在我们的生活中，像“芝加哥有多少位钢琴调音师？”这样无法直接或间接量化的问题，是完全可以从已知入手，通过简单的推算来得到答案的。在《超级思维：用理工科思维推算世界》这本趣味数学推理书中，麻省理工学院的高才生、密歇根大学的博士后研究员亚伦?桑托斯就详细演示了一种超级思维：你所掌握的+推算=你想知道的！

亚伦.桑托斯超级思维的基础是以量化大师、著名物理学家恩利克.费米命名的费米法。

当第*枚原子弹爆炸，其他科学家对量化爆炸当量的仪器进行*后校正时，恩利克.费米就展示了他的推算技巧。他把一张纸撕成碎片。当首波冲击波冲过营帐时，他把碎纸屑慢慢撒向空中，观察它们在冲击波的冲击下能飘多远，*远的碎片承受的就是波的压力峰值。费米据此得出结论，爆炸当量应该大于10 000 吨。这与人们根据仪器的读数做了大量分析，计算的最终结果相差不多。“芝加哥有多少位钢琴调音师？”也是恩利克.费米的经典推算范例。

在《超级思维》中，亚伦?桑托斯在费米法的基础上，通过推算，回答了70个脑洞大开、看似不可能回答的问题，比如，“步行到月球需要多长时间？”“橡皮筋拉多长才能弹到月亮上？”“冷冻并储存大气中过量的二氧化碳需要多大空间？”“在西雅图上空建造一把巨型雨伞，总共需要多少钱？”甚至“此时此刻，有多少人正在发生性关系”，等等。与这些问题相比，“芝加哥有多少位钢琴调音师？”只是一个小引子，小菜一碟，是难度系数并不高的题。

问题大胆古怪有趣，具有想象力，而回答是“一本正经”地用理科知识来解答。这正是现在大受欢迎的趣味科普读物的特点。科普畅销书《那些古怪又让人忧心的问题what if？》是其中的典型。《超级思维》也是如此，不同的是，它的问题集中在数学方面。

《超级思维》的答题方法简单到令人吃惊，而答案也大大出人意料。看到答案，我们常常会莞尔一笑，因为未经推算之前，我们的误会是多么深。比如，当我们了解到需要17万头狼同时打喷嚏，并形成细细的一道气流才能把小猪的房子吹倒，我们就能知道童话故事的夸张力度是多么大。当我们知道需要舔化51千克的冰才能减掉1磅的脂肪，我们就能明白，所谓一天到晚添冰块就可以减肥，真的只是传言而已，当不得真。

英国物理学家开尔文勋爵说：“当你能够量化你谈论的事物，并且能用数字描述它时，你对它就确实有了深入了解。但如果你不能用数字描述，那么你的头脑根本就没有跃升到科学思考的状态。”

《超级思维》中的推算，不仅仅是一种数学游戏。经常推算，可以提高我们对极大数字（或极小数字）的理解能力，快速地形成“数值地标”，提高我们的数值计算能力。

推算还能提高逻辑思考能力，这是大数据时代重要的能力。掌握了“超级思维”这种思维方式，面对一个问题时，就会启动大脑思考：需要先把问题分成哪些部分？哪些是已知的？如何通过已知推算出未知？

这也是为什么“芝加哥有多少位钢琴调音师”“帝国大厦有多重”会成为谷歌面试题的原因：一名员工能否用自己的思考解决一个问题。谷歌希望看到一个合逻辑且理性的解决路径，答案并非重点。

无论是决定是否进入某个市场，或是是否建立复杂的导弹防御系统，还是简单的过马路，我们每个人都是片刻不停地做决定，在估算和推算。当你需要开展可行性测试，预估成功概率时，你都可以试试“超级思维”的方法，看看它的“威力”。

当然，这本书也非常适合初高中生用于数学训练，挑战自己，使自己更聪明。

内容简介

用一把勺子挖地道越狱，需要多长时间？

跑多快才能瞬间减掉5千克的脂肪？”

淋浴不超过多长时间才能比泡澡更环保？

一片药片需要含有多少个分子才能治病？

“新视野号”探测计划和纽约地铁，哪一个更贵呢？

你遇见灵魂伴侣的机会有多大？

一只猴子需要多长时间才能录入完莎士比亚全集？

你需要跑多快才能跳到和地球自转相同的轨道上去？

橡皮筋拉多长才能弹到月亮上？

……

这些大胆有趣、看似不可能回答的问题，将在《超级思维：用理工科思维推算世界》中被一一解答。

亚伦.桑托斯以量化大师、著名物理学家恩利克.费米的取近似值法为基础，从费米的经典推算案例“芝加哥有多少位钢琴调音师？”开始，通过回答七十个脑洞大开的问题，在《超级思维：用理工科思维推算世界》中逐步展示了一种超级思维：你所掌握的+推算=你想知道的！

掌握了《超级思维：用理工科思维推算世界》中的这种思维方式，通过简单的数学运算，你就能对任何事物（不论大小），尤其是从任何方面都完全无法直接或间接量化的事物进行推算。

在大数据时代，面对庞杂的信息和充满无限可能的未来，一个合乎逻辑且理性的思考过程比最终的答案更受人重视。

作者简介

亚伦.桑托斯（Aaron Santos），2001年毕业于麻省理工学院，获物理学学士学位，后来在波士顿大学获得物理学博士学位。现居密歇根，是密歇根州立大学的博士后研究员。他业余时间钟情于计算《How many licks？》里的数字谜题。

精彩书摘

　　《超级思维：用理工科思维推算世界》：
　　1.芝加哥有多少位钢琴调音师？
　　为了展示前面章节中所描绘的那些方法的威力，我们就从费米的经典范例开始：芝加哥有多少位钢琴调音师？看上去无从下手吧？乍一看，如果不去查询芝加哥当地的黄页，此类问题似乎是无法回答的。但是你很快就会看到，事实上，也没有看上去的那么困难。
　　该从何处下手呢？那就从我们知道的地方入手吧！芝加哥有多少人口？或许，我们真的不知道，但是，可能我们知道波士顿和底特律以及其他大城市的人口数量。绝大多数的大城市一般都会有3.0×106（300万）的常住人口。有些城市的人口会更多，而有些则更少，不过，大致都在300万左右。即便不够准确，也不会相差太大。即便是利用极限值范围，这个数字也只能是中型城市的50万到超大城市的5000万（5000万这个数字比世界上人口最多的城市的人口数量还大了不少）之间。我们首先要做的就是进行这样的基础预测，但是我们不应对这样的预测进行精细的加工，因为它们毕竟只是近似值，只能给我们一个大概准确的数字。如果需要精准的计算，我们就只能通过网络搜寻精确的结果（在写作《超级思维：用理工科思维推算世界》的时候，据维基百科提供的数据，芝加哥的人口总数是280万），但是，如果想囫囵吞枣般地快速得到结果，我们就只有取近似值这一条路可走。
　　接下来，我们可以估算一下，拥有自主房产的居民大概占300A，这些居民之中，大概有5％的人口会买钢琴，而他们的钢琴可能每半年就需要调音一次。我们不需要考虑音乐厅、表演场所等地方，因为这些地方钢琴的数量比那些非专业人士所拥有的钢琴数量要少得多。最后，我们设想一位调音师大概每天要为2架钢琴调音，也就是每年为730架钢琴调音。
　　问自己
　　1）芝加哥有多少人口？
　　2）拥有自主住房的人占多大比例？
　　3）拥有钢琴的人口占自有住房人口的多大比例？
　　有益提示
　　在芝加哥以及其他大型城市，常住人口大约为3.0×106人。
　　设计公式
　　在这一部分，我们要设计一个公式，利用它来确定钢琴调音师的数量。我们的做法是把上面所列举的变量编排到一起，使其通过单位对消的方式留下“钢琴调音师”这个结果。为了让方程式更加简单化，我们可以先进行一些较为简单的计算。
　　1）比如，如果我们把拥有自主住房的人数的分数即住房拥有者/居民（0.3）×总的居民数（3.0×105），就可以计算出拥有自主住房者的数量（9.0×105）。
　　2）如果我们把这个数字和拥有自主住房者中拥有钢琴者的比率0.05（钢琴拥有者/拥有自主住房者）再次相乘，我们就会发现大约有4.5×104架钢琴。
　　3）这些钢琴每年需要调音两次，也就是说每年总共需要9.0×104次调音。
　　4）最后，我们用每年所需的钢琴调音次数的总数去除以每位调音师每年的调音次数（每位调音师每年调音730次），就可以计算出钢琴调音师的数量：（每年的调音总次数）/（每位钢琴师每年的调音次数）
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前言/序言

前言

推算世界的超级思维

取近似值——在推算世界之前

假设你坐公交车上班，快要迟到了，不幸的是，由于太过匆忙，你忘了带手表，手机也被压在手提包的最底层。于是，你只好向邻座的女士求助，问她现在几点了。她瞟了一眼腕上的手表，上面显示8点33分46秒，但她却对你说：“八点半。”

她撒谎了吗？她为什么不说“上午8点33分46秒”？难道是她的手表不够精准吗？或者说，她和你一样，也正赶着去上班，所以不愿意在你身上浪费时间？又或者，她知道自己一旦说完这句话，手表上的指针可能已指向8点33分48秒？

无论出于什么样的原因，当人们在处理有关具体数字问题的时候，总是倾向于不要那么精准。对你而言，8点33分46秒和8点31分27秒似乎没什么差别，相反，如果非要精准地说出8点33分46秒的话，可能会既耽误你的时间，也耽误她的时间。无论是整数化的“八点半”，还是在数字的后面加上一个小数点，我们实际上都是在取近似值。对绝大多数人而言，为了节约时间而牺牲一点点精准度其实是一笔很划算的买卖，因为我们都有更重要的工作要做，当然，如果你在美国国家宇航局（NASA）工作，那就另当别论了。但不管怎么说，取近似值这种做法不仅可以为我们节约几秒钟的时间，它还是一个非常有价值的工具，可以帮助我们更好地理解数字。

当你需要拿主意的时候，取近似值的做法就像一个过滤器，能够帮你过滤掉那些比较糟糕的想法。假如你是一位商人，要决定是否生产某种商品；假如你是一位议员，要决定是否投票赞同在墨西哥边界修筑防御工事；假如你是一位物理学家，要决定是否探测希格斯玻色子。总之，无论你是谁，当你需要开展可行性测试的时候，取近似值都应是你的首选。

比如说你是一位政府官员，正在负责一项导弹防御计划。你需要把纳税人的数十亿美金全都投进去，但结果却可能是你根本就没有机会去阻止一场核攻击，那么，对于这样的计划，你真的会立即将其付诸实施吗？一开始，你是不是应该大致地估算一下该计划成功的概率呢？当你提出一项切实可行的计划的时候，是不是也该考虑一下能否再节约一些时间和成本呢？如果你估计这个计划有90%的成功概率，那么，你肯定会将其付诸实施。即便你认为它只有10%的成功概率，你也可能会铤而走险。但是，如果你估计出的结论是该计划成功的可能性甚至比买彩票中奖的概率还要小，那么，你再执着于此事就只能说你是愚蠢透顶了。对于日常生活中所要面临的一些重要决定来说，进行此类的预估是必不可少的，即便我们不具备非常专业的水准，却依然可以进行这样的估算。无论是复杂的导弹防御还是简单的过马路，我们都是片刻不停地在估算，从本质上来说较好的数学基础也只不过是改善了我们估算的精准度而已。

我们养成的取近似值的习惯除了对我们的想法进行过滤，还可以提高我们的数值计算能力，尤其是可以提高我们对极大数字（或极小数字）的理解能力。你可能体会不到10亿和1万亿之间有什么差别，但是经常使用这样的数字却能够帮助你尽快地建立起你对它们的理解，帮助你快速地形成“数值地标”，这种感觉可以引导你去理解一些概念上的东西。举例来说，在我写作本书的时候，10亿这个数字就是世界人口的1/17，而1万亿就是美国国债的1/10。通过简单的数学运算和一点点训练，你就能够对不论大小的任何事物进行估计，而且还会在理解大数字的过程中越发得心应手。

如何取近似值：费米法

取近似值的方法和技巧有很多，但其中最高效的则是费米法。费米法的高效性在于该方法使用起来既简单又便捷，而且对于背景信息的要求还很低。费米法并没有给出明确的操作程序，其通用的步骤就是先进行看似合理的基本假设，然后再利用这些假设推算出你想要的结果。

比如说，我想知道一棵树上有多少片树叶。简便起见，我假设每根树枝上大概有30片树叶，每棵树有10根树枝，那么，每棵树就有30片/根*10根/棵=300片/棵。这个例子足够简单，但它却为复杂的例子提供了最基本的指导思路。

……

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