本书是《解题研究》的姊妹篇，专门针对数学常规问题，讲述解题所需的知识、方法、技巧等，揭示解题所应追求的简洁性和趣味性。本书适合进行常规数学教与学活动的师生阅读。本书分为三个部分：基础部分（60节），提高部分（50节），附录.基础部分的问题，内容较浅，解法比较简单.提高部分，内容较深，解法比较复杂。附录搜集作者在《学数学》杂志上发表的一些文章。

作者简介

单墫，我国著名数学传播、普及和数学竞赛的专家。1964年毕业于扬州师范学院数学系，在中学、大学任教四十多年。
1983年获理科博士学位（我国首批18名博士之一），1991年当选全国“优秀教师”，1991年7月起享受政府特殊津贴，1992年评为国家有突出贡献的中青年专家。1995年评为省“优秀学科带头人”。
单墫教授曾任南京师范大学数学系主任，中国数学奥林匹克委员会委员、教练组组长，国家教委理科试验班专家组组长，南京数学学会理事长。
单墫教授主要从事数论与组合方面的研究，很多成果达到国际先进水平。
1989年作为中国数学奥林匹克代表队副领队、主教练，1990年作为领队，率队参赛IMO均获总分第1，为我国数学竞赛事业作为很大贡献。

内页插图

基础部分
1 溶液浓度
2 力求简单
3 整数好算
4 从何切入
5 立方体的展开
6 阶乘好大啊！
7 又见阶乘
8 等比的值
9 最简单的证法
10 别没事找事
11 如愿以偿
12 化为互质
13 是平方数
14 唯有一个
15 条件太多
16 五人合作
17 1的变形
18 变为同分母
19 盯紧分母
20 瞄准目标
21 没有根式
22 一个恒等式
23 配方更好
24 又用配方
25 无需花招
26 何需套路
27 弄巧成拙
28 一次函数
29 变更原点
30 列表更好
31 尽信书，不如无书
32 用判别式？
33 三次根式
34 不可忽视
35 不解风情
36 根的正负
37 函数单调
38 先定范围
39 中点距离
40 先抓西瓜
41 拼图游戏
42 知识障
43 面积之比
44 六边形面积
45 芝麻，开门
46 寻找条件
47 改造题目
48 排定大小
49 第六种证法
50 老封编的题
51 倒立而行
52 座位相邻
53 复数，并不复杂
54 取数
55 多项式
56 中位数
57 一座雄关
58 复数又来了
59 子集族个数
60 集合个数
未带地图的旅人

提高部分
61 叶中豪的题
62 姜霁恒的题
63 外心的对称点
64 西摩松线
65 对称性
66 有与没有
67 三分之一
68 一道竞赛题的推广
69 新编几何题
70 相交的圆
71 两圆相切
72 又是两圆相切
73 无穷多个平方数
74 难亲数列
75 苍蝇、蝇魂
76 幽灵数列
77 沿数轴前进
78 侣伴数列
79 代数式的值
80 幂和的不等式
81 整数逼近
82 标准化
83 两组正整数
84 整数组数
85 多个函数
86 一个多项式
87 乘积的项数
88 上要封顶
89 柳暗花明
90 完全剩余系相加
91 添加元素
92 数论函数
93 廉洁不廉洁
94 四进制
95 差分再来
96 复数的模
97 递推与归纳
98 不动点
99 又一个函数
100 元素、集合
101 功不唐捐
102 元素的和
103 集合、映射
104 好子集
105 元素的和相等
106 暗示
107 元数的最大值
108 小孩买糖
109 图的染色
110 友好的赛事
眼界与品味

附录
1 代数问题应当用代数解法
2 近在眼前
3 相似形、透视形、位似形
4 一题五解
5 两道2013年江苏高考题
6 三次函数与中心对称
7 谈谈提高解题能力
8 解首届“学数学”邀请赛的感想
9 Mobius函数
10 再谈提高解题能力
11 也谈一道竞赛题的纯几何解法
12 两道高考题
13 每道题做三遍
14 一同做2015年江苏省数学高考试题
15 Ramanujam的一个恒等式
16 解第30届中国数学奥林匹克试题
17 简评第二届“学数学”数学奥林匹克邀请赛（秋季赛）
18 谈第55届国际数学奥林匹克试题的解法
19 做第三届“学数学”邀请赛（春季赛）的试题

精彩书摘

1. 溶液浓度
问题：A瓶装180毫升浓度为35.5%的某种溶液，B瓶装120毫升浓度为67.2%的同种溶液。从A、B取出等量的溶液，然后分别倒入B、A.混合后两瓶溶液恰好相等。问各取出多少毫升溶液？
甲：这个浓度问题，我会做。
师：那你就做一做。
乙：这题我也会做。
师：我把数据改一改，35.5%、67.2%分别改为32.5%、58.4%.你做做看。
过了一会，两人都做好了。
甲：答案是72毫升。
乙：我的答案也是72毫升。
甲：题目数据不同，怎么答案恰好一样，太巧了。
师：看看你们怎么做的。
甲：我用算术方法。
乙：我用代数方法。
师：进入中学，用代数方法更多，我们先看看乙的做法。
乙：设各取出x毫升，则
(180-x)×35.5%+x·67.2%180=(120-x)×67.2%+x·35.5%120
然后去分母整理，最后得出结果。
甲：不见得比算术方法好。
乙：老师怎么做的？师：我的方法和你的差不多。同样设取出x毫升.但将题目中的数据改成字母：A瓶有a毫升浓度为p的溶液，B瓶有b毫升浓度为q的溶液(p≠q)。
甲：那么方程就是
(a-x)p+xqa=(b-x)q+xpb
去分母整理得
(a+b)(p-q)x=ab(p-q)
因为p≠q，所以
x=aba+b.(1)
在a=180,b=120时，x=72。
乙：这比数的计算简单。
甲：不论p、q为什么值，答案都是(1)。
师：代数就是用字母代替数.用字母代替数后，不但计算简单（避免了繁琐的数值计算），而且具有一般性，容易看到规律.学习代数后，就应当自觉地用字母代替数，力求得出一般的结果。
所谓好的解法，就是简单而又一般的解法。
评注：引入字母后，数学发生了巨大的变化。研究的对象不仅是数，而且还有字母。字母可以代表数（起初就是这样），也可以不代表数（比如代表向量、矩阵等等）。字母自成体系（或称为系统），可以有各种运算与规则（比如矩阵可以定义乘法，满足结合律，却不满足交换律）。
2. 力求简单
问题酒精与水的溶液中，酒精∶溶液总量=k∶m.如果再加x个单位的水或者去掉x个单位的酒精（x≠0），那么得到的酒精∶溶液总量的比都相同。求这新的比的数值。
师：还是浓度问题。
甲：不妨设原溶液中有k个单位酒精，(m-k)个单位水。由题意
km+x=k-xm-x(1)
去分母，整理得
x(x+m-2k)=0(2)
所以
x=2k-m(3)
代入（1）的左边得新比的值为
km+x=k2k=12
乙：我设新比为r，则
k=(m+x)r(4)
k=(m-x)r+x(5)
(4)-(5)得
2xr=x(6)
所以
r=12.
师：不求x，直接得出r。等二种解法稍简单一些。
甲：还有其它解法吗？
师：题意，在两种情况，酒精与溶液总量的比相等。其中第二种情比第一种，酒精少x个单位，水也少x个单位，即总量少2x个单位。如果将酒精为x个单位，溶液总量为2x个单位的溶液加到第二种情况的溶液中，那么就变为第一种情况，而浓度（酒精与溶液问题的比）不变。所以加入，浓度与它们也相同，即浓度为x2x=12。
乙：这种解法更加简单。
师：其实这种解法与你们的解法并无实质的差异，只不过省去了一些形式上的演算.但省去形式上的演算，更多地用脑思考，对发展思维能力是有益的。
很多数学会议休息时，数学家们边喝咖啡边讨论问题。这时不可能进行纸面上的演算，更需要直接剖析问题的本质。
数学家Erd s曾说：数学家是将咖啡转变成定理的机器”。

前言/序言

这本《解题漫谈》与已出版的《解题研究》、《我怎样解题》，属于解题系列，精神是一致的：以自己解过的题为例子，加以分析与讨论，着重描述探究的过程，阐述我们怎样解题。
本书分为三个部分：基础部分（60节），提高部分（48节），附录。
基础部分的问题，内容较浅，解法比较简单.提高部分，内容较深，解法比较复杂.附录搜集我在《学数学》杂志上发表的一些文章。
怎样提高解题能力？这是一个大家关心的问题。
首先，自己得解一定数量的题，其中有一些稍难的，需要动脑筋，不能依样画葫芦的题。
解题是一种实践性的智力活动，必须勤练才能娴熟，娴熟才能生巧。
有人说：“做了很多题，解题能力仍未提高。为什么？”
这多半是由于没有及时做好总结。
每次做完一道不太简单的题，一定要回顾一遍.弄清：需要哪些步骤？哪些是必须的？哪些是多余的（可以去掉）？哪些步骤是关键步骤？有无其它解法？能否解得更好？
这种总结工作，正是提高解题能力的最重要的一环。
如果有朋友在一起讨论更好。
最近在网上看到一个帖子，说不喜欢我，因为我“老是指出别人的解有错”，“说别人的解不好。”
我想了一想，的确写过几篇纠错的文章。但数学是一门科学.科学就要求真，就要纠错。
钥匙不仅要明辨是非，弄清对错，还应当精益求益，寻求最佳的解法，只有这样，解题能力才能得到提高。
所以我还得写一些文章，写一些书皮，谈解题中的问题。有错误就得纠正，有不妥就应当指出，这教师与人为善的态度。当然，不要进行人身攻击，贬低别人。好像打球，冲着球（问题）去，而不是冲着人去。
对于自己的错误，当然更不能宽容。写这本书颇费功夫，改了多次，反复琢磨能不能把解答做得更好一些。但现在年龄大了，精力不够，常有照顾不周的地方，请读者与朋友多加批评。
基础部分
基础部分的问题比较容易，乃至的知识较少（很多只需要实践的数学）。
基础极为重要.基础未打好就忙于提高，就如在沙滩上建筑高楼，也像楷书还未学好，就去写狂草，当然不易成功。据我观察，不少高三学生，实践基础并未打好。即使是参加竞赛的选手，也有一些人需要加固基础。
良好的解题习惯应当在打基础时养成（不良习惯也应在这时及早纠正）。
遇到问题，要认真读题，弄清已知与求证（或求），不仅要了解其意义，记在胸中，还要知道相关知识，如已知三角形是直角三角形，就应知道两个锐角互余，斜边中线是斜边的一边，勾股定理，…，如果求证四边形是平行四边形，就应考虑两组对边平行、两组对边相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分、……等有关的判定定理。
在这一部分，我们要介绍一些基本的技巧与手法，也介绍一些基本的解题方法。每道题都加以分析、讨论与总结。