數學中的小問題大定理係列叢書.XX輯拉剋斯定理和阿廷定理:從一拉剋斯定理和阿廷定理 從一道 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

基本信息

商品名稱：	數學中的小問題大定理係列叢書.XX輯拉剋斯定理和阿廷定理:從一拉剋斯定理和阿廷定理 從一道IMO試題的解法談起(17)	開本：
作者：	戴執中 等	頁數：
定價：	58.00元	齣版時間：	2014-01-01
ISBN號：	9787560340159	印刷時間：
齣版社：	哈爾濱工業大學齣版社	版次：	1
商品類型：		印次：

插圖目錄內容提要《拉剋斯定理和阿廷定理--從一道IMO試題的解 法談起》(作者戴執中、佩捷)是“數學中的小問題大 定理”之一，通過一道IMO試 題研究討論拉剋斯定理和阿廷定理，並著重介紹瞭希 爾伯特第 十七問題。
《拉剋斯定理和阿廷定理--從一道IMO試題的解 法談起》可供從事這一數學分支或相關學科的數學工 作者、大 學生以及數學愛好者研讀。

編輯推薦作者介紹

數學中的小問題大定理係列叢書 · 導讀 叢書總覽： “數學中的小問題大定理係列叢書”緻力於將深奧的數學理論與引人入勝的實際問題巧妙地結閤起來。本係列旨在引導讀者從看似簡單、直觀的數學現象入手，逐步深入到深刻的數學定理和廣泛的應用領域。我們相信，偉大的數學發現往往源於對日常生活中“小問題”的執著探究。本叢書的每一輯都將聚焦於一個或一組緊密關聯的核心數學概念，用清晰的邏輯、豐富的實例和精確的推導，構建起從基礎認知到前沿理解的完整階梯。本係列的目標讀者群體廣泛，包括對數學有濃厚興趣的愛好者、大學本科生、研究生，以及需要迴顧和深化基礎知識的專業人士。 本期導讀（非拉剋斯定理和阿廷定理相關內容）： 本輯叢書（假設該輯的主題為代數拓撲與流形基礎）將帶領讀者進入一個充滿幾何直覺和代數工具的奇妙世界——代數拓撲與微分流形的基礎概念。我們將從最直觀的幾何對象入手，探尋如何在代數語言下描述這些對象的拓撲性質，並為深入研究高維空間和光滑變換打下堅實的基礎。 第一部分：拓撲空間與連續性 本部分著眼於抽象拓撲學的基石。我們首先要超越歐幾裏得空間的限製，理解“鄰域”、“開集”、“閉集”這些基本概念在任意集閤上如何定義。 1. 度量空間迴顧與泛化： 在引入拓撲空間之前，我們首先迴顧和強化瞭度量空間（Metric Spaces）的概念。如何用距離函數來定義收斂性和開閉性？我們將通過非標準度量（如離散度量、$L^p$ 度量在有限維空間中的錶現）來展示度量空間的直觀性。 2. 拓撲空間的構造： 拓撲學的核心在於“結構”而非“距離”。我們將詳細探討如何通過指定一組開集來定義一個拓撲結構。重點分析瞭子空間拓撲、商拓撲和積拓撲的構造方法及其性質。例如，我們將討論“無限連通的”拓撲空間如何通過商拓撲變成一個緊湊的結構。 3. 連續性的抽象定義與特性： 在拓撲空間中，連續函數是如何定義的？本節將深入探究“原像下保持開集”這一核心定義，並將其與度量空間中的 $epsilon-delta$ 定義進行對比和統一。我們將分析函數的開閉映射性、開閉集的傳遞性。 4. 拓撲不變量：連通性與緊緻性： 連通性（Connectedness）是衡量空間“一塊”程度的關鍵指標，我們將區分路徑連通與一般連通。緊緻性（Compactness）作為拓撲學中最強大的性質之一，其定義（開復蓋的有限子集存在性）的威力將在本節得到充分展示，特彆是海涅-博雷爾定理（Heine-Borel Theorem）在 $mathbb{R}^n$ 上的應用，以及在抽象拓撲空間中對緊緻性的替代概念（如局部緊緻性）。 第二部分：同倫與基本群 本部分將開始將代數工具引入幾何研究，重點關注描述空間中“洞”的拓撲不變量。 1. 路徑與同倫的概念： 路徑（Paths）是連接空間中兩點的連續變形。我們將定義路徑的乘法和逆運算，並在此基礎上建立“同倫”的概念——即一個路徑如何連續地形變成另一個路徑。我們將討論路徑的端點如何影響同倫類。 2. 基本群（Fundamental Group）： 選取空間中一個基點 $x_0$，所有以 $x_0$ 為起點和終點的閉閤路徑的同倫類構成瞭一個群，即基本群 $pi_1(X, x_0)$。我們將詳細計算 $mathbb{R}^n$（除一點外）和圓周 $S^1$ 的基本群。圓周的基本群 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$ 的計算將是本節的重頭戲，它直觀地揭示瞭“纏繞數”的概念。 3. 覆蓋空間與萬有單連通性： 介紹覆蓋映射（Covering Maps）的概念，這是理解基本群結構的關鍵橋梁。我們將論證，若空間是局部簡單連通的，則其基本群的結構與其覆蓋空間的性質密切相關。特彆地，我們將探討 $S^n$ （$n ge 2$）的單連通性（即 $pi_1(S^n) = {e}$）是如何通過覆蓋空間理論被證明的。 4. 萬有覆蓋空間： 每一個路徑連通的豪斯多夫空間 $X$ 都存在一個“萬有覆蓋空間” $ ilde{X}$，其基本群是平凡群。我們將探討 $ ilde{X}$ 如何通過集閤所有可能提升（Lifting）的路徑來構造，以及它與原空間 $X$ 的關係。 第三部分：流形基礎與切空間 本部分從抽象拓撲轉嚮微分幾何的起點——光滑流形，這是現代物理學和幾何學中描述彎麯空間的基本框架。 1. 拓撲流形的定義： 什麼是 $n$ 維流形？它是在局部看起來像 $mathbb{R}^n$ 的拓撲空間。我們將嚴格定義“圖冊”（Atlas）和“坐標變換圖”（Transition Maps）。重點強調坐標變換圖必須是微分同胚（Diffeomorphic）的要求。 2. 光滑結構與微分同胚： 引入微分結構（Smooth Structure），即要求坐標變換是光滑的。我們將探討一個拓撲流形上可以存在多個不同的光滑結構（即非微分同胚但拓撲同胚），盡管在低維空間（如 $mathbb{R}^4$ 以外的維度）中，這一點往往不明顯。 3. 切空間（Tangent Space）的引入： 流形上的“微分”運算需要一個局部綫性化的工具，這就是切空間。我們將從三個等價的角度來定義切空間 $T_pM$： 可微麯綫族視角： 沿著通過 $p$ 的所有光滑麯綫的切嚮量構成的空間。 方嚮導數視角： 作用於流形上光滑函數的所有綫性導子（Derivations）構成的嚮量空間。 綫性泛函空間視角： 基於對函數空間的綫性操作。 4. 嚮量場與微分形式： 在所有切空間上選定一個連續的嚮量，便構成瞭嚮量場。我們將介紹微分形式（Differential Forms）的概念，它們是切空間的對偶空間上的光滑函數，為積分和微分方程在綫性流形上的推廣做準備。 本輯總結： 本輯內容旨在提供一個堅實的分析和幾何基礎。通過對拓撲不變性的代數捕捉（基本群），以及對微分幾何研究工具的初步構建（流形與切空間），讀者將能以全新的視角審視傳統的幾何問題，並為後續深入探索微分拓撲、黎曼幾何乃至廣義相對論等領域打下必要的概念基礎。我們將力求在嚴謹性與直觀性之間找到完美的平衡點。