變分法及其應用：物理、力學、工程中的經典建模 下載 mobi epub pdf 電子書 2026

內容簡介

　　變分法是研究泛函極值問題的一門科學，是古典數學的一個分支。
　　《變分法及其應用：物理、力學、工程中的經典建模》共分六章。第一章介紹泛函分析的一些基本概念和符號；第二章、第三章提齣四個古典的變分模型，討論泛函取得極值的必要條件、各種形式的歐拉方程、條件變分、一階變分的一般形式、自然邊界條件、變動邊界與橫截條件；第四章介紹物理學、力學中的變分原理，二次泛函極小與特徵值的關係，正定算子的極小泛函；第五章介紹變分學中的直接方法；第六章介紹極值的充分條件。
　　《變分法及其應用：物理、力學、工程中的經典建模》可作為應用數學、應用物理及應用力學等專業本科生、研究生的教材，也可作為科技工作者的參考書。

內頁插圖

目錄

第一章 預備知識
§1.1 n維嚮量與無窮維嚮量
§1.2 函數空間
§1.3 映射、泛函與泛函極值的概念

第二章 極值的必要條件——歐拉方程
§2.1 經典的變分問題
§2.2 歐拉方程
§2.3 歐拉方程的積分法與退化情形
§2.4 變分的概念及其運算
§2.5 含有多個函數的情形
§2.6 含有高階導數的情形
§2.7 兩個以上的獨立變量的情形
§2.8 參數錶示式
§2.9 歐拉方程的不變性

第三章 條件變分與變動邊界問題
§3.1 等周問題
§3.2 短程綫問題
§3.3 微分方程作為附加條件
§3.4 自由邊界和自然邊界條件
§3.5 -階變分的一般形式
§3.6 變動邊界問題與橫截條件
§3.7 隱泛函取得極值的必要條件
§3.8 標槍投擲的數學模型

第四章 物理學、力學中的變分原理和數學物理中的微分方程
§4.1 費馬原理
§4.2 哈密頓原理
§4.3 正則方程及其雅可比——哈密頓方程
§4.4 最小勢能原理s
§4.5 二次泛函的極小問題及其與特徵值問題的關係
§4.6 正定算子的極小泛函
§4.7 泛函的極值與微分方程

第五章 變分學中的直接方法
§5.1 裏茨方法
§5.2 伽遼金方法
§5.3 化為常微分方程的解法——半解析法
§5.4 有限元方法簡介

第六章 極值的充分條件
§6.1 極值問題的分類
§6.2 魏爾斯特拉斯函數與勒讓德條件
§6.3 雅可比條件與共軛點
§6.4 極值麯綫場與極值麯綫的嵌入概念
§6.5 希爾伯特積分及充分性定理

附錄 關於轉子強度的半解析計算法
部分習題答案
參考文獻

前言/序言

　　20世紀80年代，我開始在西安交通大學給應用數學、應用力學、應用物理專業的學生講授變分法。與之同時，蕭樹鐵教授在全國高校推廣數學建模。是蕭先生帶我走上數模之路，以後我也把數學建模作為學習、教學與研究的方嚮。1986年，我在西安交通大學籌辦瞭“第二期全國數模教師培訓班”；1988年，在南華大學籌辦瞭“全國數學模型教學經驗交流會”；1991年8月，又在張傢界籌辦瞭“全國數學建模學術會議”。2011年12月22日，我作為特邀代錶，齣席瞭在北京人民大會堂召開的“全國大學生數學建模競賽20周年慶典暨2011‘高教社杯’頒奬儀式”，遂激勵我把在高校教書到70歲的心得寫書成冊。
　　在經濟建設中，常常會遇到這樣一類問題，在一定條件下，怎樣設計製造産品，使其用料最省，或成本最低，或投資最小等。在自然現象中，也存在著許多極值規律。例如，光在通過介質的光路時，使其所需時間最小（費馬原理）；物體在它所容許的位置中，將自然地處於使其勢能為最小的位置（最小勢能原理）等。這些都是極值問題。極值問題的研究十分重要，它一直是推動數學、物理、力學發展的主要動力。
　　變分法是研究極值的重要理論與方法，然而它的研究對象與微分學不一樣，變分法是研究泛函的極值。
　　在自然科學中，變分法的應用極為廣泛。一方麵，它常用來推導描述自然現象的控製微分方程；另一方麵，物理、力學中的多種變分原理的發展，使變分原理本身已成為某些學科理論的組成部分。值得指齣的是變分法在計算方法中的應用。20世紀開創的變分法的直接方法有裏茨方法與伽遼金方法等，到1943年由柯朗創立、50年代首先由建築結構工程師使用的有限元方法，已成為重要的計算方法，而有限元的數學基礎是變分法。
　　本書共分六章。第一章簡單介紹泛函分析的基本概念；第二、三章介紹變分法的四個經典模型及基本理論、各種形式的歐拉方程、條件變分、一階變分的一般形式、自然邊界條件、變動邊界與橫截條件；第四章介紹費馬原理、哈密頓原理、最小勢能原理、二次泛函的極小與特徵值問題的關係、正定算子的極小泛函：第五章介紹變分法的直接方法：裏茨方法、伽遼金方法、半解析方法；第六章介紹變分法極值的充分條件。全書各章配有習題，並附有參考答案。

經典數學工具與現代科學挑戰的交匯 《變分法及其應用：物理、力學、工程中的經典建模》 這部著作，是一部深入探討變分原理在眾多科學與工程領域中核心作用的權威性教材與參考書。它不僅僅是對高等數學中一個分支的純粹理論闡述，更是一座連接抽象數學結構與實際物理世界問題的橋梁。本書聚焦於如何利用變分法這一強大的數學框架，來構建、分析和解決從經典力學到現代場論、從材料科學到控製理論中的一係列關鍵問題。 全書的結構嚴謹而富有邏輯性，旨在引導讀者從最基本的概念齣發，逐步深入到變分問題的求解技術及其在不同學科中的具體應用。它清晰地闡明瞭變分法在物理直覺與數學嚴謹性之間所扮演的關鍵角色，即物理定律往往可以通過尋找某個“作用量”的極小值或平穩點來簡潔而優雅地錶達齣來。 理論基石的奠定：從歐拉-拉格朗日方程到泛函分析 本書的第一部分緻力於構建堅實的理論基礎。它從對泛函（函數的函數）的定義和微分開始，係統地引入瞭變分法的核心工具——歐拉-拉格朗日方程。通過對簡單係統的最小化問題（如最短路徑、最速降綫等）的探討，讀者能夠迅速掌握變分法的基本思想。 隨後，內容擴展到更復雜的約束條件和邊界條件。這包括處理積分約束、等周問題，以及引入拉格朗日乘子法來處理依賴於速度的高階導數項或附加約束的泛函。書中詳細剖析瞭勒讓德變換在哈密頓力學中的作用，展示瞭如何從拉格朗日形式自然過渡到描述係統能量和時間演化的哈密頓形式。 更進一步，本書深入探討瞭泛函分析中的相關概念，如函數空間（包括希爾伯特空間和索伯列夫空間的基礎知識），這對於處理偏微分方程（PDEs）的變分形式至關重要。它不僅介紹瞭必要的變分不等式的基礎，也為理解現代優化理論和有限元方法的數學背景做瞭充分鋪墊。 經典力學的數學化錶達 變分法被譽為“理論力學的精髓”，本書對此進行瞭詳盡的闡述。它係統地展示瞭牛頓力學如何被拉格朗日力學所取代，後者基於最小作用量原理（哈密頓原理）。通過詳細推導，讀者將理解為何勢能、動能、虛功等概念能夠被統一在單一的能量泛函之下。 本書特彆強調瞭諾特定理在變分框架下的深刻意義。它不僅清晰地證明瞭守恒量（如能量、動量、角動量）與係統作用量在時間和平移對稱性之間的直接聯係，還通過具體的物理模型（如保守係統、場論中的對稱性）來闡釋這些守恒定律的來源，極大地深化瞭對物理守恒律的理解。 在剛體動力學和分析力學的高級主題中，本書還涉及瞭使用廣義坐標和約束力處理復雜運動的變分方法，為深入研究振動分析和穩定性問題打下瞭基礎。 場的變分原理：從電磁學到連續介質力學 將變分法從離散係統推廣到連續介質和場論是本書的另一個核心貢獻。這裏，泛函不再是關於坐標和速度的函數，而是關於場函數及其空間導數的函數（場作用量）。 在電磁學方麵，本書詳細推導瞭麥剋斯韋方程組的拉格朗日密度形式，展示瞭電磁場能量泛函的最小化如何自然地導齣所有的麥剋斯韋方程。這為從統一的理論框架齣發處理電磁波傳播和相互作用提供瞭強大的工具。 在固體力學與彈性理論中，本書側重於應變能密度泛函。它解釋瞭綫彈性、超彈性材料的本構關係是如何通過最小化總勢能（彈性勢能減去外力做功）來導齣的。這為求解結構靜力平衡問題提供瞭變分基礎，也為理解應力場的自然分布狀態提供瞭視角。對於非綫性彈性理論，書中探討瞭更復雜的能量泛函形式。 在流體力學領域，書中介紹瞭拉格朗日形式的流體運動描述，以及基於速度勢或流函數構建的泛函，盡管在實際應用中常有挑戰，但它揭示瞭流體運動的內在變分特性。 求解技術與工程應用 理論的強大必須依賴於有效的求解方法。本書的後半部分側重於將變分原理應用於實際工程問題的求解技術，尤其是當解析解難以獲得時。 直接法是重點介紹的內容之一，包括瑞利-裏茲法（Rayleigh-Ritz Method）和伽遼金法（Galerkin Method）。書中詳細說明瞭如何選擇閤適的試函數（形函數），將無限維的變分問題轉化為有限維的代數方程組。這部分內容是有限元方法（FEM）的直接數學前驅和理論支撐。通過具體的梁、闆、桁架結構的例子，讀者可以看到一個物理問題是如何被離散化並轉化為矩陣方程 $mathbf{K}mathbf{u} = mathbf{f}$ 的。 此外，書中還探討瞭權函數法和最小二乘法在求解邊界值問題中的變分解釋，它們本質上也是在尋求一個誤差泛函的最小點。 在控製理論的範疇內，本書觸及瞭最優控製問題，如最小時間控製或最小燃料消耗問題。通過引入輔助變量和構建泛函，利用龐特裏亞金最大值原理（其根源在於變分法的思維），可以確定最優控製律的條件。 總結 本書的價值在於其全麵性和深度。它成功地將抽象的數學概念（如泛函微分、變分不等式）與具體的、可測量的物理現象（如最小作用量、彈性平衡、場方程）緊密聯係起來。它不僅是物理學和工程力學專業學生的高級教材，也是從事計算建模、數值分析以及理論物理研究人員案邊不可或缺的參考工具。讀者將通過本書掌握的不僅僅是一種求解方法，更是一種看待和描述自然規律的深刻思維方式——萬物皆趨於極值。