陶哲轩实分析(第3版) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

作  者:(澳)陶哲轩(Terence Tao) 著；李馨 译 定  价:99 出 版 社:人民邮电出版社 出版日期:2018年05月01日 页  数:443 装  帧:平装 ISBN:9787115480255 ●部分
●第1章引言3
●第2章从头开始：自然数12
●第3章集合论28
●第4章整数和有理数60
●第5章实数76
●第6章序列的极限101
●第7章级数124
●第8章无限集合147
●第9章R上的连续函数171
●第10章函数的微分204
●第11章黎曼积分217
●第二部分
●第12章度量空间251
●第13章度量空间上的连续函数272
●第14章一致收敛286
●第15章幂级数310
●第16章傅里叶级数336
●第17章多元微分学352
●第18章勒贝格测度381
●部分目录

内容简介

本书主要介绍了数学分析中的内容，以构造数系和集合论开篇，逐渐深入到级数、函数等高等数学内容，举例详实，每部分内容后的习题与正文内容密切相关，有利于读者掌握所学的内容。本书在附录部分还介绍了数理逻辑基础和十进制，突出了严格性和基础性。 (澳)陶哲轩(Terence Tao) 著；李馨 译 陶哲轩，1975年出生，享誉世界的澳籍华裔天才数学家，智商超过220，被誉为“数学界的莫扎特”。12岁获得靠前数学奥林匹克竞赛品牌（这项纪录至今无人打破），2006年获得数学界的诺贝尔奖——菲尔兹奖，2007年当选英国皇家学会会士。曾与本。格林合作解决了2300年前由欧几里得提出的与“孪生质数”相关的猜想，在调和分析、偏微分方程、组合数学、解析数论、算术数论等多个重要数学研究领域都取得了杰出成果。陶哲轩15岁时所著的Solving Mathematical Problems是一本数学解题思路科普书，中文版《陶哲轩教你学数学》已经由人民邮电出版社出版。
李馨，毕业于北等

深度解析分析学：从严谨到直观的数学桥梁 分析学，作为现代数学的基石之一，以其对无限、连续、极限等概念的深刻洞察，构建了一座连接离散世界与连续世界、直观想象与严谨证明的宏伟桥梁。它不仅是高等数学中不可或缺的一环，更是物理学、工程学、经济学乃至计算机科学等诸多领域展开深入研究和创新的重要工具。本书旨在带领读者踏上这场探索分析学核心思想的旅程，从最基础的公理体系出发，逐步构建起严谨的数学框架，并揭示其中蕴含的深刻直观意义。 第一章：实数系的基石——构建连续世界的基石 一切分析学的大厦都建立在坚实的实数系之上。本章将从公理化出发，详细阐述实数集 $mathbb{R}$ 的代数公理和序公理。我们将深入理解这些公理如何保证了实数系的完备性，特别是通过戴德金分割或柯西序列的完备化等方式，证明了无理数的“存在性”和“唯一性”。这并非简单的定义，而是理解连续性概念的关键。我们将探讨集合论中的一些基本概念，如开集、闭集、区间、上确界和下确界，这些都是理解后续实数性质的必备工具。例如，单调有界定理，作为实数系完备性的直接体现，将贯穿整个分析学的学习过程，成为许多重要结论的推导起点。本章将避免泛泛而谈，而是通过具体的例子和证明，让读者体会到构建一个严谨数学体系的必要性与精妙之处。 第二章：序列与极限——动态过程的静止刻画 极限是分析学的灵魂。本章将聚焦于数列的收敛与发散，这是理解函数极限的基础。我们将精确定义数列的极限，并深入探讨收敛数列的性质，如有界性、唯一性以及四则运算的性质。ε-δ语言将在此被引入，作为刻画极限的严谨工具，引导读者体会“无限接近”在数学上的精确含义。我们将学习如何利用ε-δ语言来证明极限的存在性，以及如何处理一些典型的序列，例如几何数列、调和数列等。本章还将初步接触级数收敛的概念，为后续更复杂的无穷求和打下基础。通过对这些基本概念的深入理解，读者将能够理性地分析数学中的动态过程，并对其稳定性、趋向性做出准确判断。 第三章：函数与极限——连续性的探索 在扎实掌握了数列极限的基础上，本章将把焦点转向函数。我们将对函数的极限进行严格的定义，并进一步探讨左极限、右极限以及无穷远处的极限。 ε-δ语言将再次发挥其关键作用，帮助我们区分“直观上的接近”与“数学上的严谨”。我们将深入研究连续函数的概念，理解连续性在不同点和区间上的性质。夹逼定理、单调收敛定理等在函数极限中的应用也将得到详细阐述。本章还将介绍一些重要的初等函数，如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等，并探讨它们的极限和连续性性质。理解函数极限与连续性，是进一步学习微分学和积分学的关键，也是理解许多现实世界中变化的数学模型的基础。 第四章：微分学——变化率的精确度量 变化是世界不变的主题，而微分学正是刻画这种变化的数学语言。本章将严谨地定义函数的导数，将其视为函数在某一点的变化率或切线斜率。我们将深入探讨导数的几何意义和物理意义，例如瞬时速度、加速度等。通过各种求导法则，我们将掌握计算复杂函数导数的方法，包括链式法则、乘积法则、商法则等。本章还将重点介绍高阶导数及其应用，以及导数在判断函数单调性、凹凸性、寻找极值等方面的作用。中值定理，如拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，将在此被详细阐述和证明，它们揭示了函数在区间上取值的规律，是许多微积分定理的核心。通过本章的学习，读者将能够精确地描述和分析事物的变化规律，为解决优化问题、近似计算等问题奠定坚实基础。 第五章：积分学——累积效应的宏观把握 如果说微分学关注的是“局部”的变化，那么积分学则着眼于“整体”的累积。本章将引入黎曼积分的概念，并详细阐述其定义、性质以及可积的条件。我们将通过分割、逼近等手段，理解定积分如何表示函数曲线下的面积、体积等几何量，以及在物理学中代表功、路程等累积量。微积分基本定理，作为微分学与积分学之间的桥梁，将得到详尽的证明和阐释，揭示了积分与微分之间的深刻联系，极大地简化了定积分的计算。本章还将介绍不定积分，即原函数，以及一些常用的积分技巧，如换元积分法、分部积分法等。通过积分学的学习，读者将能够处理累积效应问题，计算面积、体积、弧长、功等，并为理解概率论、微分方程等更高级的数学分支做好准备。 第六章：序列与级数——无穷的深入探索 在掌握了函数极限和积分的基础上，本章将把目光投向无穷序列和无穷级数。我们将深入研究无穷级数的收敛性判别方法，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、审敛法等。交错级数的收敛性以及绝对收敛与条件收敛的区别也将被清晰阐述。幂级数作为一种特殊的函数级数，其收敛域的确定及其与函数之间的关系将是本章的重点。我们将学习如何利用泰勒级数将函数展开成幂级数，从而实现函数的表示、计算和分析。这些工具不仅在理论上至关重要，在实际应用中，例如数值计算、信号处理等领域，也扮演着不可或缺的角色。通过对无穷序列与级数的深入理解，我们将能够更有效地处理和表示复杂的数学对象，并揭示它们在无穷尺度下的规律。 第七章：多元函数分析——走向更高维度的世界 本章将带领读者走出二维平面，进入更高维度的空间，探索多元函数的分析学。我们将对多元函数进行极限和连续性的定义，并引入偏导数和方向导数的概念，用以刻画函数在不同方向上的变化率。梯度、散度和旋度等向量算子将得到介绍，它们是描述向量场性质的关键工具。隐函数定理和反函数定理将在此被揭示，它们为解决更复杂的方程组和函数关系提供了强大的理论支持。本章还将引入重积分的概念，包括二重积分和三重积分，并探讨其计算方法，例如通过坐标变换（如极坐标、柱坐标、球坐标）来简化计算。高阶偏导数、泰勒公式在多元函数中的推广，以及极值问题的求解也将得到深入讨论。多元函数分析是理解物理学中的场论、流体力学、电磁学等领域的基础，也是进行多变量优化和复杂系统建模的必要前提。 结论：分析学的力量与未来 分析学不仅仅是一门纯粹的数学学科，它是一种思维方式，一种严谨的分析工具，一种理解世界变化规律的语言。本书从最基础的实数系出发，逐步构建了数列、函数、导数、积分等核心概念，并最终拓展到多元函数和无穷级数。我们始终强调严谨的证明和深刻的直观理解相结合，力求让读者不仅掌握计算技巧，更能领会其中蕴含的数学思想。分析学的发展从未停止，它与拓扑学、微分几何、泛函分析等诸多分支紧密相连，不断拓展着数学的边界。掌握了分析学，便拥有了一把开启现代科学大门的钥匙，能够更深入地理解和解决现实世界中的各种挑战。希望本书能为读者提供一条清晰而深入的学习路径，激发对分析学的持久兴趣，并为未来更广阔的数学探索之旅奠定坚实的基础。