正版 陶哲轩实分析（第3版）华裔天才数学家菲尔兹奖得主陶哲轩20万读者信赖的选择经*实分 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

商品参数

陶哲轩实分析（第3版）
	定价	99.00
	出版社	人民邮电出版社
	出版时间	2018年05月
	开本	小16开
	作者	陶哲轩
	页数	0
	ISBN编码	9787115480255

内容介绍
本书主要介绍了数学分析中的内容，以构造数系和集合论开篇，逐渐深入到级数、函数等高等数学内容，举例详实，每部分内容后的习题与正文内容密切相关，有利于读者掌握所学的内容。本书在附录部分还介绍了数理逻辑基础和十进制，突出了严格性和基础性。

作者介绍
陶哲轩 1975年出生，享誉世界的澳籍华裔天才数学家，智商超过220，被誉为“数学界的莫扎特”。12岁获得国际数学奥林匹克竞赛*牌（这项纪录至今无人打破），2006年获得数学界的诺贝尔奖——菲尔兹奖，2007年当选英国皇*学会会士。曾与本。格林合作解决了2300年前由欧几里得提出的与“孪生质数”相关的猜想，在调和分析、偏微分方程、组合数学、解析数论、算术数论等多个重要数学研究领域都取得了卓*成果。陶哲轩15岁时所著的Solving Mathematical Problems是一本数学解题思路科普书，中文版《陶哲轩教你学数学》已经由人民邮电出版社出版。 李馨 毕业于北京理工大学数学与统计学院，具有多年高等数学、线性代数及概率论授课经验。

关联推荐
经*实分析教材//强调逻辑严谨和分析基础
目录
第 一部分
第 1章 引言 3
第 2章 从头开始：自然数 12
第3章 集合论 28
第4章 整数和有理数 60
第5章 实数 76
第6章 序列的极限 101
第7章 级数 124
第8章 无限集合 147
第9章 R上的连续函数 171
第 10章 函数的微分 204
第 11章 黎曼积分 217
第*部分
第 12章 度量空间 251
第 13章 度量空间上的连续函数 272
第 14章 一致收敛 286
第 15章 幂级数 310
第 16章 傅里叶级数 336
第 17章 多元微分学 352
第 18章 勒贝格测度 381
第 19章 勒贝格积分 401
附录A 数理逻辑基础 421
附录B 十进制 438

《深入理解数学分析：从基础到前沿》 第一部分：数学分析的基石与严谨性构建 本教材旨在为读者构建一套坚实、严谨的数学分析知识体系。我们深知，数学分析作为连接高等数学与更高级抽象数学的桥梁，其核心在于对极限、连续性、收敛性等基本概念的深刻理解和精确把握。因此，本书的开篇将聚焦于基础理论的重塑与深化。 第一章：预备知识与逻辑基础的巩固 在正式进入分析领域之前，我们将首先回顾和强化读者在集合论、逻辑推理以及初等代数领域的基础。重点将放在实数系统的公理化构造，特别是完备性的引入及其在后续理论构建中的关键作用。我们将详细阐述“上确界原理”的意义，并展示如何利用它来证明一些看似直观却需要严格论证的结论。此外，本章将对数学证明的结构和技巧进行细致的讲解，强调归谬法、构造法和数学归纳法的规范应用。 第二章：极限的精细化定义与序列收敛 极限是整个分析学的灵魂。本章将不再满足于微积分初级阶段对极限的直观理解，而是深入到 $epsilon-delta$ 语言的精确应用。我们将通过大量的实例，剖析极限存在的充要条件，并严格证明实数序列的柯西收敛准则。收敛性和有界性之间的关系将被彻底阐明，特别关注单调有界原理在处理无穷序列时的强大威力。本章的难点部分将是处理子序列的概念，并最终引出波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理的证明，揭示有界序列中必然存在收敛子序列的深刻内涵。 第三章：函数序列与函数项级数的一致收敛性 从处理单个序列到处理函数序列，分析的复杂度显著提升。本章的核心议题是“一致收敛”。我们将详细区分逐点收敛与一致收敛的本质差异，并辅以经典的“收敛三角”悖论案例（例如，收敛于不连续函数的连续函数序列），以直观展示一致性在保持函数性质（如连续性、可积性、可微性）上的不可替代性。迪尼定理和魏尔斯特拉斯M检验法将在本章被系统介绍，为后续傅里叶级数等高级应用的铺垫打下坚实基础。 第二部分：微积分的深化与勒贝格积分的初步探讨 本教材的第二部分将把分析工具应用于函数空间，并开始涉足更现代的积分理论。 第四章：连续函数的深入性质与紧致性 本章将对连续函数在特定集合上的性质进行全面考察。紧致集的概念将被引入，并阐述紧致集在 $mathbb{R}^n$ 上的特征（闭和有界）。我们将证明：连续函数将紧集映射到紧集，以及在紧集上，函数的一致收敛性如何保证极限函数的连续性。这些性质对于理解区间套定理的推广形式至关重要。 第五章：黎曼积分的局限性与测度论的萌芽 尽管黎曼积分在经典微积分中占据主导地位，但其对不规则函数处理的无力是我们必须面对的挑战。本章将批判性地分析黎曼积分的不足，例如狄利克雷函数在 $[0, 1]$ 上的不可积性。随后，我们将引入测度论的初步概念——外测度。通过构造性的方法，解释如何从长度的概念扩展到更广泛的可测集。重点在于理解“零测集”的含义，及其在判断函数可积性时的指导作用。 第六章：勒贝格积分的构建与优势 本章将系统地介绍勒贝格积分的理论框架。从定义简单的单调函数积分开始，逐步推广到非负可测函数和一般可测函数。我们将详细比较勒贝格积分与黎曼积分的范围差异，证明所有黎曼可积函数都是勒贝格可积的，并且积分值相同。本章的价值核心在于介绍控制收敛定理（DCT）和单调收敛定理（MCT），这两个定理极大地简化了在函数序列上交换极限与积分顺序的操作，是现代分析学研究的基石。 第三部分：多元分析的向量化与微分理论的拓扑视角 随着维度增加，分析的挑战从“一条线”扩展到“空间”。 第七章：偏导数、方向导数与多变量函数的链式法则 本章将重新审视多元函数的微分概念。我们不仅关注偏导数，更重要的是引入了“全微分”的概念，强调其作为线性近似的本质。链式法则在向量形式下的表达将被严格推导，帮助读者理解其在坐标变换中的几何意义。我们将探讨可微性比偏导数存在性更强的条件。 第八章：隐函数定理、反函数定理与曲面上的微分 这是多元分析中最具应用价值的部分。隐函数定理和反函数定理将被置于雅可比矩阵行列式的视角下进行深入剖析。我们将详尽阐述这些定理的几何直观（例如，局部可逆性），并提供严格的证明框架。最后，本章将开始将微分概念推广到微分流形之前的初步阶段，引入隐式曲面上的梯度和方向导数计算。 第九章：多重积分与变量替换 本章聚焦于二重、三重积分的计算技巧。重点在于理解区域的描述以及坐标系变换（极坐标、柱坐标、球坐标）背后的积分因子——雅可比行列式。我们将深入探讨在非矩形区域上进行积分的可行性，并结合测度论的知识，确保变量替换过程的严谨性。 第十篇：线积分、面积分与基本定理的推广 本部分将分析工具提升到向量场的高度。我们将定义向量场上的线积分和面积分。格林公式、斯托克斯公式和高斯散度定理（牛顿-莱布尼茨公式在二维和三维空间中的推广）将被系统地推导和应用。本章的精髓在于揭示这些看似不同的公式背后统一的拓扑结构和边界积分关系。 结语 本书力求在严谨性、完整性与清晰度之间取得平衡，引导读者超越纯粹的计算层面，真正掌握数学分析的思维方式。它不仅是为数学专业学生准备的入门教材，也是希望重拾分析学精髓、展望更高深数学领域的科学工作者和工程师的理想读物。通过对这些核心概念的精细打磨，读者将具备应对实分析、泛函分析乃至微分几何挑战的坚实基础。