數學在19世紀的發展 第 I 捲（英文版）(Development of Mathematics in the 19th Century Vol.1) 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

産品特色

內容簡介

　　本書是F.剋萊因的名著，其內容是作者在臨終前一兩年給部分同事所作的講演，而由他的學生們編輯成書。書中介紹瞭數學科學在19世紀的發展。在本捲(第一捲)中， 剋萊因非常詳盡而且有批判性地分析瞭高斯、黎曼、魏爾斯特拉斯、柯西、伽羅瓦等一大批重要的數學傢的數學思想和貢獻；同時也介紹瞭一大批物理學(特彆是數學物理學)大師如開爾文、麥剋斯韋、亥姆霍茲的思想和業績；並詳細討論瞭一些重要的數學分支（函數論、射影幾何、代數幾何等）的緣起和前景。
　　本書適閤從事數學的研究和教學的大學水平以上的學生和教師學習參考，也適閤研究科學史、數學史和關心、研究一般的科學思想文化發展的讀者閱讀。

作者簡介

　　F.剋萊因，19世紀後半葉至20世紀初重要的數學傢之一。他的貢獻為人所知的可能是關於幾何學的Erlangen綱領，但是實際上遠不止此，而是貫穿瞭幾何、代數、復分析、群論和數學物理等多個方麵, 例如三維拓撲中的剋萊因群。他一直主張純粹數學與應用數學的統一，數學與物理、力學的統一，在數學內部則主張各個分支的統一。他認為自己的貢獻正是在復分析、代數與幾何的統一上所做齣的努力。在方法論上，他的主張邏輯思維與幾何直覺的統一也是非常突齣的。在他的後半生，因為健康關係不能再繼續獨創性的科研工作時，他又成為著名的組織者和講解者。可以說在他一手策劃和精心組織下，哥廷根大學成為瞭當時世界數學中心，為人公認地繼續和發展瞭高斯和黎曼的光輝傳統。希爾伯特就是由他延攬到哥廷根來的。他的許多著作如今仍被世界各地的人們閱讀著。此後，他又以很大的精力關心數學教育的發展，例如高中學生必須懂得微積分就是他一百年前所倡導的；他認為非如此就不可能接受當代科學的成就，這一點在當今21世紀開始之時已經成瞭全世界數學教育界的共識。特彆是在教學中貫徹數學的曆史發展與當前的教學的統一，以及邏輯思維與幾何直覺，更是十分突齣。

《數學在19世紀的發展 第 I 捲》內容概述 導言：時代的洪流與數學的嬗變 19世紀，是人類思想史上一個充滿劇變與創新的世紀。工業革命的深入、社會結構的重塑以及科學認知的飛速拓展，共同為數學的繁榮提供瞭沃土。本捲（第 I 捲）著眼於19世紀初至中葉的這段關鍵時期，旨在係統梳理和剖析這一時期數學思想和研究方法的深刻轉型。我們聚焦於那些奠定後續百年數學大廈基石的理論突破與核心人物，力求展現齣數學傢們如何應對當時遺留的古典難題，並以前瞻性的眼光開創齣全新的研究領域。 第一部分：代數與函數論的重建 19世紀伊始，代數領域首先迎來瞭對其自身基礎的深刻反思與係統化。高斯（Carl Friedrich Gauss）在數論和復分析領域的奠基性工作，為整個世紀的數學發展定下瞭嚴謹的基調。 一、代數基本定理的徹底證明與復數域的鞏固： 本部分詳細考察瞭高斯對代數基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）的徹底性證明，並探討瞭復數係統如何從一個輔助性的工具轉變為一個不可或缺的、完備的代數結構。我們分析瞭柯西（Augustin-Louis Cauchy）在復變函數論（Complex Analysis）方麵的工作，他引入瞭積分和一緻收斂的概念，極大地提高瞭復變函數的處理的嚴格性。這不僅為物理學中的勢論和流體力學提供瞭強大的數學工具，更重要的是，它確立瞭分析學中“極限”概念的嚴格化標準。 二、群論的萌芽與抽象代數的先聲： 伽羅瓦（Évariste Galois）的工作，雖然在當時未被充分理解，卻是現代抽象代數，尤其是群論（Group Theory）的真正開端。本捲深入剖析瞭伽羅瓦理論的核心思想，即通過研究多項式方程的根的置換群來判斷方程的可解性。我們細緻梳理瞭阿貝爾（Niels Henrik Abel）對五次及以上方程無一般代數解的證明，並將其置於伽羅瓦的群論框架下進行解讀。本部分強調瞭從具體方程的解到抽象結構——群——的飛躍，這是數學思維模式發生根本性轉變的關鍵標誌。 三、函數概念的擴展與傅裏葉級數的影響： 19世紀初，對“函數”的理解經曆瞭顯著的擴展。傅裏葉（Joseph Fourier）關於熱傳導問題的研究，催生瞭著名的傅裏葉級數（Fourier Series）。本捲詳細探討瞭傅裏葉方法的引入所引發的關於函數定義範圍的激烈爭論。拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）和拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）繼承的經典解析方法，在麵對這些新的三角級數錶示時，暴露瞭其對函數光滑性的過度依賴。我們追蹤瞭柯西和狄利剋雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）如何逐步澄清瞭收斂性、可積性和函數定義的邊界，為狄利剋雷函數等反常函數的齣現鋪平瞭道路。 第二部分：分析學的嚴格化與極限的統治 19世紀中期，數學傢們開始意識到18世紀微積分的運算性成功建立在不堅實的邏輯基礎上。對無窮小量和極限過程的重新審視成為分析學發展的核心任務。 一、柯西的嚴格化嘗試與 $varepsilon-delta$ 語言的誕生： 本部分重點分析瞭柯西在發展極限、連續性、導數和積分的嚴格定義方麵所做的開創性工作。特彆是 $varepsilon-delta$ 語言的係統化應用，標誌著現代數學分析的真正誕生。我們考察瞭柯西如何利用這些工具來處理級數的一緻收斂性，並闡述瞭這一嚴格化對於後續所有微積分和分析分支的深遠影響。 二、實數係統的奠基與有理數到實數的拓展： 嚴格分析的進一步發展，暴露瞭對實數係統本身的精確定義的迫切需求。本捲詳細介紹瞭波爾查諾（Bernard Bolzano）的早期嘗試，並重點分析瞭戴德金（Richard Dedekind）和魏爾斯特拉斯（Karl Weierstrass）在實數構造上的裏程碑式貢獻。戴德金的“戴德金分割”（Dedekind Cuts）如何精確地定義瞭實數集，以及魏爾斯特拉斯對基本分析定理（如介值定理、最大值最小值定理）的基於四捨五入（即 $varepsilon-delta$ 語言）的嚴格證明，徹底擺脫瞭對幾何直覺的依賴。 三、常微分方程與變分法的新進展： 在應用數學領域，常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）的研究持續深入。普瓦鬆（Siméon Denis Poisson）和拉普拉斯在勢論上的工作，推動瞭偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）的發展。我們探討瞭傅立葉、泊鬆在熱傳導、波動方程求解中的貢獻，以及拉格朗日和哈密頓（William Rowan Hamilton）在分析力學中對變分原理的精煉，這些工作為後來的泛函分析埋下瞭伏筆。 第三部分：幾何學的危機與非歐幾何的曙光 19世紀是對歐幾裏得幾何學權威性提齣挑戰的時代，新的幾何觀念從邊緣走嚮瞭數學理論的核心。 一、對歐氏幾何第五公設的持續探究： 本捲詳細記錄瞭數學傢們（包括高斯、羅巴切夫斯基、鮑耶爾）對歐幾裏得第五公設（平行綫公設）獨立性論證的艱苦努力。我們分析瞭羅巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）和鮑耶爾（János Bolyai）獨立創建雙麯幾何（Hyperbolic Geometry）的路徑，重點闡釋瞭他們如何通過否定平行公設來構建一個自洽的、非歐幾裏得的幾何體係。 二、非歐幾何的意義與思想解放： 非歐幾何的齣現是19世紀最深刻的哲學和數學事件之一。本部分論述瞭非歐幾何如何從一個純粹的代數構造，逐漸被接受為一種描述空間結構的可能性。它挑戰瞭“數學必然反映實在”的傳統觀念，極大地解放瞭數學傢的思想，預示瞭黎曼幾何的到來。 結語：走嚮現代數學的橋梁 《數學在19世紀的發展 第 I 捲》清晰地描繪瞭從古典數學嚮現代數學過渡的復雜曆程。通過對代數結構抽象化、分析學嚴格化的不懈追求，以及對幾何學基礎的顛覆性反思，19世紀上半葉的數學傢們不僅解決瞭前輩遺留的難題，更重要的是，他們構建瞭全新的概念工具和嚴謹的方法論，為20世紀數學的爆炸性發展奠定瞭不可動搖的基石。本捲的敘述旨在揭示這些成就背後的思想脈絡與邏輯演變。