的推导过程，并分析它们的精度。 复化求积公式： 讲解如何将积分区间分成多个小区间，并在每个小区上应用求积公式，以提高整体的积分精度。重点介绍复化梯形法则和复化辛普森法则。 高斯求积公式： 介绍高斯求积的原理，即选取最优的积分节点和权重，从而在相同节点数下获得更高的精度。我们将详细解析高斯-勒让德求积的构造和计算。 龙贝格积分： 介绍基于梯形法则和等差步长外推的龙贝格积分方法，理解其如何利用 sucesivamente提高精度来获得高效的积分结果。 多重积分的数值计算： 探讨如何将一维数值积分的方法推广到二维和多维积分的计算。 实际应用： 演示数值积分在计算不规则图形面积、物理量（如功、能量）的累积、以及概率统计中的累积分布函数计算等方面的应用。 第五章：数值微分 引言： 解析求导的困难，引出数值微分的需求。 有限差分法： 介绍基于泰勒展开的有限差分近似。讲解向前差分、向后差分和中心差分公式，分析它们的精度，并讨论在不同情况下的适用性。 高阶导数的数值计算： 介绍如何利用有限差分法来计算二阶及更高阶导数的近似值。 数值微分的误差分析： 分析截断误差和舍入误差对数值微分结果的影响，并讨论如何选择合适的步长来减小总误差。 实际应用： 演示数值微分在计算物理量变化率、求解微分方程的初值问题（作为数值求解方法的基础），以及在图像处理中的边缘检测等方面的应用。 第三篇：线性方程组的求解——信息处理的基石 线性方程组是科学和工程中出现频率最高的一类问题。如何高效、准确地求解线性方程组，是数值分析的重要研究内容。本篇将深入探讨各种求解线性方程组的方法。 第六章：直接法 引言： 线性方程组的结构及其重要性。 高斯消元法： 详细介绍高斯消元法的步骤，包括行变换、消元过程和回代求解。分析其时间复杂度和数值稳定性。 LU分解： 介绍如何将系数矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积。利用LU分解可以高效地求解多个同类型线性方程组。我们将深入探讨Doolittle分解和Crout分解。 列主元高斯消元法： 讨论如何通过交换行来提高高斯消元法的数值稳定性，特别是在系数矩阵中存在接近于零的元素时。 追赶法（Thomas算法）： 专门针对三对角线性方程组的快速求解方法，在有限差分法求解偏微分方程时非常有用。 实际应用： 演示直接法在电路分析、结构力学计算、以及统计回归模型等领域的应用。 第七章：迭代法 引言： 当线性方程组规模巨大或系数矩阵稀疏时，直接法可能不适用。迭代法提供了一种有效的替代方案。 雅可比迭代法： 介绍雅可比迭代法的基本思想，即把方程组写成迭代形式，并分析其收敛条件。 高斯-赛德尔迭代法： 介绍高斯-赛德尔迭代法，它利用了最新的计算结果，通常比雅可比迭代法收敛更快。分析其收敛性。 逐次超松弛（SOR）迭代法： 介绍SOR方法，它通过引入一个松弛因子来加速收敛，并讨论如何选择合适的松弛因子。 收敛性分析： 深入讨论迭代法的收敛条件，如对角占优性等，并介绍判断迭代法收敛性的方法。 实际应用： 演示迭代法在求解大型稀疏线性方程组中的优势，例如在流体力学模拟、电磁场计算等领域。 第四篇：非线性方程的求解——探索未知的根 非线性方程在科学和工程中广泛存在，其求解往往比线性方程更具挑战性。本篇将介绍几种常用的非线性方程求解方法。 第八章：非线性方程的根 引言： 介绍非线性方程的特点及其求解的复杂性。 二分法： 介绍二分法的原理，即通过不断缩小区间来逼近方程的根。分析其收敛速度和鲁棒性。 不动点迭代法： 将非线性方程转化为不动点形式，然后利用迭代法求解。分析其收敛条件。 牛顿-拉夫逊法： 介绍牛顿法的迭代公式，它利用了函数的导数信息，通常具有二次收敛速度。深入分析其收敛性，以及在导数为零或接近零时可能遇到的问题。 割线法： 介绍割线法，它结合了牛顿法和二分法的思想，利用割线斜率来代替导数，从而在不需要计算导数的情况下实现快速收敛。 多根的求解： 讨论如何处理方程存在多个根的情况，以及如何利用不同的起始点来找到不同的根。 实际应用： 演示非线性方程求解在确定材料的屈服点、求解物理模型中的平衡点、以及参数反演等问题中的应用。 结语 数值分析是一门博大精深的学科，本书仅仅是带领读者踏入这个精彩世界的起点。通过对插值、逼近、数值积分、数值微分以及方程组求解等核心内容的学习，读者将能够理解数值计算的强大能力，并具备解决实际工程问题的基本技能。我们鼓励读者在掌握理论知识的基础上，积极动手实践，利用编程语言实现这些算法，并在各种实际场景中进行验证和应用。数值分析的魅力在于其将抽象的数学概念转化为解决现实世界问题的强大工具，而掌握这些工具，将为您的科学探索和工程实践开辟无限可能。
作为一本经典的数值分析教材，这本书的知识体系非常完整。它涵盖了从基本的函数逼近、数值积分、常微分方程的数值解，到更高级的线性方程组的求解、特征值问题的数值计算等一系列重要内容。我尤其欣赏的是它在介绍各种数值方法时，不仅仅是给出了算法的伪代码或者公式，还会分析这些算法的收敛性、稳定性和计算复杂度。这些信息对于我选择和使用合适的数值方法至关重要。有时候，一个算法虽然理论上可行，但在实际应用中可能因为精度问题或者效率问题而不适用，这本书恰恰就在这些方面给了我很好的指导。而且，书中的插图和图示也用得比较恰当，虽然不多，但都是点睛之笔，能够帮助我们直观地理解一些抽象的概念，比如误差的传播，或者迭代方法的收敛过程。