数的故事：从计数到密码学 [Number Story from Counting to Cryptography] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[美] 彼得·M.希金斯 著，陈以鸿 译

图书标签:

• 数学史
• 数学普及
• 数字
• 计数
• 密码学
• 计算
• 数学哲学
• 科学史
• 数学文化
• 逻辑学

出版社： 上海教育出版社

ISBN：9787544456630

版次：1

商品编码：11956543

包装：软精装

丛书名： 通俗数学精品译丛

外文名称：Number Story from Counting to Cryptography

开本：16开

出版时间：2016-08-01

用纸：纯质纸

页数：133

字数：200000#

编辑推荐

适读人群 ：广大读者
　　数是独特的，是无与伦比的，数的世界是奇妙的。在这个奇妙的数世界里，你会发现数完全不是我们平常所看到的那么严肃，数并非只有在无尽的计算中才能体现出它的价值。《数的故事——从计数到密码学》中所述的数世界，不仅幽默风趣，而且精彩纷呈。从最初的数、发现数到一些数字玩意、一些好玩的数、一些有用的数，从搜寻新数、无穷大点滴，到虚数的复杂历史、显微镜下的实数直线、代码与公开钥密码学，内容可谓是包罗万象。
　　书中不仅描述了不少好玩的数，如完满数、过剩数、亲和数对，还介绍了一些隐藏的关于数的小技巧。除此以外，书中提到的趣事常常发人深省，例如书中提到科幻小说家艾萨克?阿西莫夫曾撰写的一篇短篇故事中的神奇世界。
　　本书都是一本亲切、典雅的数学科普图书，仿佛一位数学大家向读者娓娓道来数的从前、现在及未来。

内容简介

　　《数的故事——从计数到密码学》对数的由来和发展进行了深入剖析，娓娓道来有关数的一桩桩往事，不仅包括最初的数、一些好玩的数、一些有用的数等篇章，而且包括搜寻新数、虚数的复杂历史、显微镜下的实数直线等内容。书中所述的数世界，不仅幽默风趣，而且精彩纷呈。
　　书中不仅描述了不少好玩的数，如完满数、过剩数、亲和数对，还介绍了一些隐藏的关于数的小技巧。除此以外，书中提到的趣事常常发人深省，例如书中提到科幻小说家艾萨克?阿西莫夫曾撰写的一篇短篇故事中的神奇世界。
　　本书都是一本亲切、典雅的数学科普图书，仿佛一位数学大家向读者娓娓道来数的从前、现在及未来。

作者简介

　　彼得·M.希金斯（Peter M. Higgins），他撰写过相当数量的关于数的图书，对数有深入的研究。译者是我国著名翻译家陈以鸿先生。陈老先生长期从事科技翻译，精通英、法、德、日、俄五国语言，出版英、俄文著作中译本三十余种，他同时致力于中国传统文学研究和创作。

内页插图

目录

第1章 最初的数
我们应该如何思考数？
数的结构

第2章 发现数
计数及其推论

第3章 一些数字玩意
多米诺是什么
去九
整除性检验
魔幻阵列
其他幻数阵列

第4章 一些好玩的数
卡塔兰数
斐波那契数
斯特林数和贝尔数
冰雹数
素数
幸运数

第5章 一些有用的数
百分数、比率和投注赔率
科学记法
均值的意义

第6章 搜寻新数
加和减
分数和有理数

第7章 无穷大点滴
希尔伯特旅馆
康托尔的比较
实数直线的结构
无穷大加一

第8章 数的应用：机会
几个例子
几个可收集的机会问题

第9章 虚数的复杂历史
代数及其历史
三次方程的解

第10章 从虚数到复数
进入虚数世界
极坐标系
高斯整数
若干进一步的推论

第11章 显微镜下的实数直线
回到埃及
硬币问题，和与差
斐波那契与分数
康托尔中间三分之一集

第12章 数的应用：代码与公开钥密码学
历史上的例子
不能破译的密码
新编码世界用的新代码
同时造钥
打开陷门：公开钥密码
艾丽斯和鲍勃用模算术击败伊芙

第13章 内家备览
第1章
第3章
第4章
第5章
第6章
第7章
第8章
第9章
第10章
第11章
第12章
进益须知
索引
译者后记

精彩书摘

　　整除性检验
　　对于某一个正整数n来说,所谓整除性检验,指的是用来确定n是不是给定整数m的因数的一种方法,或者说,是用来辨明当m除以n时所剩下的余数是否为0的一种方法.如果回答为是,我们就说m能被n整除,或者说n是m的因数,还有第三种说法,即m是n的倍数.例如,m=36能被n=6整除,而m=56则不能,因为它除以6时剩下余数2.我们通过把除法完全作出,总能回答整除性问题,所以要使这检验有价值,必须一般地使所需工作比全部做完除法运算简单得多.
　　1和10,2和5
　　我们的数系的基是10.作出这个选择可能是个错误,不过现在要走回头路实在太晚了.无论你用什么数作基,都可以为那些是这基的因数的数提供很简单的整除性检验.10的因数是相互因数对(1,10)和(2,5).如果我们用基12,我们就有一个以1,2,3,4,6和12为因数的基.古代巴比伦人有30时用基60,这是一个很圆满的数,它的因数比12更多.然而以此为基的寻常算术要求学会乘法表直到60*60,我们中的大多数人不会愿意去学它.
　　如果我们用基b,而n这个数是b的因数,即b=kn,那么n的倍数的最后一位数就将遵循如下的模式:n,2n,3n,…,(k-1)n,0,因为kn=b用基b将写成10.于是当我们用基b经过n的所有倍数时,最后一位数字的模式就不定地重复自己.所以用基b时,当且仅当一个数的最后一位数是n,2n,…,0中之一,这数能被n整除.这就是说,只要检查最后一位数被n的整除性就够了,其他可以不管.
　　把这应用于我们的基10世界,我们知道,当且仅当一个数的最后一位数是2,4,6,8和0中之一,这数能被2整除.这就是说,当且仅当一个数的个位数是偶数,这数是偶数.同样地,当且仅当一个数的末位数是5或0,这数能被5整除.把这想法用于因数对(1,10),我们知道当且仅当一个数末位是0,这数能被10整除.我也许不该提到被1整除的整除性,因为当然每个数都有1这个因数,可是为了指出这个一般论述在这情形中也适用,我们注意到当且仅当一个数的末位数是1,2,3,…,9,0中之一,这数能被1整除;当然每个数都通过这一整除性检验!
　　这里十二进制或基12制的优点是显然的.以此为基,我们只要检查末位数就可以确定一个给定数能否被潜在因数1,2,3,4,6,12中任一个整除.例如,用基12,198这个数是14612=1*122+4*12+6,因为末位数能被3整除,所以这数显然能被3整除.用基10时,就不是这样明显(但是请注意后面对3的整除性检验).然而,究竟一个数是不是5或10的倍数,当它以十二进制表示时,就较不容易看出:例如用基12,我们将把十五写成1312(=1*12+3),这时因数5虽然依旧存在,却隐匿不见了.
　　4,8和16
　　从这里开始,检验略欠明显.当且仅当一个数的最后两位数字代表一个能被4整除的数,此数能被4整除.例如,根据4是16的因数这一事实,可知80776216是4的倍数,而121366则不是4的倍数,因为66除以4得余数2.唯一重要的是最后两位数字所代表的数,因为如果我们把它从原数中拿掉,我们就得到一个100的倍数,它当然是4的倍数.所以我们只需确定这最后两位数字是否也代表一个4的倍数.
　　注意这一过程满足我们为整除性检验所定的准则,因为它把包含一个具有任意位数字的给定数的问题变成了包含一个具有固定位数字的数的除法问题,在这个检验中,固定位数就是两位数字.
　　要确定被8整除的整除性,检验大致相同,只是我们必须检验的是末尾三位数字.就是说,当一个数的末尾三位数字所代表的数是8的倍数时,这数一定能被8整除.例如,你可以证明a=1894207376能被8整除,而b=3968844588则不能.这检验的基本原理与就4所作检验一样:我们只需检查从最后三位数字所得那部分数的行为,因为其余部分作为1000的倍数,肯定是8的倍数.
　　注意在8的情形中,我们不是只检验最后两位数字就行.事实上这样的假检验对上述a和b两个数都将给出假结果:8虽然不是76的因数,但它是a的因数,同时8是b的末尾两位数88的因数,但它不是b的因数.
　　你大概已经注意到对2,4和8所作的整除性检验之间的一般相似性.对于2=21,我们检查最后一位数字,对于4=22,我们检查最后两位数字,对于23=8,有关系的是最后三位数字组成的数.把这论述扩展下去,这模式就继续下去并能得到证实:当一个数的最后四位数字所形成的数能被24=16整除时,这个数能被16整除.更一般地,如果截取一个数的最后n位数字所得数能被2的幂2n整除,那么这个数能被2n整除.同样的观察也适用于5的幂:当一个数的最后n位数字所代表的数能被5的给定幂5n整除时,这个数能被5n整除.例如,52=25的倍数是易于确定的,因为它们正好是以25,50,75或00为末尾的数.
　　32对因数16作检验的一个例子是a=5210224.这确实是一个特别容易的检验,因为最后四位数字是0224.因为224/4=56,而56也能被4整除,所以我们断定224,从而断定我们原来的数a,是4*4=16的倍数.
　　3,6,9,12和15
　　对3所作整除性检验实在是一个巧妙的小玩意.你可能猜不到,但这是真实的:当且仅当一个数的各位数字的和能被3整除时,这个数能被3整除.例如,792能被3整除,因为它的各位数字的和是18,而721不是3的倍数,因为它的各位数字的和是10.
　　这是一个甚至对于很大的数也真正容易应用的检验,因为虽然各位数字的和s也可能是一个很大的数,我们可以把这检验用于s本身.换句话说,就像在去九的应用中一样,我们可以继续不断地应用这一步骤,直至以代表答数的一个一位正数结束:如果这个数字是3,6或9,我们检验的数就是3的倍数,否则不是.例如我们检验a=3406499617758.这时各位数字的和是69,而6+9=15,1+5=6,所以a能被3整除.与去九技术一样,我们可以用心算法解决这问题,即当我们头脑中的数大于9时,我们就进行这样的计算过程;这样一来,我们脑中的数永远不会大于18.对上述数a进行这心算时,我们是一面从左至右读出这数,或许用我们的手指来跟踪我们在这数中的位置,一面采取下列心算步骤.在下列明晰的工作过程中,我们停下来整理手头的数并把它替换成一个一位数的地方写在括弧内.一旦这样做了,我们就继续把给定数的各位数字从左至右读出:
　　3+4=7;7+0=7;7+6=13,(1+3=4);4+4=8;8+9=17,(1+7=8);8+9=17,(1+7=8);8+6=14,(1+4=5);5+1=6;6+7=13,(1+3=4);4+7=11,(1+1=2);2+5=7;7+8=15,(1+5=6);
　　因此a是3的倍数.
　　因为6=2*3,所以当且仅当这数同时满足对2和3的整除性检验时,它能被6整除.就是说,只有当一个数的个位数是偶数,而且它的各位数字的和能被3整除时,这个数是6的倍数.例如我们上面的数a,因为是偶数,所以不仅能被3整除,而且6也是它的因数.同样地,因为12=4*3,所以当且仅当一个数的最后两位数字所代表的数能被4整除,而且它的各位数字的和是3的倍数时,这个数是12的倍数.关于477168和861774这两个数是否能被12整除的问题,你可以自行判断.是否能被15整除的问题也容易解决,因为当且仅当一个数的末尾是5或0并且这数通过能被3整除的检验时,它有15=5*3这个因数.
　　如此容易地获得的这些结果,显示出简单地观察到许多算术运算能通过因数分解的运用而分成简易阶段这一事实所产生的力量.特别地,如果你不喜欢做“长”乘法,它们往往可以通过因数的乘法来避免.如果你知道乘数的因数的心算乘法表,你就不必去用长乘法:例如当你将一个给定数a乘以84时,长乘法的内容就是求出
　　a*84=a*(80+4)=a*80+a*4=10a*8+a*4,
　　所以只要你知道8倍表和4倍表,运算就可进行.另外一种计算方法是求出a*12*7———如果你知道你的12(和7)倍表的话.如果你不相信自己关于12的记忆,你可以用三个小乘法来代替:a*3*4*7.无论如何,我们发现长乘法总是可以避免的,直到乘数有一个你不知道乘法表的素因数时为止.对大多数人来说,第一个这种素数是13.
　　最后,在我们的3的倍数表中有9,你可能会希望,当且仅当一个数的各位数字的和能被9整除时,此数能被9整除.关于这事的证明与去九判断的证明密切相关,这里作一简短解释.你仍可以通过例子来使自己相信,例如,a=59252085能被9整除(所以a能被5*9=45整除),而107664虽然是3的倍数,但是能被9整除的检验失败.关于是否能被18和36整除的检验,我现在留给读者去描述.
　　对3和对9所作的检验之所以能获得成功,是由于这一事实:任何数与34它的各位数字之和,是模3和模9相等的.特别地,一个数恰恰当它的各位数字之和除以3或9所得余数为0时,这个数除以3或9所得余数为0.这又是下述事实的结果:10的任何幂除以3或9时所得余数为1,因为由一连串9形成的数是3和9的倍数.*
　　这是供参加数学奥林匹克的童星们作热身练习用的一组曲折的小问题的基础.你有一个数a,你把它的各位数字任意置换,得另一个数b.证明d=a-b不可能是素数.
　　这看上去是可怕的:这个差d似乎可以是任何数,我们怎么能说出多少有关它的素因数的话来呢?我们中的很多人肯定不知道该从哪里起步,只能凝视着这问题,不存在解出的希望.然而一个成功的数学家在挑战面前必须保持爱玩的精神,让问题随意前行,哪怕所走的路看上去达不到所搜寻的目标.关于a和b这两个数,我们可以说一件事:它们的各位数字的和是恒等的,所以a和b除以9时所得余数相同.当我们将两数相减时,这余数便消失,所得数d是9的倍数.现在我们能看到回家的路了:因为d是9的倍数,它当然不是素数.
　　我们终于看到,关于素数的那一小段是转移注意力的话.如果需要我们解释为何d有因数9,这问题应该很容易,即使那是比所需结论更强的结论.从某种意义上讲,这问题所考验的是被考验者是否具有数学勇气暂时把这特殊的结论搁在一边,去追寻问题中的数学路标.得出的教训是:学生必须相信他们的训练而不要胆怯———说比做容易.
　　7,11和13
　　还有三个难对付的家伙:7,11和13.它们是不能整除10的素数,所以它们的倍数在用基10写出时不太容易辨认.十一离十很近,是最容易对付的.11的整除性规则虽然是迄今为止最复杂的,但用起来却很容易.
　　如果一个数n的各位数字依次加上交错的正负号后相加所得和能被11整除,那么n能被11整除,否则不能.
　　例如,用我们的规则检验
　　a=56518:8-1+5-6+5=11,
　　这是11的倍数,所以11是我们的数a的因数.这里我们是按照各位数字的值的上升次序求和,如果按相反次序,结果相同,但正负号相反.一个数的正负号不影响它的整除性,因此在这里并不重要.(注)
　　另一种等效的检验方法进行如下:设s是a的偶数位数字的和,t是其余数字的和.于是当且仅当11是s-t的因数时,11是a的因数.检验数s-t或者与第一种检验中的检验数相同,或者是它的负数,视问题中的数a具有偶数或奇数长度而定.在两种情形中,都得到相同的结论.当然,用任何一种检验方法,检验数都可以是负的.例如,如果我们取a=814396,两种方法中的检验数都是(1+3+6)-(8+4+9)=10-21=-11,又是11的倍数(你在任何时候都可以把负号略去).*
　　如同其他取各位数字之和的检验一样,我们可以重新把检查被11整除性的步骤用于所得各位数字之和,直至手头的数小到足以通过检验来对付.如果我们尽可能长久地继续下去,将发生两种情况之一.或者我们将终结于一个非零一位整数,这时这数不能被11整除,或者如果这数是11的倍数,我们将终结于0.例如,如果交错和等于154,将这检验用于154,得4-5+1=0.
　　这里有一个你可以做得非常容易的例子,它远远胜过用计算器的直接除法:
　　a=16193818284590452;
　　s=(6+9+8+8+8+5+0+5)-(1+1+3+1+2+4+9+4+2)=49-27=22;2-2=0,
　　所以a能被11整除.
　　所谓回文数,就是倒转仍相同的数,例如121,181,2002.我们容易检查出181不是11的倍数,但121和2002都是.事实上每一个具有偶数位数字的回文数都有11这个因数,它的原因我肯定你很快能使自己相信,就是偶数位置上数字和奇数位置上数字的和s和t必然相同,所以它们的差是0,证明这个数能被11整除.
　　最后,有一个用于7和13的以数的各位数字为基础的检验.事实上这检验也可用于11,但比上述用于这数的检验复杂得多.
　　设a是给定数.从右开始,取每三位数为一段,按被11整除性检验所用同样方式,求出交错和s.恰恰当s能被7或13整除时,a能被7或13整除.例如,a=24889375能被7整除,但不能被13整除.为明白这道理,我们计算检验和s:
　　s=375-889+024=-490=-70*7;
　　但490不能被13整除,这很快就被检查出来.当然,我们既已有了7和13的整除性检验,设计出这些数字的小倍数即14,21,28,…和26,39,52,…等的检验就是一件简单的事情,只要把这些检验和所含其他因数的检验结合起来就可以了.
　　我们用一个大数例子来作结束.a=98858760能否被8008整除?从除数的因数分解开始:8008是偶数长度回文数,所以有11这个因数,同时也显然有8这个因数:作除法得8008=11*8*91=11*8*7*13,所以我们只需检验a能否被这四个数整除.因为760/2=380,而380能被4整除(因为80能被4整除),所以a是8的倍数.利用交错和,我们可同时对7,11和13作检验:
　　s=760-858+098=0,
　　因为0当然是这三个数的倍数,我们断定8008确实是a的因数.
　　……

前言/序言

　　数是独特的，是无与伦比的，本书所揭示的就是它们的一些神秘性。数是每一个人都熟悉的，而且是我们在觉得需要把杂乱的东西弄整齐时的主要依靠。在我们自己的头脑中，它们对被测度的有理性进行概括，而且它们是表达这种有理性的主要工具。可是它们真的存在吗？它们肯定不像猫和足球队那样存在，甚至不像颜色和感觉那样存在，而更像词语那样存在。词语都有意义，而数的意义，这数“是”什么，是与那种使我们可以把原本没有什么共同之处的事物进行测度和比较的全面对比有关的，例如油的价值、出租车的价值和驾驶员服务的价值就是这样的事物。
　　总的来说，数代表世界上可以任意取用而且取之不尽用之不竭的一种事物。因此，我们尽可能去研究和了解数，是很自然的事情。
　　本书开头几章将使读者重新熟悉数，不管是一一分开，还是放在一起。前面四章一般限于讨论寻常的计数整数。第5章考察一些围绕着数字应用的实际问题，这些问题由于含有算术运算，把我们引出于每样东西都呈现为固体离散状的环境之外。
　　第6章解释我们通过对数字进行标准运算，如何发现数的新类型，包括无理数。在第7章中，我们遇到无限集合，看到它们如何可以互相比较，看到我们所说的实数集如何组成实数直线，对此我们将在书中后面部分用数学放大镜进行考察。
　　数字史的历史发展，和整个历史一样，是一件复杂的事情，但是它看来已经解决到了相当的程度，以至于数系已经在数学家们中间得到了一致同意的地位，而且肯定形成了我们认识世界的中心支柱。我们在书中告诉读者各种历史片断，以及学科的演化，也讲一些数字先驱们的情况。尤其是在第9章和第10章，我们总结了从16世纪到19世纪末的形成期内发生在欧洲的发展过程。
　　我们很注意数的直接应用，特别是在第8章，这完全是讲机会的，然后在第12章，这是讲代码和密码的秘密世界的，现已证明，代码和密码是纯数概念的主要的新应用领域。
　　本书是供任何感兴趣的读者通读的，当然随便翻翻也同样会得益。不过我们还提供了最后一章《内家备览》，这里把前面正文中的某些特殊的论断和例证用数学语言进行详述，以满足那些喜欢看到完全解释的读者们的要求。正文中的星号表示更多的论述见末章中的注。本书中只有这一章是自由运用数学记号和概念的。这里的困难程度因所涉及的材料的性质而不同，但是所有读者只要查阅书末的某些注，都能有所收获。最后有一个简短的结束部分，介绍另外一些好书和网站供你享用。
　　我希望这本小书会让我的读者们掌握一个很大的故事即数的故事中的某些情节。

《数的故事：从计数到密码学》 一部探索数字世界迷人旅程的史诗 本书并非一本冷冰冰的数学教科书，而是一场关于人类智慧与数字宇宙的宏伟叙事。它带领我们穿越漫长的历史长河，从最古老、最朴素的计数行为出发，逐步揭示数字所蕴含的深邃力量，直至今日支撑我们信息时代运转的复杂密码学体系。《数的故事》以生动的笔触，将抽象的数学概念编织成引人入胜的故事，让每一个读者，无论其数学背景如何，都能在这场数字的奇幻冒险中找到属于自己的乐趣与启发。 第一篇：数字的萌芽——从感知到抽象 我们的故事始于人类对数量最原始的感知。在遥远的史前时代，人类如何理解“多”与“少”？书中将描绘那些散落在世界各地，由古人留下的石片、骨刻上的痕迹，它们是人类最早的计数尝试，是数字概念的种子。从手指的屈伸，到石子的堆叠，再到结绳记事，每一个微小的进步，都标志着人类从混沌的感知中，逐渐提炼出数字的雏形。 我们将跟随古埃及人，观察他们如何用象形符号来记录税收、土地和人口，领略他们独特的十进制记数法。再将目光转向古巴比伦，探索他们那令人惊叹的六十进制系统，它如何影响着我们今天对时间和角度的度量。这些早期文明在数学上的成就，并非仅是工具性的创新，更是人类认知能力的一次飞跃，是将模糊的数量世界转化为清晰、有序的符号世界的伟大实践。 本书将详细阐述计数系统是如何从简单的“一对一”对应，逐渐发展出位置值原理。想象一下，从一个个独立的符号，到能够通过位置来表达不同数值的符号系统，这其中的智慧有多么令人折服！这将是一个关于发明、关于迭代、关于人类如何一步步让数字表达能力变得更为强大和灵活的精彩故事。我们将会看到，正是这种从具象到抽象的转化，为日后更复杂的数学发展奠定了坚实的基础。 第二篇：数字的舞蹈——从算术到代数 当计数的基本工具被掌握后，人类开始对数字进行更精妙的操作，数字的世界也因此变得更加活跃和生动。本篇将聚焦于算术的发展，从加减乘除这四个基本运算，到分数、小数的概念，再到负数、无理数等数的拓展。这些看似寻常的运算，实际上是人类智慧的结晶，它们赋予了我们解决实际问题的强大能力，从商业贸易到工程建设，无处不在。 本书将深入探讨算术运算背后的逻辑，例如乘法的本质是重复的加法，除法则是对平均分配的理解。我们会看到，古希腊的数学家们，如何将几何图形的思维引入到算术的研究中，将数分解为点、线、面的组合，展现了数字与几何之间深刻的联系。 紧接着，我们将迎来代数的黎明。当面对未知数时，人类的思维跨越了一个重要的门槛。代数符号的出现，使得我们可以用更加简洁、通用的方式来表达和解决问题。我们将重温那些代数方程的早期探索，例如古埃及纸草文献中的线性方程，以及古希腊在几何代数方面的成就。本书将清晰地阐释，代数不仅仅是符号的游戏，更是抽象思维的升华，它允许我们描述普遍的规律，并为科学的发展打开了新的维度。 从二次方程的求解，到更复杂的代数方程，本书将一步步揭示代数工具的强大力量。我们将看到，这些抽象的符号如何能够精准地描述物理现象、经济模型，甚至是金融市场的波动。这个过程，是人类智力一次又一次的突破，是将数字的潜力无限放大的关键。 第三篇：数字的奥秘——从几何到微积分 数字与几何的关系，自古以来就令无数智者着迷。本篇将带我们深入探索数字在几何世界中的应用，以及几何思想如何反哺数字的理解。我们将回顾毕达哥拉斯学派对数与形的探索，发现数形结合的奇妙之处。勾股定理的证明，不仅仅是一个数学定理，更是数字与空间之间和谐统一的生动写照。 本书将进一步探讨解析几何的诞生，笛卡尔的坐标系是如何将抽象的代数方程式与直观的几何图形联系起来，这无疑是数学史上的一次革命。一个简单的方程，可以在图形中得到直观的展现；一个美丽的图形，也可以被转化为简洁的代数表达式。这种相互转换的能力，极大地增强了我们理解和描述世界的能力。 更令人振奋的是，本书将触及微积分的诞生。牛顿和莱布尼茨的伟大发现，为我们打开了研究变化世界的钥匙。微积分，这个研究无穷小量和变化率的数学分支，彻底改变了我们对运动、增长和衰减的理解。我们将看到，微积分如何被应用于描述天体运行的轨迹，如何分析物体的运动状态，如何计算曲线下的面积，以及如何在工程、经济等领域发挥不可估量的作用。 本书将用通俗易懂的方式解释微积分的基本概念，如极限、导数和积分。它将揭示，微积分并非高不可攀的理论，而是描述自然界和人类社会一切动态变化的关键语言。通过对微积分的介绍，我们将更深刻地理解数字在描述动态世界中的强大能力。 第四篇：数字的守卫——从信息到密码学 当数字的力量被广泛认知和应用后，保护数字信息的安全，就成为了一个迫切的需求。本书的最后一篇，将引领我们进入神秘而又至关重要的密码学世界。我们将从信息论的基础出发，理解信息是如何被编码、传输和解码的。 本书将追溯密码学的历史，从古代的凯撒密码，到现代的对称加密和非对称加密。我们将看到，密码学的发展，是人类与信息安全之间一场永无止境的博弈。古人如何用简单的替换和置换来隐藏信息，现代密码学家又如何利用复杂的数学原理，如数论、群论和概率论，来构建坚不可摧的数字堡垒。 我们将深入了解公钥密码学的革命性意义。公钥密码学如何允许我们安全地进行通信，即使通信双方从未谋面？它背后的数学原理是什么？本书将用清晰的逻辑，揭示RSA算法等经典加密方法的精妙之处，让你理解这些复杂的算法是如何保护我们的在线交易、电子邮件和个人隐私的。 此外，本书还将探讨哈希函数、数字签名等现代密码学技术，它们在保证数据完整性和身份认证方面的关键作用。你将了解到，我们今天所享受的互联网便利，很大程度上依赖于这些在数字世界幕后默默工作的“守卫者”。 《数的故事：从计数到密码学》将通过一个个生动的故事、一个个鲜活的人物、一个个深刻的洞察，展现数字的演变历程。它将告诉你，数字不仅仅是冰冷的符号，更是人类智慧的载体，是连接过去、现在与未来的桥梁，是构建我们现代文明不可或缺的基石。这本书，将开启你对数字世界全新的认知，让你看到隐藏在数字背后，那无尽的魅力与无限可能。

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我最近读到一本极其精彩的书——《数的故事：从计数到密码学》。我必须说，这本书绝对是我近期阅读体验的最佳之一。作者以一种非凡的叙事技巧，将数学这门通常被认为是艰深晦涩的学科，变得如同童话般引人入胜。它从最最基础的“数”的概念入手，那种从无到有、从简单到复杂的演变过程，被描绘得格外清晰，就像一幅徐徐展开的画卷。我尤其欣赏作者的逻辑构建能力，他没有一股脑地抛出大量理论，而是层层递进，如同建造一座宏伟的数字城堡，每一块砖石都显得如此坚固而有意义。从简单的数量感知，到更复杂的数字系统，再到那些支撑着现代信息安全的密码学原理，作者的引导让我感觉自己是亲身参与了一场思维的跋涉，而不是被动地接受信息。我常常在阅读中感到一阵阵的恍然大悟，仿佛一直以来困扰我的数学迷雾被驱散了。作者在讲解过程中巧妙地穿插了一些历史典故和科学家的故事，这不仅让内容更加生动有趣，也让我对数学的发展脉络有了更深刻的理解。读到关于密码学的部分，我更是惊叹于数字所蕴含的强大力量，它能够如此精妙地守护我们的数字世界。这本书让我对数字的看法发生了根本性的改变，不再是冰冷的符号，而是充满了智慧和奥秘的王国。它是一本真正能够激发思考、点燃好奇心的优秀读物。

评分☆☆☆☆☆

我必须说，《数的故事：从计数到密码学》这本书，已经彻底颠覆了我对数学的固有认知。在此之前，我一直认为数学是属于少数“聪明人”的领域，充满了抽象的概念和令人头疼的公式。然而，这本书用一种近乎魔术般的手法，将数学的魅力展现得淋漓尽致。它从最基本、最直观的“数”开始，就像播下一颗种子，然后细心地浇灌，让这颗种子在读者的脑海中生根发芽，最终长成参天大树。我尤其欣赏作者的叙事方式，他没有直接灌输知识，而是通过讲述一个个引人入胜的故事，将枯燥的数学原理融入其中。读到关于古代文明如何发明计数系统、如何使用数字来记录和交易的部分，我仿佛穿越回了那个古老而充满智慧的时代。当我看到这些看似简单的计数方法，如何一步步演变成更复杂的数学工具，最终支撑起现代社会的运行，我的内心充满了敬畏。而当章节过渡到密码学时，更是让我大开眼界。我从未想过，那些藏在数字背后的逻辑，竟然能够保护我们的隐私，保障信息的安全。作者用非常生动的比喻，解释了公钥、私钥、加密、解密等核心概念，即使是初学者也能轻松理解。这本书最大的成功之处在于，它没有让读者感到被知识淹没，而是循序渐进，让每一个概念都建立在前一个概念之上，从而形成一个坚实的知识体系。我读完之后，对数字世界充满了好奇，并且开始主动去探索更多相关的知识。它就像一盏明灯，照亮了我通往数学殿堂的道路，让我不再畏惧，而是充满期待。

评分☆☆☆☆☆

这本书，《数的故事：从计数到密码学》，我真的强力推荐！在我看来，它绝对是那种能够“唤醒”你对科学好奇心的书。作者太有才了，他能够把从最最原始的计数，一直讲到我们现在人人都在用，但又可能一知半解的密码学，讲得如此明白，如此引人入胜。我之前对数学一直有点望而却步，觉得它太抽象，太难懂。但这本书，完全颠覆了我的这种刻板印象。作者的叙事方式就像一个经验丰富的向导，他不会直接把你扔进迷宫，而是慢慢地引导你，一步步地解开数字的秘密。我特别喜欢他在讲解每一个概念时，都会引用一些生动有趣的例子，比如古代人们如何用手指、石头来计数，又或者是一些历史上著名的数学难题。这些故事让原本枯燥的数学理论变得鲜活起来，让我觉得我不是在学习，而是在和历史对话，在和智慧的火花碰撞。当书本进入到密码学的部分，我更是感觉打开了一个全新的世界。我从来没想过，我们手机里的信息，我们网上支付的安全，都依赖于如此精妙的数学原理。作者用非常通俗易懂的语言，解释了那些复杂的加密算法，让我这个对密码学一无所知的人，也能大致理解其中的原理。这本书让我觉得，数学不再是遥不可及的理论，而是与我们的日常生活息息相关的。它点燃了我对数字世界更深层次的探索欲，让我看到了一个比我想象中更广阔、更神奇的数学宇宙。

评分☆☆☆☆☆

我最近读完的这本书，《数的故事：从计数到密码学》，简直是一场智力上的盛宴！它不仅仅是一本书，更像是一次深入浅出的探险，带领我从最原始的计数，一步步攀登到高深的密码学领域。我一直对数字背后的原理很好奇，但又苦于找不到合适的入门读物。这本书的出现，恰好填补了我的这个空白。作者的叙述方式非常独特，他没有采用那种枯燥乏味的学术语言，而是用一种极具故事性和画面感的笔触，将数学的概念娓娓道来。我特别喜欢作者在讲解不同数学概念时，都会引用历史上的真实事件和人物，这让原本抽象的理论变得鲜活起来。比如，在介绍早期的计数方式时，我仿佛看到了古代人们是如何用石子、骨头来记录数量的；而在探讨质数在密码学中的作用时，我更是对这些看似普通却无比重要的数字产生了深深的敬意。这本书的结构安排也非常合理，从最基础的数字概念，到数的性质，再到数论，最后自然地过渡到密码学，每一个环节都衔接得天衣无缝。我尤其欣赏作者在解释复杂算法时，所使用的类比和图示，这极大地降低了理解难度，让我这个数学“小白”也能豁然开朗。读完这本书，我对数字不再仅仅是简单的符号，而是充满了敬畏和好奇。它让我明白，我们日常生活中所依赖的许多技术，背后都隐藏着精妙绝伦的数学原理。这本书不仅增长了我的知识，更重要的是，它激发了我对数学的浓厚兴趣，让我看到了一个充满无限可能性的数字世界。

评分☆☆☆☆☆

我不得不说，《数的故事：从计数到密码学》这本书，简直就是打开了我对数字世界认知的一扇新大门。一直以来，我总觉得数学是一门高高在上、离我生活很遥远的学科。但是，这本书却以一种极其温和而又深刻的方式，将我带入了数字的奇妙旅程。作者的叙述风格非常独特，他没有直接灌输枯燥的公式，而是用一种讲故事的方式，把数学的发展脉络、概念的演变，以及它们如何与我们的生活紧密联系起来，一一呈现。我尤其喜欢书中关于早期计数方法和数字系统的介绍，那就像是看到了人类智慧的萌芽，从最简单的“一”、“二”、“三”发展到如今我们使用的复杂计数系统，整个过程充满了奇妙的演进。而当我翻到书中关于密码学的章节时，更是让我大开眼界。我从未想过，那些隐藏在数字背后的逻辑，竟然能够保护我们如此多的个人信息和通信安全。作者用非常形象的比喻，解释了那些听起来很专业，但实际上却非常容易理解的加密和解密原理。读这本书的时候，我时常会有“原来是这样！”的惊喜，这种感觉真的非常棒。它让我觉得，数学不再是冰冷的符号，而是充满了生命力和智慧的。这本书不仅仅是增长了我的知识，更重要的是，它点燃了我对数学的兴趣，让我愿意去探索更多关于数字的奥秘。

评分☆☆☆☆☆

我得说，《数的故事：从计数到密码学》这本书，完全超出了我的预期！我之前一直觉得数学是很枯燥的学科，但这本书彻底改变了我的看法。作者用一种非常生动有趣的方式，从最基本的计数讲起，一直讲到我们现在使用的密码学。我从来没想过，数字的世界竟然可以这么迷人！这本书的叙述风格非常吸引人，就像在听一个很精彩的故事。作者没有用那些复杂的数学公式，而是通过一些生活中的例子和历史故事，把抽象的数学概念讲得非常清楚。我特别喜欢里面讲到的关于古代文明如何发明数字和计数方法的部分，让我觉得数学并不是凭空产生的，而是人类智慧的结晶。当我读到关于数字如何演变成我们今天所用的各种计算方法，以及这些方法如何支撑起现代社会的运行，我真的感到非常震撼。而书中关于密码学的讲解，更是让我大开眼界。我从来没想过，那些看似平常的数字，竟然能够保护我们的网络安全，让我们的信息不被泄露。作者用非常形象的比喻，把那些复杂的加密和解密原理讲得非常容易理解。读这本书的时候，我经常会有“原来如此！”的感叹。这本书让我觉得，数学不再是遥不可及的，而是和我们的生活息息相关的。它不仅增长了我的知识，更重要的是，它让我对数学产生了浓厚的兴趣，让我愿意去探索更多关于数字的奥秘。

评分☆☆☆☆☆

这本书，我实在太想和你分享了！从拿到它开始，我就迫不及待地翻开，结果发现，这根本不是一本枯燥的数字理论教科书，而是一次奇妙的数学冒险之旅。作者以一种极其引人入胜的方式，将最基础的计数概念，一路铺陈到我们日常生活中似乎遥不可及的密码学世界。你是否曾经好奇，为什么手机里的支付如此安全？为什么网络通讯不会轻易被窃听？这本书就像一个神奇的向导，用通俗易懂的语言，解开了这些谜团。它没有一开始就抛出复杂的公式，而是从我们最熟悉的数字开始，比如“一”、“二”、“三”，然后巧妙地引导我们思考数字的本质、数字的组合、数字的模式。我尤其喜欢作者在讲解过程中插入的一些历史故事和趣闻轶事，这让整个阅读过程充满了生动的画面感，而不是干巴巴的理论堆砌。就好像我不仅在学习知识，还在和古往今来的数学家们进行一场跨越时空的对话。它让我重新审视了我们与数字的关系，原来数字的世界如此广阔，如此充满智慧，而且与我们的生活息息相关。这本书的结构设计也非常巧妙，每一章都像是在为你打开一扇新的窗户，让你窥见更广阔的天地。从最简单的加减乘除，到更复杂的模运算，再到那些支撑起现代信息安全的算法，作者的逻辑链条清晰得让人惊叹。阅读过程中，我时常会有“原来是这样！”的顿悟时刻，这种感觉真的太棒了。我甚至开始尝试去理解一些小的数学谜题，并且乐在其中。这本书让我觉得，数学不再是那些高高在上的学科，而是可以触及、可以理解、甚至可以享受的。我强烈推荐给所有对数字、对科学、对世界运行规律感到好奇的人。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，《数的故事：从计数到密码学》这本书，彻底点燃了我对数学的全新热情！我过去总是对数学抱着一种敬而远之的态度，觉得它过于抽象和深奥。但这本书，就像一位技艺精湛的魔术师，将数字的奥秘一点点揭开，让我惊叹不已。作者的叙事方式堪称一绝，他从最基础的“数”的概念出发，通过讲述一个个引人入胜的故事，将数学的发展脉络和核心思想清晰地展现出来。我尤其喜欢他在描述古代文明如何发展计数系统时的生动描绘，那仿佛是一场跨越时空的思想实验，让我感受到了人类智慧的伟大。而当故事逐渐推进到密码学领域时，更是让我大开眼界。我从未想过，那些看似简单的数字组合，竟然能够构建起如此强大的信息安全体系。作者用非常易懂的语言和巧妙的比喻，解释了那些复杂的加密算法，让我这个曾经对密码学一无所知的人，也能窥见其精妙之处。这本书的结构安排也非常合理，每个章节都像是一个独立的宝藏，但又相互关联，共同构筑了一个关于数字世界的宏大叙事。阅读过程中，我常常会有“原来如此！”的顿悟时刻，这种智力上的满足感，是其他许多书籍无法给予的。它不仅增长了我的知识，更重要的是，它让我对数字世界充满了好奇，并且渴望继续探索下去。

评分☆☆☆☆☆

这本书，《数的故事：从计数到密码学》，我真的迫不及待地想和大家分享！它完全颠覆了我之前对数学的刻板印象。我一直觉得数学是枯燥乏味的，充满了复杂的公式和抽象的概念。然而，这本书却用一种极其引人入胜的方式，将我们带入了一个由数字构成的奇妙世界。作者的叙事能力一流，他没有直接抛出大量的理论，而是通过一个个生动的故事，将数学的发展历程和核心概念娓娓道来。从最原始的计数方法，到后来数字系统的演进，再到支撑现代信息安全的密码学，每一个环节都衔接得如此自然，如此充满智慧。我特别喜欢作者在讲解复杂数学原理时，所使用的类比和图示，这极大地降低了理解门槛，让我这个数学“门外汉”也能豁然开朗。当我读到关于质数在密码学中扮演关键角色的部分时，我更是被数字的深邃和力量所折服。作者用一种充满敬畏的笔触，展现了这些看似平凡的数字，如何能够构建起强大的安全屏障。这本书让我对数字的看法发生了根本性的转变，我不再将它们视为冰冷的符号，而是充满了智慧和无限可能性的宇宙。它是一本真正能够激发读者思考，并且对科学产生浓厚兴趣的优秀读物。

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我最近入手了一本名为《数的故事：从计数到密码学》的书，实在是一次令人惊喜的阅读体验。作者以一种极其流畅且富有感染力的笔触，将数学这门古老而又现代的学科，从最基础的计数概念，一步步推进到我们日常生活中至关重要的密码学领域。我之前一直觉得，数学似乎是少数精英的专属，充满了抽象的符号和难以理解的逻辑。然而，这本书彻底打破了我的这种认知壁垒。作者的叙事方式非常高明，他没有一开始就抛出令人望而生畏的公式，而是巧妙地将数学原理融入到一个个引人入胜的故事和历史事件中。读到关于古代文明如何发展出数字系统、如何利用数字进行交易和记录的章节时，我仿佛置身于那个古老而充满智慧的时代，亲眼见证了人类文明的进步。而当故事逐渐演进到现代密码学，我更是对数字所蕴含的强大力量感到惊叹。作者用非常生动的比喻和清晰的解释，将复杂的加密、解密算法呈现出来，让我这个对密码学几乎一无所知的人，也能理解其中的精妙之处。这本书的结构设计堪称一绝，每个章节都如同一个独立的奇妙世界，但又无缝衔接，共同构建起一个完整的数学知识体系。我从这本书中不仅学到了知识，更重要的是，它极大地激发了我对数学的兴趣，让我看到了数字世界无限的可能性。

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非常喜欢，给个好评吧

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非常好，很值得。

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此书比较有名，读了一部分，感觉选题比较有趣，但有些内容讲解的有些不够，让人有些云里雾里的感觉。

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终于还是买了，给家里的小大人们买的

评分☆☆☆☆☆

数论是数学的皇后，这书介绍数论的一些内容，书名气很大，可以说是数论科普里算不错的。但我觉得有的地方写的不够明白，似乎需要一些数论的基础知识，否则读不懂。还有有些内容我觉得选题不够有趣。

评分☆☆☆☆☆

书的质感不错

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非常好用！质量杆杆的，买了好多次！

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数论是数学的皇后，这书介绍数论的一些内容，书名气很大，可以说是数论科普里算不错的。但我觉得有的地方写的不够明白，似乎需要一些数论的基础知识，否则读不懂。还有有些内容我觉得选题不够有趣。

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京东商城发货快，下次需要再来