分形分析引论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

内容简介

　　本书介绍分形集及其分析，主要包括三部分内容。第一部分介绍各种各样常见的分形集，如自相似集（包括pcf集）、随机分形、Julia集和Mandelbrot集，同时也介绍反问题、拼贴定理、L-系统。该部分所涉及的理论很少，主要是压缩映像原理。所有分形图像都是利用Matlab程序实现，每个图像后面都附上Matlab代码。第二部分介绍研究分形集几何性质所常用概念，如Hausdorff测度、自相似测度和Hausdorff维数，同时给出一类常见分形集Hausdorff维数的计算方法，该部分所涉及的理论主要是测度论的基本知识。第三部分介绍分形集上的分析，如Sierpinski垫上狄氏型构造、定义域刻画以及对应的热核估计等，该部分所涉数学理论知识较多，但不超出数学系研究生范围。本书前两部分内容可作为初学者或工程专业人士参考，第三部分内容主要面向数学系高年级本科生、研究生或相关专业人士。

内页插图

目录

《现代数学基础丛书》序
前言
符号说明
第1章 自相似集
1．1 压缩映像原理
1．2 Hausdorff度量
1．3 自相似集
1．4 自相似集的例子
1．4．1 自相似集的例子
1．4．2 自仿集的例子
1．4．3 后临界有限自相似集
1．5 Karl Weierstrass和Georg Cantor简介
1．6 练习题

第2章 分形
2．1 羊齿叶
2．2 树
2．3 花边图案和花环
2．4 Koch曲线
2．5 渗流丛
2．6 分形与确定分形
2．7 练习题

第3章 Julia集、Mandelbrot集和反问题
3．1 Julia集
3．2 Mandelbrot集
3．3 拼贴定理及反问题
3．4 Beno*t Mandelbrot和Gaston Julia简介
3．5 练习题

第4章 L—系统
4．1 不含X，Y的确定L—系统
4．2 含X，Y的确定L—系统
4．3 含中括弧的确定L—系统
4．4 含其他字母的确定L—系统
4．5 L—系统
4．6 练习题

第5章 Hausdorff测度和Hausdorff维数
5．1 测度
5．2 自相似测度
5．3 Hausdorff测度
5．4 Hausdorff维数
5．5 Hausdorff维数的计算
5．6 Felix Hausdorff和Waclaw Sierpiński简介
5．7 练习题

第6章 热半群和狄氏型
6．1 自伴算子和谱分解
6．2 半群
6．3 热半群
6．4 狄氏型
6．5 Lejeune Dirichlet简介
6．6 练习题

第7章 Sierpiński垫上的狄氏型
7．1 Sierpiński垫上狄氏型的构造
7．2 调和函数
7．3 有效阻抗
7．4 Green函数
7．5 Laplace算子
7．6 练习题

第8章 Sierpiński垫上狄氏型定义域的刻画
8．1 度量空间上Sobolev型空间
8．2 狄氏型定义域的刻画
8．3 练习题

第9章 热核理论
9．1 热核的定义
9．2 热核估计的意义
9．2．1 测度的正则性
9．2．2 热核的狄氏型
9．3 从属热核
9．3．1 卷积半群和从属热核
9．3．2 Laplace变换
9．3．3 完全单调函数
9．3．4 Bernstein函数
9．4 从属热核的估计
9．5 练习题

第10章 Sierpiński垫上的热核估计
10．1 抛物极大值原理
10．2 半群的超压缩性
10．3 Sierpiński垫上热核上界估计
10．3．1 热核上对角估计
10．3．2 Poisson型方程
10．3．3 PBt1B估计
10．3．4 尾部Pt1Bc的指数估计
10．3．5 热核非对角上界估计
10．4 Sierpiński垫上热核下界估计
10．4．1 下对角估计
10．4．2 近似下对角估计
10．4．3 非对角下界估计
10．5 练习题

参考文献
索引
《现代数学基础丛书》已出版书目

前言/序言

　　对于数学研究与培养青年数学人才而言，书籍与期刊起着特殊重要的作用。许多成就卓越的数学家在青年时代都曾钻研或参考过一些优秀书籍，从中汲取营养，获得教益。
　　20世纪70年代后期，我国的数学研究与数学书刊的出版由于文化大革命的浩劫已经破坏与中断了10余年，而在这期间国际上数学研究却在迅猛地发展着。1978年以后，我国青年学子重新获得了学习、钻研与深造的机会。当时他们的参考书籍大多还是50年代甚至更早期的著述。据此，科学出版社陆续推出了多套数学丛书，其中《纯粹数学与应用数学专著》丛书与《现代数学基础丛书》更为突出，前者出版约40卷，后者则逾80卷。它们质量甚高，影响颇大，对我国数学研究、交流与人才培养发挥了显著效用。
　　《现代数学基础丛书》的宗旨是面向大学数学专业的高年级学生、研究生以及青年学者，针对一些重要的数学领域与研究方向，作较系统的介绍。既注意该领域的基础知识，又反映其新发展，力求深入浅出，简明扼要，注重创新。
　　近年来，数学在各门科学、高新技术、经济、管理等方面取得了更加广泛与深入的应用，还形成了一些交叉学科。我们希望这套丛书的内容由基础数学拓展到应用数学、计算数学以及数学交叉学科的各个领域。
　　这套丛书得到了许多数学家长期的大力支持，编辑人员也为其付出了艰辛的劳动。它获得了广大读者的喜爱。我们诚挚地希望大家更加关心与支持它的发展，使它越办越好，为我国数学研究与教育水平的进一步提高做出贡献。

好的，这是一份关于《分形几何基础》的图书简介： --- 《分形几何基础》图书简介 探索无限复杂性的数学之美 在二十世纪下半叶，随着计算机图形学和复杂系统研究的兴起，一种全新的数学分支——分形几何，以前所未有的力量和魅力进入了科学和艺术的视野。传统欧几里得几何擅长描述规则、平滑的形态，如直线、圆和立方体。然而，大自然中绝大多数的结构——从海岸线的曲折到树枝的分叉，从闪电的路径到云朵的边缘——都充满了粗糙、不规则和自相似的特征。正是为了解析这些“分形的”世界，《分形几何基础》应运而生。 本书旨在为读者提供一个全面、深入且易于理解的分形几何学入门。它不仅仅是一本理论教材，更是一扇通往复杂性科学核心的窗口。我们摒弃了过度依赖高级微积分的繁琐推导，转而采用一种更直观、更注重概念构建和几何直觉的教学方法，确保对数学背景要求不高的读者也能有效掌握核心概念。 核心内容概览： 第一部分：从欧几里得到分形——概念的奠基 本部分首先回顾了欧几里得几何的局限性，并引入了关键的先驱思想，特别是本华·曼德博（Benoit Mandelbrot）的革命性观点。我们详细探讨了自相似性（Self-Similarity）这一分形几何的基石概念，并通过经典的构造实例，如柯赫雪花（Koch Snowflake）和谢尔宾斯基三角形（Sierpinski Gasket），直观展示了如何通过迭代过程生成具有无限细节的结构。 重点章节将深入解析豪斯多夫维数（Hausdorff Dimension），这是分形几何区别于拓扑维数的关键所在。我们不再满足于整数维度的描述，而是展示如何使用分数维度来精确量化一个集合的复杂程度和填充空间的能力。通过计算简单的迭代函数系统（IFS）的豪斯多夫维数，读者将建立起对“分数维”的深刻理解。 第二部分：构造、迭代与吸引子 分形世界的生成往往依赖于重复的、有规律的变换。本书的第二部分聚焦于迭代函数系统（Iterated Function Systems, IFS）。我们将详尽介绍合同映射的原理，以及如何利用这些映射来精确地“绘制”出自然界中常见的复杂形态。我们不仅讨论如何从给定的分形构造出IFS，更重要的是，如何利用逆向工程的思想，从一组IFS规则推导出其最终的吸引子——即分形图形本身。 此外，我们还引入了林登梅耶系统（L-Systems），这是一种强大的形式语言工具，特别适用于模拟植物的生长发育过程。通过定义简单的重写规则，读者可以清晰地看到生物形态的层次结构是如何从底层算法中涌现出来的。 第三部分：经典分形的深入探究 本部分是本书的核心理论部分，详细剖析了几个具有里程碑意义的分形集。 曼德博集合（Mandelbrot Set）： 我们将从复数动力学的角度出发，详细解释复二次多项式的迭代过程。通过对迭代轨迹的分析，读者将理解曼德博集合的边界如何精确地界定了有界和无界行为之间的界限，并揭示其内部结构中隐藏的无限复杂性。 朱利亚集合（Julia Sets）： 与曼德博集合紧密相关，本书将解释朱利亚集合如何作为特定参数下的“轨道”快照，展示不同初始点在复平面上的命运。 为了便于理解这些复杂集合的边界性质，我们引入了共形不变性的概念，解释了为何分形边界的局部结构总是与整体结构相似。 第四部分：分形在真实世界中的应用 分形几何并非纯粹的数学抽象，它是一把解密自然现象的钥匙。本部分将讨论分形理论在多个学科中的实际应用： 物理学与材料科学： 探讨如何使用分形模型来描述多孔介质的结构、界面扩散过程（如DLA模型）以及材料的粗糙表面特性。 信息技术： 介绍分形压缩的原理，解释如何利用自相似性来高效地编码图像数据。 自然界模拟： 阐述如何利用分形算法生成逼真的地形、云层和植被，这对于计算机图形学和虚拟现实至关重要。 学习目标与受众： 本书面向高等院校的数学、物理、计算机科学、工程学及地理信息系统等专业的本科生及研究生，以及对复杂系统和非线性科学感兴趣的自学者。通过对本书的系统学习，读者将： 1. 掌握分形几何的基本术语和核心概念，特别是豪斯多夫维数的计算方法。 2. 理解通过迭代过程生成复杂结构的数学机制（IFS和L-Systems）。 3. 能够识别和分析经典分形（如曼德博集合）的拓扑和几何特征。 4. 具备运用分形思维来分析和建模现实世界中不规则现象的能力。 《分形几何基础》以严谨的数学逻辑为骨架，以丰富的直观几何实例为血肉，旨在为渴望深入理解复杂性数学语言的读者，提供一条清晰、富有启发性的探索之路。翻开本书，您将进入一个充满奇迹和秩序的、超越传统几何学的全新世界。 ---