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数学分析原理

          英文版·第3版              

作 者：[美]著

出 版 社：

出版时间：2004-1-1

• 版 次：1版1次
• 页 数：342
• 印刷时间：2004-1-1
• 纸 张：胶版纸
• I S B N：9787111133063
• 包 装：平装
• 定价：35.00元

这是一部近代的数学名著，一直受到数学界的推崇。作为Rudin的分析学经典著作之一，本书在西方各国乃至我国均有着广泛而深远的影响，被许多高校用做数学分析课的必选教材。本书涵盖了高等微积分学的丰富内容，精彩的部分集中在基础拓扑结构、函数项序列与级数、多变量函数以及微分形式的积分等章节。第3版经过增删与修订，更加符合学生的阅读习惯与思考方式。本书内容相当精练，结构简单明了，这也是作者著作的一大特色。与其说这是一部教科书，不如说这是一部字典。

这是一部近代的数学名著，一直受到数学界的推崇。作为Rudin的分析学经典著作之一，本书在西方各国乃至我国均有着广泛而深远的影响，被许多高校用做数学分析课的必选教材。本书涵盖了高等微积分学的丰富内容，精彩的部分集中在基础拓扑结构、函数项序列与级数、多变量函数以及微分形式的积分等章节。第3版经过增删与修订，更加符合学生的阅读习惯与思考方式。本书内容相当精练，结构简单明了，这也是作者著作的一大特色。与其说这是一部教科书，不如说这是一部字典。

Walter Rudin，1953年于杜克大学获得数学博士学位。曾先后执教于麻省理工学院、罗切斯特大学、威斯康星大学麦迪逊分校、耶鲁大学等。他的主要研究兴趣集中在调和分析和复变函数。除本书外，他还著有另外两本名著：《Functional Analysis》和《Real and Complex Analysis》，这些教材已被翻译成13种语言，在世界各地广泛使用。

Preface
Chapter 1 The Real and Complex Number Systems
Chapter 2 Basic Topology
Chapter 3 Numerical Sequences and Series
Chapter 4 Continuity
Chapter 5 Differentiation
Chapter 6 The Riemann-Stieltjes Integral
Chapter 7 Sequences and Series of Functions
Chapter 8 Some Specital Functions
Chapter 9 Functions of Several Variables
Chapter 10 Integration of Differential Forms
Chapter 11 The Lebesgue Theory
Bibiliography
List of Special Symbols
Index

 

现代分析导论：从基础概念到高级理论 内容概要 本书旨在为数学专业本科生及研究生提供一套严谨、深入且富有启发性的现代数学分析课程的教材。全书结构清晰，逻辑严密，内容涵盖了从最基本的实数系统到高等拓扑空间理论的广阔领域。它不仅注重对经典分析学概念的精确阐述，更着力于将分析学置于更宏大的现代数学结构（如集合论、拓扑学）的背景下进行考察，培养读者进行严格数学论证的能力和深刻的数学直觉。 第一部分：实数系统与基础 本书的开篇聚焦于构建现代分析学的基石——实数系统 ($mathbb{R}$)。我们不会将实数视为理所当然的已知对象，而是从皮亚诺公理出发，在有理数域 ($mathbb{Q}$) 上，通过戴德金截割 (Dedekind Cuts) 或 Cauchy 序列完备性 的方法严格构造出实数集。此过程详尽地展示了数学的严谨性，并为后续所有基于顺序和距离的讨论奠定了坚实的基础。 随后，内容转向对拓扑基础的引入。我们首先在 $mathbb{R}^n$ 上定义开集、闭集、邻域、极限点和紧集。对紧集的深刻理解，特别是 Heine-Borel 定理的证明，是后续收敛性和连续性定理的必要前提。我们强调了集合的“局部性质”与“全局性质”之间的联系，这是现代数学分析区别于初等微积分的关键所在。 在讨论完拓扑结构后，本书回归到函数分析的起点：序列与级数的收敛性。我们将深入探讨 Cauchy 收敛准则，并详细分析各种重要序列（如幂级数、傅立叶级数的部分和）的敛散性。对级数收敛性的讨论，不仅限于绝对收敛和条件收敛，更引入了更强大的工具，例如 Abel 变换（分部求和）和 Dirichlet 判别法，用以处理更复杂的交替序列和振荡级数。 第二部分：连续性、微分与积分 本部分是分析学的心脏，对经典微积分的概念进行了严格的重构和推广。 连续性与一致连续性： 我们严格区分了点态连续性和一致连续性 (Uniform Continuity)。通过反例和构造性证明，展示了后者在交换极限与函数运算（如求导或积分）中的核心作用。狄利克雷函数和波雷尔函数被用作说明这些概念差异的经典案例。 微分学： 导数的定义被提升到了一般向量空间（或欧几里得空间）的背景下进行考察。我们详细分析了导数的保号性、中值定理（如罗尔定理、拉格朗日中值定理）的严谨证明。进阶内容包括高阶导数的定义，以及Taylor 定理在函数逼近中的关键作用。我们特别关注了 $C^k$ 空间的结构，并引入了反函数定理 (Inverse Function Theorem) 和隐函数定理 (Implicit Function Theorem)，这些是处理微分方程和多元函数局部性质的强大工具。 黎曼积分： 黎曼积分的构造被细致地分解，从上和、下和的定义到可积性的判别准则（如勒贝格可测集的初步概念，尽管此处仍以黎曼和为主）。我们证明了连续函数在紧区间上一定可积，并深入探讨了一致收敛与积分的可交换性这一核心问题，这直接导向了傅立叶分析的收敛性讨论。 第三部分：序列、函数空间与度量 本部分将分析学的对象从 $mathbb{R}$ 上的实值函数扩展到更一般的函数空间，引入了现代泛函分析的视角。 等度连续性与紧性： 我们重新审视了紧集的概念，并将其推广到函数空间。Ascoli-Arzelà 定理被作为核心定理详细阐述，它为判断函数序列是否包含一个一致收敛的子序列提供了强有力的工具。这一定理是证明许多存在性定理（如常微分方程的解的存在性）的关键桥梁。 度量空间 (Metric Spaces)： 为了将 $mathbb{R}^n$ 上的距离概念抽象化，本书系统地介绍了度量空间。在这个框架下，我们重新定义了开集、闭集、完备性、收敛性、开/闭映射。完备性的概念得到了极大的强调，例如巴拿赫不动点定理（Contraction Mapping Theorem）的应用，它不仅是理论上的里程碑，也是数值分析中迭代法收敛性的理论基础。 赋范空间与拓扑： 在完备的度量空间基础上，我们引入了赋范空间 (Normed Spaces)，这是向量空间与拓扑结构相结合的产物。虽然不深入无限维线性代数，但本书为读者理解 $L^p$ 空间、Banach 空间等概念提供了必要的预备知识。 第四部分：勒贝格测度与积分（选读或深入章节） 本部分对分析学的工具箱进行了根本性的升级，引入了二十世纪数学分析的标志性成就——勒贝格积分。 测度论基础： 我们从 $mathbb{R}$ 上的长度概念出发，构建了 $sigma$-代数和测度的抽象框架。外测度的概念被用来定义可测集，并最终构造出勒贝格测度。这一构造过程展现了数学家如何通过精妙的集合论操作来克服黎曼积分在处理不规则函数时的局限性。 勒贝格积分： 基于可测函数和简单函数，我们定义了勒贝格积分。本书将清晰地阐明勒贝格积分相较于黎曼积分的优越性，特别是在处理极限和积分顺序交换问题上。我们将详尽分析单调收敛定理 (MCT)、法图引理 (Fatou's Lemma) 和勒贝格控制收敛定理 (LCT)，这些定理是现代概率论和偏微分方程分析中不可或缺的工具。 总结与特点 本书的特点在于其对结构和证明的强调。它不仅是“如何计算”的指南，更是“为何如此”的探究。通过对抽象结构的逐步引入和对经典结果的重新审视，读者将能够构建起一个统一的、坚实的现代分析学知识体系，为未来深入研究泛函分析、微分几何或偏微分方程打下坚实的基础。语言力求精确而流畅，配有大量的例题和习题，以巩固理论理解和训练严谨的数学思维。