信息安全數學基礎 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

　　本書係統地介紹瞭信息安全理論與技術所涉及的數論、代數、橢圓麯綫等數學理論基礎。全書共分為9章：第1章是預備知識，介紹瞭現代密碼學涉及的數學基礎；第2章至第5章是數論基礎，包括整除、同餘、次數與原根、二次剩餘和素數檢驗以及整數分解等內容；第6章至第8章是代數基礎，包括群、環、域的概念及其應用等內容；第9章是橢圓麯綫，包括仿射空間和射影空間、橢圓麯綫的基本性質、橢圓麯綫上的離散對數等內容。書中每章末都配有適量習題，以供學生學習和復習鞏固書中所學內容。

目錄

?前言
教學建議
第1章　預備知識 1
1.1　集閤 1
1.2　關係 8
1.3　函數 17
1.4　映射和勢 22
1.5　拓撲空間 25
第2章　整除 31
2.1　整除與帶餘除法 31
2.2　最大公因子與輾轉相除法 35
2.3　算術基本定理 43
*2.4　完全數、梅森素數和費馬素數 47
第3章　同餘 51
3.1　同餘的概念和性質 51
3.2　剩餘類和剩餘係 55
3.3　歐拉定理和費馬小定理 59
3.4　擴展歐幾裏得算法和威爾遜定理 64
3.5　綫性同餘方程 68
3.6　中國剩餘定理與同餘方程組 71
*3.7　高次同餘方程 81
第4章　原根與指數 88
4.1　次數 88
4.2　原根 94
4.3　指數與高次剩餘 103
第5章 二次剩餘 109
5.1　二次剩餘的概念和性質 109
5.2　勒讓德符號與二次互反律 113
5.3　雅可比符號 124
第6章 群 129
6.1　群 129
6.2　子群 133
6.3　循環群 136
6.4　置換群 140
6.5　陪集與商群 145
6.6　同態和同構 150
第7章　環 156
7.1　環 156
7.2　理想和商環 162
7.3　幾類重要的環 168
7.4　素理想和極大理想 174
第8章　域 178
8.1　域上的多項式 178
8.2　域的代數擴張 183
8.3　分裂域與自同構 188
8.4　伽羅瓦理論初步 194
8.5　有限域 198
第9章　橢圓麯綫 203
9.1　仿射空間與射影空間 203
*9.2　代數麯綫 210
9.3　Weierstrass方程與橢圓麯綫 214
9.4　橢圓麯綫上的群結構 221
9.5　有限域上的橢圓麯綫 227
9.6　橢圓麯綫上的離散對數 232
索引 234
參考文獻 239

前言/序言

　　計算機和網絡技術的飛速發展和廣泛應用，極大地促進瞭社會的發展，也徹底改變瞭人們的生活和工作方式．與此同時，網絡與信息安全問題也更多地受到關注，網絡空間安全理論與技術已經成為當前最為重要的研究領域之一，網絡空間安全專門人纔的培養受到瞭社會空前的重視．“信息安全數學基礎”是信息安全本科專業的基礎課之一，對網絡空間安全理論與技術（特彆是網絡空間安全的核心技術——密碼技術）的深入學習具有重要的意義．本書是在南開大學信息安全專業“信息安全數學基礎”課程授課講義的基礎上整理而成的．全書分為4部分，共包括9章內容：
　　第一部分：預備知識（第1章），介紹書中後續章節所涉及的基本概念和基礎知識，包括集閤、關係、函數、映射與勢以及拓撲空間等．第二部分：數論基礎（第2至5章），介紹數論的基本內容，包括整除（整數的因子分解）、同餘、原根與指數、二次剩餘以及數論的應用等內容．第三部分：抽象代數基礎（第6至8章），分彆介紹群、環、域的概念和知識，以及初等伽羅瓦理論和有限域理論．第四部分：橢圓麯綫（第9章），介紹橢圓麯綫的算術理論，包括仿射空間和射影空間、Weierstrass方程與橢圓麯綫、橢圓麯綫上的群結構、有限域上的橢圓麯綫和橢圓麯綫上的離散對數等內容．書中每節末都配有適量的習題，供學生在復習和鞏固書中所學內容時使用．習題包括A、B兩組：A組主要用於鞏固學生在課堂上所學的內容和知識，B組主要用於拓展學生的知識和技能．本書依據《高等學校信息安全專業指導性專業規範》（清華大學齣版社，2014）中關於“信息安全數學基礎”的相關教學要求選取內容，並將編者多年積纍的實際教學經驗融入其中，力求知識係統化，能較好地覆蓋網絡空間安全領域所涉及的數學基礎知識．書中所涉及的基礎知識都進行瞭介紹，其中的數學結論都給齣瞭詳細的證明；書中所配的習題著力於幫助學生鞏固所學的內容和拓展能力．本書適閤高等學校信息安全、計算機科學技術和通信工程等專業本科生和研究生使用，也可供相關領域的科研人員和技術人員參考．本書由賈春福、鍾安鳴和楊駿編寫．高敏芬老師、李瑞琪、梁爽、呂童童、田美琦、程曉陽和鄭萬通等參與瞭書稿的閱讀和校對．由於時間倉促，書中難免有疏漏和不當之處，敬請讀者批評指正．編者2016年10月於南開園

《信息安全數學基礎》 圖書簡介 在數字時代的浪潮中，信息安全已成為維係社會運轉、保護個人隱私、保障國傢利益的基石。而要構建堅不可摧的信息安全防綫，深入理解其背後的數學原理至關重要。本書《信息安全數學基礎》正是為讀者精心打造的一座通往信息安全數學殿堂的橋梁，它係統、深入地闡釋瞭支撐現代信息安全體係的數學分支，旨在為廣大計算機科學、網絡安全、密碼學、信息安全等領域的從業者、研究者及學生提供一套紮實而全麵的理論基礎。 本書並非一本技術操作指南，也非對具體安全工具的介紹，而是聚焦於信息安全領域底層所依賴的數學工具與概念。我們相信，隻有透徹理解瞭“為什麼”和“如何工作”的數學根基，纔能在不斷演進的信息安全技術領域保持敏銳的洞察力，並能獨立創新，設計齣更強大、更具韌性的安全解決方案。 本書內容概覽： 本書的編寫遵循循序漸進、由淺入深的原則，從最基礎的數學概念齣發，逐步深入到與信息安全緊密相關的各個數學分支。 第一部分：數論基礎與應用 數論是信息安全領域，尤其是密碼學中最為核心的數學基石之一。本書將從以下幾個方麵展開： 整除性與模運算： 我們將詳細介紹整數的整除性質，如最大公約數（GCD）、最小公倍數（LCM），以及它們在簡化計算和分析算法中的作用。在此基礎上，我們將深入探討模運算（Modular Arithmetic），這是理解公鑰密碼學算法（如RSA）的關鍵。我們將介紹模同餘、模逆元、歐拉定理、費馬小定理等核心概念，並闡述它們在加密、解密、數字簽名等過程中的應用。 素數與素性檢驗： 素數在現代密碼學中扮演著至關重要的角色，特彆是大素數的生成和分解難題構成瞭許多公鑰密碼係統的安全基礎。本書將介紹素數的定義、性質，以及一些經典的素性檢驗算法，例如米勒-拉賓素性檢驗，並討論其在密碼學中的意義。 同餘方程與中國剩餘定理： 解一元二次同餘方程以及同餘方程組是數論中的重要問題。我們將詳細介紹同餘方程的解法，特彆是中國剩餘定理（Chinese Remainder Theorem，CRT）及其在提高計算效率和解決多模數同餘問題中的強大應用，這在某些高效密碼實現中非常有用。 有限域： 有限域（Finite Fields），特彆是伽羅瓦域（Galois Fields，GF(p) 和 GF(2^n)），是代數密碼學、糾錯碼以及某些更高級的密碼體製（如橢圓麯綫密碼學）的基礎。本書將詳細介紹有限域的構造、運算規則，以及其在信息安全中的理論意義和實際應用。 第二部分：代數結構與密碼學 代數結構為信息安全提供瞭更抽象、更強大的數學框架。 群、環、域： 本部分將介紹抽象代數中的基本結構：群（Groups）、環（Rings）和域（Fields）。我們將闡述它們的定義、性質，並重點關注那些在密碼學中具有重要意義的代數結構，例如有限域上的加法群和乘法群。理解這些抽象概念有助於深入理解各種密碼算法的設計思想和安全證明。 有限域上的代數： 進一步深化對有限域的研究，我們將探討有限域上的多項式運算、有限域的擴張等內容，為理解更復雜的密碼學構造（如基於格的密碼學、編碼理論中的置換等）打下基礎。 第三部分：概率論與統計學在信息安全中的應用 信息安全往往需要考慮不確定性、隨機性和統計特性。 概率基本概念： 本部分將迴顧概率論的基本概念，包括事件、概率、條件概率、全概率公式、貝葉斯定理等。我們將討論隨機變量、概率分布（如伯努利分布、二項分布、泊鬆分布、正態分布等）的概念。 信息熵與熵的度量： 信息熵（Information Entropy）是衡量信息不確定性或隨機性的重要指標，在密碼學中用於分析密鑰空間的大小、隨機數生成器的質量，以及信息論安全的概念。本書將詳細介紹香農熵的定義、性質，並探討其在密碼學中的應用，例如衡量加密算法的信息泄露程度。 統計檢驗與隨機性分析： 在設計安全的隨機數生成器、評估密碼算法的統計特性時，統計檢驗至關重要。我們將介紹一些基本的統計檢驗方法，用於判斷一組數據是否具有統計學上的隨機性，以及如何在實踐中應用這些檢驗。 第四部分：離散數學與圖論在信息安全中的應用 離散數學提供瞭處理離散結構和關係的重要工具。 集閤論與關係： 本部分將迴顧集閤論的基本概念，如集閤、子集、並集、交集、差集、笛卡爾積等。我們將介紹關係、函數及其性質，並探討它們在數據結構、數據庫安全等領域的應用。 圖論基礎： 圖論（Graph Theory）在網絡安全、訪問控製模型、協議分析等方麵有著廣泛的應用。本書將介紹圖的基本概念，如頂點、邊、路徑、連通性、最短路徑算法（如Dijkstra算法）、最小生成樹等。我們將討論圖論如何用於建模網絡拓撲、分析權限分配、設計安全協議等。 組閤數學與計數原理： 組閤數學（Combinatorics）對於分析算法復雜度、計算密鑰空間大小、評估攻擊的概率等方麵至關重要。我們將介紹排列、組閤、二項式定理等基本計數原理，並說明它們在信息安全分析中的應用。 第五部分：函數與編碼理論基礎 函數及其性質在密碼學和糾錯碼中發揮著重要作用。 單嚮函數與僞隨機數生成器： 本部分將介紹信息論中的重要概念，如單嚮函數（One-way Functions）和僞隨機數生成器（Pseudorandom Number Generators，PRNGs）。我們將討論單嚮函數的性質及其在密碼學中的重要性，並介紹PRNGs的設計原則和評估方法。 糾錯碼基礎： 糾錯碼（Error-Correcting Codes）在可靠通信和數據存儲中扮演著關鍵角色，它也與信息安全中的某些方麵（如秘密共享、某些高級密碼體製）有著密切聯係。本書將介紹糾錯碼的基本思想，如漢明碼等簡單編碼，以及編碼的基本原理，為理解更復雜的安全通信機製奠定基礎。 本書的特色與價值： 1. 係統性與深度： 本書並非碎片化的知識羅列，而是將信息安全所需的數學知識體係化、結構化，並深入講解核心概念及其數學原理。 2. 理論與實踐的結閤： 在講解數學概念的同時，本書會穿插大量的與信息安全相關的應用示例，幫助讀者理解理論知識的實際價值。例如，在講解模運算時，我們會聯係RSA算法；在講解概率論時，我們會討論統計檢驗在評估隨機數生成器時的應用。 3. 嚴謹的數學論證： 本書注重數學概念的嚴謹定義和定理的證明，力求讓讀者在理解應用的同時，掌握堅實的理論基礎。 4. 麵嚮廣泛讀者群： 無論是初學者希望建立紮實的數學基礎，還是已有一定基礎的從業者希望係統梳理知識，亦或是學生希望深入學習信息安全相關的數學，本書都能提供有價值的指導。 結語： 信息安全是一個快速發展的領域，而數學是支撐這一領域不斷前進的永恒力量。掌握《信息安全數學基礎》中的知識，不僅能夠讓你更好地理解現有的信息安全技術，更能讓你具備獨立思考、創新設計新一代安全解決方案的能力。我們希望通過本書，為廣大讀者打開一扇通往信息安全數學世界的大門，激發對這一領域更深入的探索和研究。