全国高校高等数学（微积分）期末考试过关必备与高分指南（下册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

编辑推荐

　　这本书结合了知识点和试题，让读者能快速理解和温习知识点，引导读者先对单个知识点进行复习，同时通过例题对该知识点加深理解及应用，复习完本章的全部知识点后，通过过关测试卷的题目对自己进行测评，让读者在学与练的过程中顺利掌握知识。并且在最后附加了期末测试卷，有始有终，复习完本书就对这些必考点进行了一轮很扎实的复习及练习。提取必考点，正是帮助读者从庞杂的知识体系中抓住要点，避免在期末考试中无从下手。章节前加入的编者按，对本科教学要求和考研要求进行了清晰的划分，让不同需求的读者对复习的要求变得清晰明了，顺利考出高分甚至满分。

内容简介

　　《全国高校高等数学（微积分）期末考试过关必备与高分指南（下册）》适用于学习高等数学（微积分）、线性代数、概率论与数理统计的全国各高校各专业的学生，也适用于考研基础阶段复习的学生，整体注重基础，适合做课后自测、全面掌握知识点以及补充考研知识。本书按照章节划分，每章分为两部分：必考点预测和过关测试卷。在章节开始前加入编者按，对本科教学要求和考研要求进行了清晰的划分。专门设置了全国高校考试通用的必考点精讲，有针对性地梳理出考前必须把握的重要知识点，可以让考生短时间迅速把握要领，理清思路，同时这些点也是考研复习基础阶段考生必备的重要知识；过关测试卷满分150分，共23道小题，部分题目划分数学一、二、三，并配有详细的参考答案与分析，可供校内考生在考前集中精力，高效复习，顺利过关，也供考研学生在基础阶段全面复习，打牢基础。本书的最后附加的期末测试卷，可以对所学知识进行系统的测验，使学生对习题有更加明确、深刻的认识。

作者简介

　　张宇博士，全国著名考研数学辅导专家，教育部“国家精品课程建设骨干教师”，全国畅销书《张宇高等数学18讲》 《张宇线性代数9讲》 《张宇概率论与数理统计9讲》 《张宇考研数学题源探析经典1000题》 《张宇考研数学真题大全解》 》《张宇考研数学最后4套卷》等作者，高等教育出版社《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲解析》编者之一，2007年斯洛文尼亚全球可持续发展大会受邀专家（发表15分钟主旨演讲），北京、上海、广州、西安等地全国著名考研数学辅导班首席主讲。

目录

第八章 向量代数与空间解析几何1

必考点预测1

过关测试卷6

第九章 多元函数微分法及其应用11

必考点预测11

过关测试卷18

第十章 重积分23

必考点预测23

过关测试卷33

第十一章 曲线积分与曲面积分39

必考点预测39

过关测试卷47

附录 微积分在经济问题中的应用66

必考点预测66

过关测试卷70

期末测试卷75

《全国高校高等数学（微积分）期末考试过关必备与高分指南（下册）》内容简介 本书系一套面向全国高等院校学生的微积分学习与考试指导用书，旨在帮助广大师生系统梳理和掌握微积分（下册）的核心知识体系，高效备考，力争在期末考试中取得优异成绩。本册内容聚焦于高等数学（微积分）课程的下半部分，涵盖了微分方程、多元函数微积分、向量分析、级数等关键章节。 第一章 微分方程 本章是理解和应用数学模型解决实际问题的基础。我们将从微分方程的基本概念、分类出发，深入探讨一阶微分方程的解法，包括变量可分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程等。接着，重点讲解二阶及高阶线性微分方程的解法，特别是常系数线性微分方程的特解和通解的求法，以及参数方程法等。此外，本章还将介绍一些简单非常系数微分方程的解法，并引导读者了解微分方程在物理学、工程学、经济学等领域中的广泛应用，通过典型例题和习题，训练学生建立数学模型、求解微分方程并解释解的实际意义的能力。 1.1 微分方程的基本概念与分类 定义与阶数：介绍微分方程的含义，即含有未知函数及其导数的方程，并明确微分方程的阶数是指方程中出现的最高阶导数的阶数。 分类： 常微分方程与偏微分方程：区分只含一个自变量的函数及其导数的常微分方程，与含有多个自变量的函数及其偏导数的偏微分方程。本书主要关注常微分方程。 线性与非线性微分方程：讲解线性微分方程的定义，即未知函数及其导数都以一次方形式出现，且没有它们的乘积项。非线性微分方程则不满足此条件。 齐次与非齐次微分方程：阐述齐次微分方程的特点（不含自变量的常数项或自由项），以及非齐次微分方程的定义。 1.2 一阶微分方程的解法 变量可分离方程：介绍形如 $f(x)dx = g(y)dy$ 的方程，讲解其积分求通解的方法。 齐次方程：包括形如 $y' = f(y/x)$ 的方程，通常通过变量代换 $y = ux$ 来转化为变量可分离方程。 线性方程：讲解形如 $y' + P(x)y = Q(x)$ 的一阶线性微分方程，重点介绍使用积分因子法求解。 伯努利方程：介绍形如 $y' + P(x)y = Q(x)y^n$（$n eq 0, 1$）的方程，通过变量代换将其转化为一阶线性微分方程求解。 全微分方程：讲解形如 $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 的方程，当满足 $frac{partial M}{partial y} = frac{partial N}{partial x}$ 时，该方程为全微分方程，可以直接积分求解。 1.3 二阶及高阶线性微分方程 线性微分方程解的结构：阐述线性齐次微分方程的通解是其n个线性无关特解的线性组合；线性非齐次微分方程的通解等于其对应的齐次方程的通解加上非齐次方程的任一特解。 常系数线性齐次微分方程： 特征方程：介绍由常系数线性齐次微分方程建立的特征方程。 特征方程的根：详细讲解三种情况（单根、重根、复根）下，特征方程的根如何对应到通解的形式。 常系数线性非齐次微分方程的特解求法： 待定系数法：针对右端项（自由项）为多项式、指数函数、正弦余弦函数或它们的组合时，介绍如何选取特解的形式并待定系数。 常数变易法：介绍通用性更强的常数变易法，通过将齐次方程的通解中的常数视为函数，然后利用待定条件求出这些函数的具体形式，从而得到非齐次方程的特解。 1.4 微分方程的应用 物理应用：例如，自由落体运动、弹簧振子振动、电路分析（RLC电路）、放射性衰变等。 工程应用：例如，机械系统动力学模型、控制理论中的系统响应分析、化学反应速率方程等。 经济应用：例如，人口增长模型、供需模型、经济增长模型等。 案例分析：通过具体的实际问题，引导学生如何将实际问题转化为微分方程模型，如何求解模型，以及如何解释所得结果。 第二章 多元函数微积分 本章将微积分的概念扩展到多维空间，为理解更复杂的函数和现象提供了强有力的工具。我们将深入研究多元函数的极限、连续性、偏导数、全微分、方向导数、梯度，以及多元函数的一阶和二阶泰勒展开。 2.1 多元函数的极限与连续 定义：介绍多元函数的极限概念，以及趋近方式的多样性（沿着不同路径）。 判定方法：讲解通过多种路径趋近法、夹逼法等判定极限不存在或存在的技巧。 连续性：定义多元函数的连续性，并讨论连续函数在有界闭区域上的性质（有界性、最大值最小值定理、一致连续性）。 2.2 偏导数与全微分 偏导数：定义多元函数对其中一个自变量的偏导数，以及如何计算。 方向导数与梯度： 方向导数：定义沿任意方向的导数，它表示函数在该方向上的变化率。 梯度：定义梯度向量，它是指向函数值增长最快的方向的向量，且梯度的模等于函数在该方向上的最大方向导数。 全微分：定义多元函数的全微分，并给出计算公式。讲解全微分存在的条件，以及全微分与可微性的关系。 高阶偏导数：介绍二阶及更高阶偏导数，以及 Clairaut 定理（二阶混合偏导数相等）的条件。 2.3 多元函数的极值与最优化 极值定义：介绍多元函数的局部极值（极大值、极小值）和全局极值。 求极值的第一必要条件：导出一阶偏导数为零的驻点是极值点的必要条件。 求极值的第二充分条件：利用二阶偏导数（Hessian矩阵）的符号来判断驻点是否为极值点，以及是极大值还是极小值。 条件极值（拉格朗日乘数法）：介绍如何求解带有等式约束的多元函数的最优化问题。 2.4 隐函数与参数方程 隐函数定理：介绍在什么条件下，一个方程可以确定一个或多个隐函数，以及如何求这些隐函数的导数。 参数方程：处理由参数表示的函数，讲解如何求导。 2.5 多元函数的泰勒展开 二阶泰勒展开：介绍多元函数在某点附近的一阶和二阶泰勒公式，用于近似描述函数的局部行为，是分析函数性质的重要工具。 第三章 向量分析 本章将微积分的概念推广到向量场，是理解电磁学、流体力学等学科的基础。我们将介绍曲线积分、曲面积分及其在物理学中的应用。 3.1 空间曲线与曲面 空间曲线的参数方程：表示空间曲线的一般方法。 空间曲面的方程：表示空间曲面的方法，包括显式、隐式和参数方程。 3.2 曲线积分 第一类曲线积分（数量曲线积分）：定义以及计算方法，常用于计算质线密度、质量等。 第二类曲线积分（向量曲线积分）：定义以及计算方法，常用于计算功、环量等。 Green 公式：连接平面区域上的二重积分与该区域边界上的曲线积分，是平面向量场分析的重要工具。 3.3 曲面积分 第一类曲面积分（数量曲面积分）：定义以及计算方法，常用于计算曲面的面积、质量等。 第二类曲面积分（向量曲面积分）：定义以及计算方法，常用于计算流量、磁通量等。 Gauss 公式（散度定理）：连接空间区域上的三重积分与该区域边界曲面上的曲面积分，是三维向量场分析的核心定理。 Stokes 公式：连接空间曲面上的曲面积分（旋度）与该曲面边界上的曲线积分，是向量分析中的另一个重要定理。 3.4 向量场 向量场的概念：介绍向量场及其在物理中的应用，如速度场、力场、电场、磁场等。 散度与旋度：定义向量场的散度和旋度，并解释其物理意义（散度表示向量场源的强度，旋度表示向量场的旋转程度）。 第四章 无穷级数 本章将函数的概念扩展到无穷级数，是分析和近似函数的强大工具，在微积分、微分方程、逼近论等领域有重要应用。 4.1 数项级数 收敛与发散：定义数项级数的收敛与发散，以及收敛级数的和。 收敛判别法： 正项级数判别法：比较判别法、根值判别法、比值判别法、积分判别法。 任意项级数判别法：莱布尼茨判别法（交错级数）。 绝对收敛与条件收敛：区分级数本身收敛与级数各项的绝对值构成的级数收敛。 4.2 函数项级数 收敛域：定义函数项级数的收敛域，即自变量取值范围使得级数收敛。 一致收敛：介绍一致收敛的概念，并阐述一致收敛级数与其和函数的连续性、可积性、可微性的关系。 4.3 幂级数 幂级数的性质：介绍幂级数的收敛域、收敛半径，以及其和函数的性质。 泰勒级数与麦克劳林级数： 定义：介绍如何将函数展开成幂级数，以及泰勒级数和麦克劳林级数的定义。 展开公式：给出常见的函数的泰勒级数展开（如 $e^x, sin x, cos x, ln(1+x)$ 等）。 应用：讲解如何利用泰勒级数进行函数近似、计算极限、求解微分方程等。 4.4 傅里叶级数 周期函数的傅里叶级数展开：介绍将周期函数展开成三角级数的方法，以及傅里叶系数的计算公式。 傅里叶级数收敛性：介绍傅里叶级数的收敛条件（狄利克雷条件）。 傅里叶级数的应用：在信号分析、图像处理、热传导等领域有广泛应用。 本书的特色与价值 系统性：紧密围绕全国高校高等数学（微积分）的教学大纲，对下册内容进行全面、系统的梳理和讲解。 针对性：聚焦于期末考试的重点、难点和常考点，通过精选的例题和习题，帮助考生熟悉考试题型，掌握解题技巧。 条理性：各章节内容结构清晰，逻辑严谨，从概念引入到理论推导，再到应用实例，层层递进，易于理解和掌握。 实用性：提供大量具有代表性的例题，覆盖不同难度和知识点，并配以详尽的解题步骤和思路分析，便于学生模仿学习。 拔高性：在夯实基础的同时，也注重引导学生理解知识的深层含义和应用价值，助力考生取得高分。 本书适合全国高等院校学习高等数学（微积分）的在校学生，作为复习备考、巩固提高的必备参考资料。通过对本书的学习，相信广大考生能够深入理解微积分（下册）的核心概念，熟练掌握解题方法，自信迎接期末考试的挑战，实现学业目标。