　乔·博勒（Jo Boaler），斯坦福大学数学教育专业教授，www.youcubed.org创始人。曾任英国苏塞克斯大学居里夫人学院数学教育学专业教授，伦敦国王学院研究员。她常年担任美国和英国大型刊物及电视频道特约撰稿人，其中包括《华尔街日报》和《时代周刊》（伦敦版）。其研究成果被广泛刊载于各国学术期刊、报纸。她曾因在"数学教育领域的卓越贡献"而受邀赴美国白宫发表演讲，并应邀担任国际经合组织国际孩子评估项目顾问。

内页插图

精彩书摘

《这才是数学》

　　“什么是数学？”在我开展诸多有关教育的调查研究中，我每次都会询问那些接受过传统教育的学生这个问题。他们的回答多半是：“数字运算”或是“一堆定理”。而当我把这个问题抛给数学家时，他们多半会回答：数学是一种“研究方法”或者一套“思想体系”。学生们在谈到其他学科时，比如英语课和科技课，他们所理解的学科核心内容与常年从事该领域研究的专业人士所持观点基本一致。那么为何学生与数学家对数学这门学科的认知反差如此之大呢？学生们又是如何形成了如此偏离于数学学科本质的认知呢？

　　著名的哲学家和数学家Reuben Hersh曾写过一本名为《数学是什么，真的是这样吗？》的著作。在这本书中他探寻了数学的真正核心，并得到了一个重要观点：人们之所以不喜欢数学，很大程度上是由于课堂教学对于数学本来面目的歪曲。数百万美国人在学校学习数学时使用的都是极其缺乏学科内涵的数学教材，这使得人们在课堂对于数学的认识，与生活及工作中所接触的数学大相径庭，与数学家们所追求的数学比较的话更是相去甚远。

　　什么是数学，真的是这样吗？

　　数学可以定义为“描述人类活动、刻画社会现象、解释现实世界并勾勒出未来发展趋势的一种量化方法”，是我们人类文明重要的一部分。在著名作家Dan Brown的畅销小说《达·芬奇密码》中，作者谈到了关于“黄金分割率”方面的知识，这一比率通常用希腊字母φ表示。“黄金分割”最早记录于公元前6世纪，1202年又因为数学家斐波那契的传播而闻名于世。关于“黄金分割”，斐波那契曾提及一道有趣的数学题，具体是这样的：

　　某人把1对兔子放置在四周都有围栏的区域中养殖。假设每对兔子在出生的两个月后就能繁殖出另外1对兔子，且1对兔子每个月只能生出1对兔子来，那么按照这种规律，在1年之内总共可以繁殖多少对兔子？

　　将每个月计算得出的结果依顺序排列，就得到了我们所熟知的斐波那契数列：

　　1，1，2，3，5，8，13，21，34……

　　随着数列的逐级递推，我们会发现数列的第n+1项与第n项的比值（n=1，2……）与1.618这一数值越来越接近，而这一数值恰好等于“黄金分割率”。

　　最让我们感到惊讶的是，这一比值广泛存在于自然界的万物生长规律之中：比如鲜花的种子以其特定的螺旋方式排列，生长比值接近1.618。贝壳、松果还有凤梨等植物外壳纹路的排列方式也具有类似的特征。

　　下面以图片来举例来说明：如果你仔细观察图片中的雏菊，就会发现雏菊的种子以花盘中央为圆心呈螺旋状排列，只是不过每一层种子排列的旋转方向或左或右。

　　如果你仔细沿着图中雏菊种子的排列轨迹描绘出曲线，你就会发现靠近花盘圆心的里层可以画出21条逆时针旋转的曲线，而远离圆心的外层可以画出34条顺时针旋转的曲线。这些数字恰好是斐波那契数列中的某一项。

更为有趣的是，通过测量人体的某些身体结构也可以发现类似的“黄金分割率”。比如：人类身高与肚脐至地面距离的比值；肩膀到指尖距离与手肘到指尖距离的比值等。因为满足“黄金分割率”的图形或物体可以让眼睛感到舒适，因此这一比例普遍存在于许多艺术作品和建筑物中，甚至联合国的大楼、雅典的帕特农神殿、埃及的金字塔都应用到了类似的比例特征。

　　应该说那些有机会去见识数学“本来面目”的孩子是非常幸运的，因为这有助于他们的未来发展。负责《纽约时报》科学版面记者的MargaretWertheim回忆起自己童年时曾有幸跟着一位来自澳大利亚的老师在课堂上学习数学，她认为正是这位老师的数学课转变了自己的世界观：

　　我在10岁那年经历了一次可以称之为“非常奇妙”的数学体验。记得那堂数学课我们主要学习圆形，作为优秀的数学教师，Marshall先生带领我们自主地去探索隐藏在这个简单图形中的奥秘：无理数π（亦称超越数）。对于年幼无知的我来说，那时的感觉就好像得到了神的指引之后，在浩瀚无边的宇宙中发现了一处宝藏一样兴奋。无论在何时何地，每当我看到圆形图案时，内心都会不自觉地联想到π这个神秘的数字。它几乎存在于世间万物当中：在太阳、月亮、地球中；在蘑菇、向日葵、橙子、珍珠中；在车轮、表盘、瓦罐、电话拨号盘中……以上所有这些客观事物都可以经由π联系到一起，显然π作为一种共同属性是超越这些客观事物的存在。我对此感到无比震撼，仿佛得到了指引，使我透过眼前的景象瞥见了神奇数学王国的真面目。也就是从那个时候起，我便下定决心开始去寻找隐藏在身边的数学奥秘。

　　在经历过美国的数学课堂教育后，有多少学生能够像Wertheim那样来刻画属于自己心中的数学呢？为什么学生们并没有像Wertheim那样，被数学的奇妙所震撼并陶醉于其中，怀着一颗求索之心去寻找数学与现实世界的关联呢？这恰恰是因为他们被课堂上所建立起的数学假象误导了，因而没能亲身体验真正的数学到底是个什么样子。出版过多部数学专著的数学家Keith Devlin指出，数学家其实并不精于计算，事实上他们的工作重心并不在于此。数学家会把数学作为一种“研究客观世界的一种方法”。

《这才是数学》（教师篇）

大脑与数学学习

　　关于伦敦黑色出租车（Black Cab）司机大脑的研究改变了科学家们对能力与学习的认识。伦敦市有几个出租车公司，但伦敦出租车行业的老大是"黑色出租车（Black Taxi）"，也被称为"Black Cab"。（如图1.2）

　　虽然我在伦敦乘坐黑色出租车多次，却一直没有发现这些黑色出租车司机的惊人本领。后来我才知道，要想成为黑色出租车司机，需要学习2~4年的时间。要熟记以查令十字街为中心的、半径为25英里范围内的25，000条大街和20，000个地标性建筑。因为伦敦不是按照网格结构规划建设的，成千上万的街道错综复杂地交织在一起，所以熟悉伦敦的路况要比熟悉美国大多数城市的路况困难得多（如图1.3）。

　　黑色出租车司机在学习的最后要参加一个被优雅地命名为"The Knowledge" 的测试。如果你乘坐黑色出租车时和司机聊"The Knowledge"，他们一般都会非常开心地给你讲他们在学习期间的事情，以及考试有多么困难等。这个名为"The Knowledge"的测试据说是世界上要求最苛刻的测试之一，每个学员一般要经历12次考试才能通过。

　　在本世纪初，科学家们决定对黑色出租车司机的大脑进行研究，他们想看看在经过多年的复杂空间思维训练后大脑发生的变化，但这些科学家没有想到研究结果竟如此激动人心：他们发现，在黑色出租车司机学习的后期，他们大脑中的海马体出现了显著地生长[2]。海马体是大脑中专门用来记忆和使用空间信息的部分。（如图1.4）

　　敦公交车司机的海马体生长情况做了对比。公交车司机在上岗前只需要记住几条固定的行车路线，而且研究显示他们学习后的海马体生长并不显著[3]。这个事实验证了科学家们的研究成果：黑色出租车司机的海马体显著长大的原因是，他们学习所得到的训练异常复杂。在后续的研究中，科学家发现，黑色出租车司机退休以后，他们的海马体又缩小了[4]。

有价值的数学题

　　所有教师都知道，高质量的数学题是非常好的教学资源。使用高质量的数学题不但可以调动更多学生学习数学的积极性，提高他们对数学的兴趣，还可以培养学生的数学式思维，为他们提供深入思考的机会。在这一章，我们将探究数学活动（包括数学教学活动）的真谛，并且思考如何设计出符合数学活动真谛的数学题。

　　塞巴斯蒂安仍然继续问我问题。当他问到我什么问题是一道好的数学题时，我对所有会议室里的人说，我是否可以问他们所有人一道数学题。他们都表示同意，然后我便开始了一个小型的"number talks"。我让他们心算18×5，如果他们计算完毕就把大拇指竖起来让我看到。当看到所有大拇指都竖起来时，我便开始了一个计算方法分享会。当时，他们想出了至少6 种计算方法，我把其中的6种计算方法通过图形画在了会议室的手写板上（如图5.1）。

　　然后我们开始讨论方法的相似与不同之处。当我把计算方法在手写板上画出来时，他们都瞪大了眼睛。有些人甚至兴奋地从椅子上跳了起来。有些人说他们从来都没有想过，一个抽象的数字计算问题居然可以用这么多方式去诠释。还有些人说，数字计算居然可以用图形表示出来，而且还把数学表现地如此清晰。

　　几天后，我到达了伦敦。当我打开邮箱时，我发现我收到了Udacity公司的一名年轻且有创意的课程设计师安迪（Andy）的邮件。安迪已经制作了一个关于如何计算18×5的小视频，而且他把上街采访收集计算方法的过程也放在了视频里。Udacity 公司课程小组的成员对18×5的计算方法问题感到很兴奋，他们想立刻把这个视频发布出来，而且他们还想制作18×5计算方法的T恤衫，然后发给每一位在Udacity工作的人。

　　在接下来的几个月里，我又先后同卢克·巴尔特莱（Luc Barthelet）与Wolfram Alpha 公司的总监见面。Wolfram Alpha是世界上最重要的数学公司之一。卢克在我2015年出版的书中发现了18×5的不同计算方法，他对这道题特别感兴趣，以至于遇到一个人就要问他18×5如何计算。为什么那些高级的数学应用者，还有小孩子们都对解决一个看起来稀松平常的数学题18×5这么感兴趣呢？我认为原因就是人们在解决这道题的过程中看到了数学的创新性和一个数学概念的多面性。事实上，我所见过的大部分人，即使是一些应用数学能力很强的人，都没有想到数字居然可以如此开放灵活，一道计算题居然可以用那么多方法解决。在数学活动中，如果将这种认识与可视化结合在一起，那么数学的魅力和对人的吸引力将会更大。

前言/序言

　　很多人认为，天生不具备数学能力的孩子学不好数学，不具备合适的知识背景、学习数学太晚的孩子也无法学好数学，那么能在数学上获得成功的孩子就只剩下那些所谓的"聪明"孩子了，所以很多学生数学考试不及格或者讨厌数学似乎也就成了理所当然的事。很多老师在安慰学生时也总是说："不是每个人都是学数学的料儿，所以不用为数学学不好而感到困惑。"在持有这种观点的老师的误导下，很多孩子在真正开始学习数学之前就早早地放弃了数学。怪不得很多的学生都用"我天生不是学数学的料儿"来为自己没有学好数学开脱。

　　对于"只有少数人才是学数学的料儿"这个观点，老师、家长以及学生都是从哪里听来的呢？一项新的研究发现，这种观点在数学领域可谓根深蒂固。研究人员对美国大学不同学科的学者进行了调查。调查结果显示，在四个学科，包括科学（science）、技术（technology）、工程（engineering）和数学（math），取首字母，简称"主干"（STEM）学科，数学领域的学者最为强调与生俱来的能力。其他研究人员也发现，很多数学老师在开始授课前就告诉学生，他们中有些人具有学习数学的天赋，有些人则没有。有一位大学数学老师，开学第一堂课就对某个学生说："这个对你太难了，你没有学习数学的天分。"这样的观念一代一代传下来，有些学生就开始害怕学习数学，甚至在数学学习上遇到一点儿困难便认为自己不擅长数学。

　　通过本书，大家将知道，所有学生（几乎所有的学生）都具备学好数学并享受数学学习的能力。那我们如何才能让所有的学生都乐于学习数学？如何才能让教师和学生认识到数学能力是可以培养的？数学教师应如何教授数学才能让以上结论变为现实？这就是本书的主要内容。

　　在本书中，乔·博勒（Jo Boaler）将她多年的研究成果和智慧传授给各位教师，告诉他们如何呈现数学内容、如何系统安排数学题、如何引导学生，以及如何给予学生反馈以帮助他们形成并保持"成长式思维模式"。博勒是目前最卓越的教育家之一，她不仅洞悉教书的奥秘，而且还善于将这种奥秘传授给他人。成千上万的老师都向她取经学习。下面是这些老师的话：

　　"在我整个学习生涯中……我总觉得自己是一个很笨的人，而且没有学习数学的能力……当我最终知道我也可以学习数学时，我的心中犹如一块大石头终于落地了，而且我还可以告诉我的学生，他们也有能力学好数学。"

　　"你引导我去思考数学核心基础课的变革，还让我思考如何帮助学生培养对数学的热爱与兴趣。"

　　"我正在寻找一种可以转变学生学习数学态度（从厌恶到喜欢）的方法……"

　　想象一下，你的学生欢快地沉浸在某道数学题中，他们渴望能在班级中讨论自己的错误，他们自豪地说："我拥有学习数学这才是你想要的数学书（这才是数学+这才是数学教师篇套装共2册）下载 mobi epub pdf txt 电子书格式