现代数学基础丛书·典藏版8：有限群构造（上册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

内容简介

　　《现代数学基础丛书·典藏版8：有限群构造》主要论述有限群的构造理论，分上、下两册。上册是代数领域中关于有限群的一些基本知识。下册论述有限群的专题部分。
　　《现代数学基础丛书·典藏版8：有限群构造》可供大专院校数学系高年级学生、研究生及代数研究工作者阅读，也可供其他有关科技工作者参考。

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目录

前言/序言

　　有限群是代数学中一个古老的分支，它有十分悠久的历史。它是由解代数方程的需要，也就是由伽罗瓦（Galois）理论的需要而产生的，并且首先是由置换群的概念发展起来的。至于群的抽象的讨论大概是从弗罗比尼斯（Frobenius）开始的，也就是后来发现构成群之特殊材料（置换这个概念）并不重要，而只需注意一集合里面所定义的代数运算这个性质的探讨，正是这样一种发展，才使得有限群的一般理论得以建立在公理基础之上而变得严谨且清晰，并有利于这理论的进一步发展，仅在第二次世界大战后期几年它的研究中断了，但不久又恢复了它的活跃力，现在人们对有限群反而更为重视，考其原因是群论几乎在各个科技领域里都有它的应用。在爱丁堡举行的国际数学会上由维兰德（H.Wielandt）作的题为《有限群构造之发展》的报告，以及由居里亨在全苏第三届代数会上作的题为《近年来有限群发展的若千方向》的报告，并由最近出版的虎拍（B.Huppert）的巨著，都足以说明近年来有限群研究的盛行。
　　有限群之研究大体可分为群表现与群构造两个方面。本书只叙述了有限群表现的基本知识，目的是用它证明PaQb阶群的可解性本书主要是叙述有限群的构造理论。有限群构造的内容也非常丰富，不可能在一本书内包括无遗。例如，近年来国际上对于有限单群的研究有很大的发展，而本书对这个问题却未触及。本书仅环绕有限可解群能分解为西洛（Sylow）基底，以之为中心来阐述近来的发展趋势，而对超可解群给以较详尽的论述，
　　全书分上、下两册。上册共五章。第一章是基础理论；第二章以有限可解群能分解为素数幂阶群之积以及这样分解之唯一性来说明素数幂阶群（在本书中称为P-群）之重要性；第三章论述群表现的基本知识，解决PaQb阶群之可解性；第四章讲扩展理论，其重要性有二：一为借它可由二个群怎样去作另一新的群，二为因有限群存在合成群列，故知研究有限群的根本问题是决定有限单群与探索扩展理论；第五章讨论P-群的基本性质，总而言之，上册为基本概念，是代数领域中关于有限群的一些基本知识，当然间或有些不是为专攻有限群工作的同志所需的内容；凡是这样的地方均打有星号*5，或用小号字排印，像这样一些地方初学者也可略去。
　　下册论述有限群的专题部分，诸如弗拉梯尼（Frattini）子群，费丁（Fitting）子群，卡特（Carter）子群，恩格尔（Engel）子群，群之畔E质及分解，半单群，超可解群，传输理论等等。概括之，本书是以霍尔（P.Hall），柏额（R.Baer），虎拍，维兰德，居里亨等人的主要工作为基础而阐述的，其间并非无作者的创意在。由于有限群范围过大，而本人学识肤浅，错误难免且取材可能不当，望同好者批评指正。

现代数学基础丛书·典藏版：群论专题导论 丛书总序：通往抽象世界的大门 现代数学，如同浩瀚的星空，其结构之精妙、逻辑之严谨，令人叹为观止。在这片知识的海洋中，代数是支撑其宏伟结构的核心支柱之一。本书系“现代数学基础丛书”中的重要一辑，专注于代数领域的核心概念——群论。我们深知，群论不仅是抽象代数的基石，其思想与方法更是渗透至物理学、化学、计算机科学等诸多领域。本辑的每一册，皆力求以严谨的数学语言，结合清晰的逻辑推导，为读者构建起坚实的理论框架，引领有志之士深入理解代数的本质。本辑的选材与编排，旨在平衡数学的纯粹性与应用的可能性，使读者在掌握核心理论的同时，亦能感受到数学之美与力量。 第一册：集合论与基本代数结构概述 本册是进入高等代数世界的基石，其首要任务是为后续所有抽象结构的讨论奠定必要的背景。我们首先从集合的严格定义出发，系统回顾集合的运算、函数（映射）的性质，特别是双射、满射、单射的内涵与外延。集合论的严谨性是构造所有数学对象的先决条件。 随后，我们将视线转向“运算”这一核心概念。在介绍基本的二元运算（如加法、乘法）的封闭性、结合律等性质时，我们引入了半群（Semigroup）的概念，作为对结构化运算的最初步抽象。半群的讨论，旨在让读者理解，何为“结构”，以及在何种条件下，运算的良好行为能够形成一个有意义的代数系统。 本册的重点之一是模（Module）的引入，尽管模的完整讨论通常置于线性代数或更深入的抽象代数，但在此我们先行铺垫其基础框架，作为广义代数结构的一个重要范例。我们探讨模的定义，包括其上的向量加法与标量乘法。通过对模的初步介绍，读者可以初步感知到，代数结构是如何在集合之上，通过定义特定的运算规则，从而表现出其内在的规律性。这不仅是群论学习的铺垫，更是理解环论、域论的必经之路。 此外，我们还用一章的篇幅，详细阐述了同态（Homomorphism）与同构（Isomorphism）的普适概念。同态性是衡量两个代数结构之间相似程度的标尺，它揭示了不同代数对象之间存在的深层联系。我们将同态的概念应用于集合、半群，并初步提及它在群结构中将扮演的关键角色。对同构的深入理解，使读者明白，虽然不同代数对象的外在形式可能千差万别，但若它们在结构上是同构的，则其内在的代数性质是完全相同的。 全册的叙述风格力求清晰、精确，每一步推导都力求详尽，旨在为初次接触抽象代数的读者提供一个坚实、无缝的过渡。 第二册：环与域的初步探索 在第一册奠定了单运算结构的认知基础后，本册将代数结构的复杂性提升至双运算结构——环（Ring）。环是代数结构中应用最为广泛的一类，它同时拥有加法和乘法两种运算，并且这两种运算之间还通过分配律相互联系。 本册首先从更基础的幺半群（Monoid）的概念开始，它是在半群的基础上加入了单位元（或称为恒等元）。幺半群的性质，如结合律和单位元的存在性，是构成群（Group）的直接前奏。我们将用专门的章节来讨论幺半群，并着重分析其在形式语言理论中的初步应用。 随后，我们将全面展开环的理论。我们精确定义了交换环、单位环，并对环的加法单位元（零元）和乘法单位元（幺元）的性质进行细致的考察。本册对环的讨论侧重于理想（Ideal）的构造与性质。理想是环中的一种特殊子集，它在环的加法运算下构成子群，并且在乘法运算下对环的元素保持“封闭”，是研究商环（Factor Ring）的关键工具。 在环论的基础上，本册引入了域（Field）的概念。域是环的一个特例，其中所有非零元素在乘法下都有逆元。域是线性代数和伽罗瓦理论的真正舞台。我们详细分析了域的构造，如整数域 $mathbb{Q}$、有理数域 $mathbb{Q}$，并对特征（Characteristic）的概念进行了深入探讨。 本册的一个重要目标，是通过对环和域的深入研究，让读者体会到不同代数结构之间逻辑递进的关系：从集合到半群，再到幺半群，最终引向具有两种运算的环与域。我们精选了若干有助于理解理想化结构与商结构的例子，以期深化读者对“抽象”如何转化为“可操作”的认识。 第三册：群论的深化与应用——同构定理与正规子群 本册是本丛书代数部分的核心，它将群论的讨论提升到全新的深度，专注于结构之间的精确关系——同构定理，以及群的分解。 本册的起点，是对群（Group）这一基础结构的复习与强化。在此基础上，我们着重分析群的子群、陪集（Coset）的概念。陪集的引入是理解商群构造的逻辑桥梁。 核心内容聚焦于正规子群（Normal Subgroup）。我们详细阐述了正规子群的定义、判别准则，并强调了其在定义商群（Factor Group，或称商群）时的不可或缺性。正规子群的意义在于，它允许我们在“模去”某个结构的同时，仍能保持代数结构的完整性。 随后的章节，是群论理论的“哥白尼式革命”——群同构定理（Isomorphism Theorems for Groups）。我们系统地、详尽地证明了第一、第二、第三同构定理。这些定理不仅仅是抽象的公式，它们是代数结构之间联系的精确编码。例如，第一同构定理清晰地阐明了“群与其商群的同态像同构”这一深刻的内在规律。理解这些定理，标志着读者真正掌握了抽象代数思维。 我们还引入了第二同构定理（或称钻石同构定理）和第三同构定理，并结合图示和具体例子，阐明它们在简化复杂群结构分析中的作用。 此外，本册还引入了群的同态像与核（Kernel）的概念。核被定义为保持恒等元的同态映射的元素集合，它是子群中特殊的，保证其为正规子群的关键。核与像之间的关系，是理解第一同构定理的直接体现。 本册的最后部分，开始触及群的分类与结构分析的初步工具，例如直积（Direct Product）的构造。通过直积，我们将复杂的群分解为更简单、更易于管理的几个部分的乘积，为后续对有限群（如本丛书后续卷册的主题）的深入研究奠定基础。全册的推导严谨，注重从几何直觉过渡到纯代数证明，确保读者能够稳健地迈向群论的更深层次。