現代數學基礎叢書·典藏版10：測度論基礎 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

　　《現代數學基礎叢書·典藏版10：測度論基礎》是概率統計專門化以及有關專業的基礎讀物。內容包括測度論的一些基礎知識，特彆是概率論、數理統計所常用的測度論基礎知識，隻要瞭解數學分析與實變函數論的知識就能閱讀《現代數學基礎叢書·典藏版10：測度論基礎》。第1章榘和類；第二章σ域上測度的構造；第三章可測函數；第四章積分：第五章乘積測度空間：第六章廣義測度，每章後都附確習題，以幫助理解《現代數學基礎叢書·典藏版10：測度論基礎》內容。
　　《現代數學基礎叢書·典藏版10：測度論基礎》讀名對象為高等學校數學係高年級師生以技有關專業科技工作者。

內頁插圖

目錄

前言/序言

　　隨著科學技術的發展，研究隨機現象的概率論、隨機過程論、數理統計和信息論等學科日益深入到各個科學領域。柯爾莫哥羅夫公理係的提齣使得測度論成為概率論和數理統計嚴格的理論基礎。因此，不少高等院校都把測度論作為概率統計專門化的基礎課列入教學計劃。本書是在作者為南開大學數學係概率論專門化所寫的“測度論”講稿的基礎上，逐步修改而成的，在選材上，既考慮到關於測度論方麵的基礎內容，更主要的是吸收瞭有關概率論，過程論，數理統計等方麵所常用的測度論基礎知識，同時為瞭自學的方便，本書力圖簡明易懂，自成體係，隻要有高等數學和實變函數論的一些基本知識就能閱讀。
　　我要嚮在編寫本書過程中給我許多指導和幫助的王梓坤教授錶示感謝，我還要感謝劉文、魏文元、歐陽剋智和王文豪等同誌，池們對本書的內容提供瞭寶貴的意見，由於作者水平有限，書中一定還存在缺點和錯誤，懇請批評指正。

現代數學基礎叢書·典藏版（除《測度論基礎》外）圖書簡介 現代數學的宏偉殿堂：探索抽象與嚴謹的基石 “現代數學基礎叢書·典藏版”旨在為求知者提供一套全麵、深入且嚴謹的現代數學核心知識體係。本叢書匯集瞭20世紀以來數學發展中最具影響力和基礎性的分支，它們如同支撐起整個現代數學大廈的堅固梁柱，是深入研究高等數學、理論物理、計算機科學乃至經濟學等交叉學科的必備讀物。本典藏版不僅是對經典理論的忠實呈現，更是對數學思維方式、邏輯構建與抽象錶達能力的深刻訓練。 以下是本叢書中其他各捲的詳細介紹，它們共同構成瞭理解現代數學核心概念的完整藍圖。 --- 第一捲：集閤論與邏輯基礎（Foundation of Set Theory and Logic） 內容聚焦：現代數學的語言與起點 本捲是整個數學大廈的邏輯基石。它係統地介紹瞭現代集閤論的公理化結構，以ZFC（策梅洛-弗蘭剋爾集閤論連同選擇公理）為核心，深入探討瞭集閤、關係、函數等基本概念的嚴格定義。 核心章節涵蓋： 1. 樸素集閤論的局限與公理化思想： 從樸素集閤論的悖論齣發，引齣公理化係統的必要性，詳細闡述瞭外延公理、空集公理、配對公理、並集公理、冪集公理、分離公理、替換公理、無窮公理以及選擇公理（AC）。 2. 序數與基數理論： 嚴格定義瞭良序集、序數（Ordinal Numbers）的概念及其運算。重點闡述瞭馮·諾依曼序數的構造，並在此基礎上建立基數（Cardinal Numbers）理論，介紹康托爾定理、算術運算以及良序定理與選擇公理的等價性。 3. 模型論與可定義性： 引入數理邏輯的基本概念，探討一階語言、模型以及哥德爾完備性定理的初步思想，為理解數學對象的內部結構和外部描述打下基礎。 4. 選擇公理的威力與爭議： 深入分析瞭選擇公理在數學各個分支（如代數、拓撲學）中的關鍵作用，例如哈恩-巴拿赫定理、Tychonoff定理的證明。 本書特色： 強調從最基礎的公理齣發，推導齣復雜數學對象的構造過程，培養讀者對數學嚴謹性的直覺和能力。 --- 第二捲：拓撲學導論（Introduction to Topology） 內容聚焦：空間、連續性與形變的不變性質 拓撲學，常被稱為“橡皮幾何學”，研究的是在連續變形（拉伸、彎麯而不撕裂）下保持不變的空間性質。本捲是連接幾何學與分析學的橋梁。 核心章節涵蓋： 1. 拓撲空間的定義與例子： 建立在集閤上的一組開集族，引齣拓撲空間的基本定義。詳細考察瞭特定拓撲（如有限補拓撲、子空間拓撲、商拓撲）和特定空間（如歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 上的標準拓撲）。 2. 連續性與同胚： 嚴格定義連續函數、開閉集的對應關係，並引入同胚（Homeomorphism）的概念，這是拓撲學中“相等”的判斷標準。 3. 分離公理與完備性： 深入探討 $T_1, T_2$（Hausdorff）、正則性、正則化性（Regularity）等分離公理，以及完備空間（Complete Metric Spaces）的概念，特彆是Baire綱定理的應用。 4. 緊緻性與連通性： 闡述緊緻性（Compactness）的開復蓋定義及其在度量空間中的等價描述（列緊性）。討論連通性（Connectedness）及其在區間、樹形圖中的體現，以及路徑連通性。 5. 基本群導引： 作為代數拓撲的開端，本捲介紹路徑、凸集的概念，並初步引入基本群（Fundamental Group）以區分拓撲空間的不同“洞”或“環繞結構”。 本書特色： 幾何直觀與代數處理的完美結閤，引導讀者學會從“局部性質”推導“整體結構”。 --- 第三捲：抽象代數I：群論（Abstract Algebra I: Group Theory） 內容聚焦：對稱性、結構與變換的數學描述 群論是現代代數的核心，它描述瞭對象在某種運算下保持不變的結構和對稱性。這是理解對稱性在物理、化學和密碼學中應用的基礎。 核心章節涵蓋： 1. 群的基本概念與例子： 給齣群的四大公理（封閉性、結閤律、單位元、逆元），並分析各種重要的群（如整數加法群、一般綫性群 $GL_n(mathbb{R})$、二麵體群 $D_n$、對稱群 $S_n$）。 2. 子群與陪集： 學習如何從一個群中提取更小的、結構一緻的部分。引入拉格朗日定理，這是有限群理論的基石。 3. 正規子群與商群： 闡述正規子群的構造性定義，及其導齣商群（Factor Group）的結構，這是代數同態定理的先決條件。 4. 同態與同構： 詳細討論群之間的映射——同態、滿同態、單同態和同構，並給齣著名的同態基本定理。 5. 群的作用與Sylow定理： 探討群作用於集閤上，分析軌道（Orbit）和穩定子（Stabilizer）。Sylow定理作為有限群分類的核心工具，將被細緻推導和應用。 本書特色： 以嚴格的構造性方法，揭示瞭從初等代數（如解方程）中抽象齣的最本質的結構規律。 --- 第四捲：抽象代數II：環與域（Abstract Algebra II: Rings and Fields） 內容聚焦：代數運算的擴展與方程求解的理論 本捲將研究的對象從隻有一種運算的群擴展到具有加法和乘法兩種運算的結構——環（Ring）。這是深入理解多項式、數係擴張以及伽羅瓦理論的必經之路。 核心章節涵蓋： 1. 環的定義與基本性質： 引入交換環、單位環、整環（Integral Domain）和域（Field）的層次結構。分析理想（Ideal）的概念，它是環中的“子群”推廣。 2. 同態與商環： 對應群論，研究環之間的映射，特彆是環同態定理。重點分析由理想生成的商環結構。 3. 整環的特殊結構： 深入研究主理想整環（PID）、歐幾裏得整環（ED）和唯一因子域（UFD）之間的關係和相互推導，例如 $mathbb{Z}$ 和多項式環 $F[x]$ 的性質。 4. 域論基礎： 重點關注域的擴張（Field Extensions），如代數擴張和超越擴張。 5. 伽羅瓦理論導引： 介紹伽羅瓦群的概念，並展示如何利用群論的工具來解決經典難題，如五次及以上方程不可用根式求解的問題。 本書特色： 展示瞭如何用群論的工具來分析更復雜的代數結構，特彆是域擴張，為現代密碼學和數論打下堅實基礎。 --- 第五捲：實分析（Real Analysis） 內容聚焦：微積分的嚴格化與極限的精確控製 實分析是連接初等微積分與更高級分析分支（如泛函分析、測度論）的橋梁。它要求對極限、連續性、收斂性進行最嚴格的 $epsilon-delta$ 論證。 核心章節涵蓋： 1. 實數係的構造與性質： 從有理數齣發，利用戴德金截或柯西序列構造實數集 $mathbb{R}$，並證明其完備性（即任意柯西序列收斂）。 2. 序列與級數的收斂性： 嚴格定義序列收斂、柯西序列，引入上極限和下極限。對正項級數、交錯級數進行收斂性判定。 3. 連續函數的深入性質： 重新定義連續性，證明初等微積分中的關鍵定理，如介值定理、極值定理，並引入一緻連續性。 4. 微分學基礎： 嚴格定義導數，推導中值定理（Rolle, Lagrange, Cauchy），並討論導函數的性質（導函數不一定連續）。 5. 黎曼積分的理論： 定義黎曼可積性，證明有界函數在閉區間上可積的充要條件（幾乎處處連續），並分析積分的性質和微積分基本定理的嚴謹證明。 本書特色： 強調“為什麼”而非僅僅“如何做”。通過對每一個極限和每一個收斂性的精確定義，重塑讀者對微積分的理解。 --- 第六捲：泛函分析導論（Introduction to Functional Analysis） 內容聚焦：無限維嚮量空間上的分析與應用 泛函分析研究無窮維嚮量空間（如函數空間）上的綫性算子和度量結構，是量子力學、偏微分方程和信息論的數學骨架。 核心章節涵蓋： 1. 拓撲嚮量空間： 在嚮量空間結構上疊加拓撲結構，重點研究賦範嚮量空間（Normed Vector Spaces）。 2. 巴拿赫空間（Banach Spaces）： 完備的賦範嚮量空間。詳細分析 $ell^p$ 空間和連續函數空間 $C[a,b]$ 的結構。 3. 綫性算子的研究： 研究定義在巴拿赫空間之間的有界綫性算子，引入算子範數，並證明巴拿赫-斯坦豪斯定理（均勻有界性原理）。 4. 對偶空間與有界綫性泛函： 討論嚮量空間的對偶空間。核心定理為Hahn-Banach擴展定理，該定理是泛函分析中最重要的分離定理之一。 5. 希爾伯特空間（Hilbert Spaces）： 具有內積的巴拿赫空間。研究正交性、投影定理，並介紹傅立葉分析在希爾伯特空間中的推廣。 本書特色： 將綫性代數的有限維直覺推廣到無窮維的、更具挑戰性的函數空間中，為處理偏微分方程的解空間提供瞭強大的分析工具。 --- 第七捲：常微分方程（Ordinary Differential Equations） 內容聚焦：描述動態係統的數學語言與解的存在性 本捲專注於描述隨時間演化或空間變化的係統的核心工具——常微分方程的理論解法與定性分析。 核心章節涵蓋： 1. 初值問題的基本理論： 引入一階和高階ODE，重點研究綫性常係數方程的求解技巧。 2. 皮卡-林德勒夫存在性與唯一性定理： 在局部條件下，嚴格證明解的存在性和唯一性，這是所有ODE理論分析的起點。 3. 綫性係統的分析： 將高階方程轉化為一階組，使用矩陣指數和特徵值方法求解綫性常係數係統。 4. 穩定性分析： 引入相平麵分析，討論自治係統（Autonomous Systems）的奇點類型（結點、鞍點、焦點、中心），並使用李雅普諾夫函數進行穩定性判斷。 5. 攝動理論導引： 初步探討奇異攝動法和多尺度分析的思想，為理解實際物理問題中微小參數的影響提供初步框架。 本書特色： 強調從實際問題（如振動、增長、衰減）中抽象齣數學模型，並將理論分析與數值計算思想相結閤。 --- 第八捲：概率論與隨機過程（Probability Theory and Stochastic Processes） 內容聚焦：不確定性下的數學量化與建模 本捲是建立在測度論基礎之上（但可獨立閱讀並側重於經典概率論），旨在為處理隨機現象提供嚴謹的數學框架。 核心章節涵蓋： 1. 概率公理與隨機變量： 建立在 $sigma$-代數和概率測度之上的概率空間定義。引入隨機變量的定義及其分布函數。 2. 期望、方差與特徵函數： 嚴格定義期望（作為勒貝格積分），探討隨機變量的獨立性，並利用特徵函數來研究收斂性。 3. 大數定律與中心極限定理： 闡述弱大數定律和強大數定律，特彆是中心極限定理的多種形式，這是統計推斷的理論核心。 4. 隨機過程導論： 介紹馬爾可夫鏈（離散和連續時間）、泊鬆過程等基本隨機模型。 5. 鞅論基礎： 介紹鞅、超鞅、次鞅的概念，它們在金融數學和最優控製中扮演關鍵角色。 本書特色： 嚴格化瞭統計學中的直覺概念，為金融工程、風險評估和復雜係統建模提供瞭必要的數學嚴謹性。 --- 第九捲：偏微分方程（Partial Differential Equations） 內容聚焦：描述空間-時間演化的物理定律 偏微分方程是描述物理場（如熱流、電磁場、流體運動）空間和時間依賴性的核心工具。本捲側重於經典三大方程的理論解法。 核心章節涵蓋： 1. 基本方程分類與物理背景： 介紹橢圓型（靜力學/穩態）、拋物綫型（擴散/熱傳導）和雙麯型（波動）方程。 2. 熱方程（拋物綫型）： 詳細推導熱核（Fundamental Solution），應用傅立葉變換求解初值問題。 3. 波動方程（雙麯型）： 分析達朗貝爾公式，理解波的傳播特性，及其對初始條件和邊界條件的依賴性。 4. 拉普拉斯方程（橢圓型）： 討論勢場問題，引入調和函數，並證明最大值原理。 5. 弱解的概念： 意識到經典解的局限性，引入基於測試函數和能量積分的弱解概念，為使用泛函分析方法求解奠定基礎。 本書特色： 展示瞭如何將傅立葉分析、拉普拉斯變換等工具應用於多變量函數的微分方程求解，是理論物理和工程科學的必備手冊。 --- 第十一捲：高等微積分與微分幾何基礎（Advanced Calculus and Fundamentals of Differential Geometry） 內容聚焦：多變量微積分的幾何化與空間麯率的研究 本捲將實分析中的理論提升到多維空間，並引入微分幾何的基本概念，研究麯綫和麯麵的內在幾何性質。 核心章節涵蓋： 1. 多變量函數的微分： 推廣到 $mathbb{R}^n$，定義偏導數、方嚮導數、梯度，並嚴格證明多變量函數的微分概念。 2. 隱函數定理與反函數定理： 這些是處理方程組解集局部性質的強大工具，是拓撲學和代數幾何的橋梁。 3. 多重積分與變量替換： 深入理解雅可比行列式在多維積分變換中的作用。 4. 微分形式與廣義斯托剋斯定理： 引入微分形式（0-形式、1-形式、2-形式等）的概念，這是推廣格林、斯托剋斯和高斯定理的現代方法。 5. 麯綫與麯麵的初步幾何： 考察麯綫的弧長、麯率和撓率。對麯麵引入第一、第二基本形式，計算麯麵的高斯麯率和平均麯率。 本書特色： 實現瞭從嚮量分析到微分幾何的平滑過渡，揭示瞭微積分在更高維空間中的幾何內涵。 --- 本叢書的整體價值： “現代數學基礎叢書·典藏版”的每一捲都秉承瞭嚴謹性、係統性和深刻性的原則。它們不僅是學生和研究人員的參考書，更是對現代數學思維體係的深度浸潤。通過對這些核心領域的學習，讀者將構建起一個堅實、互聯的數學知識網絡，有能力去探索更前沿的數學研究課題。