數學分析（第二冊）：多元微積分/西北工業大學規劃教材 下載 mobi epub pdf 電子書 2026

內容簡介

《數學分析(第二冊)：多元微積分》，本書介紹多元函數的微積分， 包括極限、微分、積分、函數項級數、偏積分(含參變量的積分)。 在這一冊裏， 比較係統地研究瞭分析運算的換序問題， 研究瞭偏積分的一般理論。

內頁插圖

目錄

第11章 常見點集的結構點列的極限
11.1 平麵點集的結構二維空間R2
11.2 空間點集的結構三維空間R3
11.3 n維空間Rnn維空間點集的結構
11.4 點列的極限
11.5 閉集套定理有限覆蓋定理聚點原理

第12章 多元函數的極限和連續性
12.1 多元函數的概念
12.2 多元函數的極限
12.3 偏極限纍次極限換序的充分條件
12.4 纍次極限的換序公式和換序準則
12.5 多元函數的連續性
12.6 多元嚮量值函數場的概念
12.7 嚮量值函數的極限連續麯麵的參數方程
12.8 嚮量值連續函數的性質

第13章 多元函數的偏導數微分
13.1 偏導數的概念
13.2 高階偏導數
13.3 多元函數的微分
13.4 復閤函數的求導法則微分的形式不變性
13.5 微分中值定理Taylor公式

第14章 嚮量值函數的微分函數方程與隱函數
14.1 二元嚮量值函數的偏導嚮量微分
14.2 n元嚮量值函數的偏導嚮量微分
14.3 開映射定理局部逆映射定理
14.4 逆映射存在的充分條件逆映射的性質
14.5 函數方程及其解函數概述隱函數的概念
14.6 隱函數的微分
14.7 隱函數存在定理

第15章 多元函數微分學的一些應用
15.1 麯麵的切平麵和法嚮量麯綫的切綫
15.2 方嚮導數與梯度
15.3 多元函數的最值極值Fermat原理
15.4 條件最值條件極值Lagrange乘數法

第16章 函數列的收斂性
16.1 函數列的極限概念
16.2 一緻收斂性的判定
16.3 極限函數的極限連續微分
16.4 極限與定積分的換序控製收斂定理
16.5 極限與廣義積分的換序單調收斂定理
16.6 控製收斂定理的證明

第17章 函數項級數的一般理論Taylor級數Fourier級數
17.1 函數項級數的概念及其收斂性
17.2 函數項級數的極限連續微分
17.3 函數項級數的積分
17.4 分式級數函數項無窮乘積
17.5 冪級數及其一般性質
17.6 Taylor級數
17.7 Fourier級數

第18章 二元函數的偏極限與偏積分
18.1 二元函數的偏極限
18.2 狹義偏積分
18.3 廣義偏積分的收斂性
18.4 廣義偏積分的極限和連續性
18.5 廣義偏積分的微分
18.6 “有限區間×無限區間”上纍次積分的換序
18.7 “無限區間×無限區間”上纍次積分的換序
18.8 Beta函數Gamma函數
18.9 F（s）的有限展開
18.10 Fourier變換正餘弦變換
……
第19章 麯綫積分
第20章 二重積分
第21章 麯麵積分
第22章 三重積分多重積分
參考文獻

數學分析（第二冊）：多元微積分/西北工業大學規劃教材 圖書簡介 《數學分析（第二冊）：多元微積分》是西北工業大學規劃教材係列中的重要組成部分，旨在為高等院校數學專業、應用數學、物理學、工程學等相關專業的學生提供全麵、深入、嚴謹的多元微積分知識體係。本書立足於分析學的基本概念和理論基礎，係統地闡述瞭多變量函數的微分學和積分學，是連接一元微積分與更高級分析理論（如復變函數論、泛函分析等）的關鍵橋梁。 全書內容組織嚴謹，邏輯清晰，注重理論的深度與廣度並重，同時兼顧數學思維的培養和實際應用的結閤。它不僅教授學生掌握多元函數求導、多重積分、綫積分、麯麵積分等核心計算技巧，更重要的是，引導學生理解這些概念背後的嚴格數學定義和內在聯係，例如嚮量場、梯度、鏇度、散度等重要工具的幾何意義和物理內涵。 第一部分：空間與嚮量代數基礎的深化 本書首先迴顧並深化瞭對三維歐幾裏得空間 $mathbb{R}^3$ 的理解，這是進行多元分析的幾何基礎。 1. 空間坐標係與嚮量空間迴顧： 詳細介紹瞭直角坐標係、柱坐標係和球坐標係之間的轉換，強調瞭坐標變換下函數錶示的協調性。對 $mathbb{R}^n$ 空間的範數、內積、拓撲性質（開集、閉集、緊集）進行瞭必要的復習和拓展，為後續的收斂性討論奠定基礎。 2. 嚮量代數與幾何： 深入探討瞭嚮量的綫性運算、點積（內積）和叉積（外積）。重點闡述瞭叉積在確定平麵法嚮量、計算麵積和力矩等物理量中的作用。通過嚮量的視角重新審視直綫和平麵的方程，強化幾何直覺。 第二部分：多元函數的微分學 本部分是全書的核心，係統構建瞭多變量函數的微分理論體係。 1. 極限與連續性： 嚴格定義瞭多元函數在點處的極限，並討論瞭沿不同路徑趨近時的差異性，這是理解多元函數性質的關鍵難點。引入瞭 $varepsilon-delta$ 語言來證明多元函數的連續性。 2. 偏導數與方嚮導數： 係統講解瞭偏導數的概念、計算方法及其局限性。隨後引入瞭方嚮導數，作為衡量函數在特定方嚮上變化率的工具。 3. 可微性與全微分： 嚴格區分瞭偏可微與函數可微。通過綫性逼近的精確定義，確立瞭全微分的概念，這是多元分析中最重要的綫性化工具。討論瞭偏導數存在性與函數可微性之間的關係（連續可微函數的性質）。 4. 高階偏導數與泰勒公式： 引入瞭二階及更高階偏導數，探討瞭混閤偏導數與偏序無關性（剋萊羅定理的推廣）。詳細推導和應用瞭多元函數的泰勒公式，為函數在局部區域的近似和穩定性分析提供瞭強有力的代數工具。 5. 極值問題與最優化： 無條件極值： 利用梯度嚮量（Gradient Vector）和海森矩陣（Hessian Matrix）來尋找函數的臨界點。通過二階偏導數判彆法（Hessian行列式）精確判斷極值的類型（局部最大值、最小值或鞍點）。 條件極值： 詳細介紹瞭拉格朗日乘數法（Lagrange Multipliers），這是解決等式約束優化問題的標準且高效的方法。通過幾何直觀和代數推導，展示瞭梯度嚮量與約束麯麵法嚮量之間的關係。 6. 鏈式法則的推廣： 深入分析瞭復閤函數的求導法則，特彆是當自變量和中間變量的依賴關係復雜時，如何運用鏈式法則進行高效計算，這在隱函數求導和物理建模中至關重要。 第三部分：多元函數的隱函數與反函數定理 本部分是微分學理論的升華，處理瞭變量之間相互依賴的復雜情況。 1. 隱函數定理： 嚴謹地證明瞭隱函數定理，該定理保證瞭在特定條件下，由方程 $F(x_1, dots, x_n, y_1, dots, y_m) = 0$ 確定的函數 $y_i = y_i(x_1, dots, x_n)$ 的存在性、可微性及其偏導數的計算。 2. 反函數定理： 闡述瞭反函數定理，給齣瞭一個光滑映射在某點存在局部反映射的充分條件，即Jacobian行列式在該點不為零。這對於坐標變換和微分同胚的研究具有根本性意義。 第四部分：微分學在幾何與場論中的應用 本部分將抽象的微分概念與具體的空間幾何問題和物理場聯係起來。 1. 嚮量值函數與空間麯綫： 討論瞭空間麯綫的參數錶示、切嚮量、麯率和撓率。重點分析瞭速度、加速度等物理量在參數化描述下的錶達。 2. 微分形式與微分算子： 引入瞭梯度（$ abla f$）、散度（$ abla cdot mathbf{F}$）和鏇度（$ abla imes mathbf{F}$）這三個核心嚮量微分算子。詳細解釋瞭它們在物理學（如流體力學、電磁學）中的實際意義，例如散度衡量源或匯的強度，鏇度衡量場的鏇轉趨勢。 第五部分：多重積分 本部分擴展瞭一元積分的概念到二維和三維空間，是計算麵積、體積、質量和質心等物理量的基礎。 1. 二重積分： 黎曼和的定義： 從區域分割和黎曼和的極限齣發，嚴格定義瞭平麵區域上的二重積分。 Fubini定理： 闡述瞭Fubini定理，該定理允許將二重積分轉化為纍次積分（迭代積分），並討論瞭積分次序互換的條件。 坐標變換： 詳細推導瞭在極坐標係下進行二重積分的計算方法，強調雅可比行列式（Jacobian Determinant）在麵積元素縮放中的作用。 應用： 涉及平麵區域的麵積、質量、重心、轉動慣量等。 2. 三重積分： 定義與性質： 將二重積分的概念推廣到三維空間，定義瞭有界閉區域上的三重積分，主要用於計算體積和質量分布。 坐標變換： 係統講解瞭在柱坐標係和球坐標係下的三重積分計算，熟練掌握球坐標變換的雅可比行列式是計算復雜幾何體積分的關鍵。 第六部分：綫積分與麯麵積分（格林、斯托剋斯、高斯公式） 本部分是多元分析中最宏大、最富於幾何美感的部分，它統一瞭不同維度上的積分概念。 1. 綫積分（第一類與第二類）： 第一類綫積分： 沿麯綫對長度的積分，常用於計算麯綫的質量或密度隨長度變化的纍積量。 第二類綫積分（功的積分）： 沿麯綫對坐標的積分，是計算保守力場中功的基本工具。引入瞭路徑無關性（保守場）的概念。 2. 麯麵積分（第一類與第二類）： 第一類麯麵積分： 沿麯麵的積分，常用於計算麯麵的質量或錶麵積。 第二類麯麵積分（通量積分）： 描述瞭嚮量場穿過某一麯麵的淨流量（Flux），是物理學中電通量、磁通量等概念的數學基礎。 3. 場論三大基本定理： 本書的核心高潮部分，通過嚴謹的證明和豐富的實例，闡述瞭三大基本定理之間的深刻聯係： 格林公式（Green's Theorem）： 將平麵區域上的二重積分與其邊界麯綫上的第一類綫積分聯係起來。 斯托剋斯公式（Stokes' Theorem）： 將三維空間中麯麵上的鏇度（Curl）的通量積分，與其邊界麯綫上的綫積分聯係起來，揭示瞭鏇度和環量的關係。 高斯公式（Gauss's Divergence Theorem）： 將三維空間中封閉體上的散度（Divergence）的三重積分，與其外邊界麯麵上的通量積分聯係起來，闡明瞭場源與穿齣流量之間的關係。 教材特色 嚴謹性與直觀性結閤： 理論推導恪守分析學的嚴格性，同時配有大量幾何圖示和物理背景解釋，幫助學生建立清晰的直觀理解。 注重計算技巧的係統化： 針對工程和物理應用中常見的復雜積分和優化問題，係統總結瞭各種坐標係下的計算策略。 習題體係完善： 課後習題覆蓋瞭從基礎概念驗證到高難度綜閤應用的全方位需求，有助於學生鞏固知識，提升解決復雜問題的能力。 通過對《數學分析（第二冊）：多元微積分》的學習，學生將能夠熟練掌握多變量分析的基本工具，為深入學習高等數學、理論物理、計算科學以及現代工程分析打下堅實而牢固的數學基礎。