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内容简介

　　《数论概论（英文版·第4版）》英文影印版由PearsonEducationAsiaLtd.授权机械工业出版社独门出版。未经出版者书面许可，不得以任何方式复制或抄袭本书内容。

内页插图

目录

Preface
Flowchart ofChapter Dependencies
Introduction
1 What Is Number Theory·
2 Pythagorean Triples
3 Pythagorean Triples and the Unit Circle
4 Sums ofHigher Powe and Fermat’S Last Theorem
5 Divisibility and the Greatest Common Divisor
6 Linear Equatio and the Greatest Common Divisor
7 Factorization and the Fundamental Theorem ofArithmetic
8 Congruences
9 Congruences，Powe ，andFermat’S LittleTheorem
10 Congruences，Powe ，and Euler’S Formula
11 Euler’S Phi Function and the Chinese Remainder Theorem
12 Prime Numbe
13 Counting Primes
14 Me enne Primes
15 Me enne Primes and Perfect Numbe
16 Powe Modulo m and Successive Squaring
17 Computing kth Roots Modulo m
18 Powe ，Roots，and“Unbreakable Codes
l9 Primality Testing and Carmichael Numbe
20 Squares Modulo р
21 Is-l a Square Modulo р·Is 2·
22 Quadratic Reciprocity
23 Proofof Quadratic Reciprocity
24 Which Primes Are Sums ofTwo Squares
25 Which Numbe Are Sums ofTwo Squares
26 As Easy as One，TwO，Three
27 Euler’S Phi Function and Sums of Diviso
28 Powe Modulo р and Primitive Roots
29 Primitive Roots and Indices
30 The Equation X4+Y4=Z
3l Square-Triangular Numbe Revisited
32 Pell’S Equation
33 Diophantine Approximation
34 Diophantine Approximation and Pell’S Equation
35 Number Theory and Imaginary Numbe
36 The Gaussian Intege and Unique Factorization
37 Irrational Numbe and Tra cendental Numbe
38 Binomial Coefficients and Pascal’S Triangle
39 Fibonacci’S Rabbits and Linear Recurrence Sequences
40 Oh，What a Beautiful Function
41 Cubic Curves and Elliptic Curves
42 Elliptic Curves with Few Rational Points
43 Points on Elliptic Curves Modulo р
44 To ion Collectio Modulo р and Bad Primes
45 Defect Bounds and Modularity Patter
46 Elliptic Curves and Fermat’S Last Theorem
Further Reading
Index
47 The Topsy-Turvy World of Continued Fractio [online]
48 Continued Fractio and Pell’s Equation[online]
49 Generating Functio [9nline]
50 Sums of Powe [online]
A Factorization of Small Composite Intege [online]
B A List of Primes [online]

前言/序言

数论漫谈：从古老智慧到现代前沿 图书简介 书名： 数论漫谈：从古老智慧到现代前沿 作者： [此处留空，或填写虚构作者名] 出版社： [此处留空，或填写虚构出版社名] 出版年份： [此处留空，或填写虚构年份] --- 引言：数字世界的深层结构 自古以来，人类对数字的好奇心从未停歇。从巴比伦泥板上的乘法表到毕达哥拉斯学派的神秘主义，数字不仅仅是计算的工具，更是理解宇宙秩序的钥匙。本书旨在带领读者进行一次深度而愉快的旅程，探索数论这一数学分支的迷人世界。我们不会聚焦于任何特定版本的教科书的既有框架，而是力求以一种更具叙事性和启发性的方式，勾勒出数论从其发轫之初，到当代研究热点的全貌。 本书的结构遵循着知识演进的自然脉络，从最基础的数系概念出发，逐步深入到结构更复杂的领域，最终触及当今数学界面临的尖端问题。我们相信，即便是对于初次接触数论的读者，也能通过清晰的逻辑和生动的实例，体会到这门学科的深刻美感与强大力量。 第一部分：基础的奠基——整数的王国 数论的基石是整数的性质。本部分将细致剖析整数的内在结构及其基本运算规律。 1.1 整数的构造与公理体系 我们将从自然数（$mathbb{N}$）的构造出发，通过皮亚诺公理（Peano Axioms）的简要回顾，建立起一个严谨的数学基础。随后，我们将自然数的集合扩展至整数集（$mathbb{Z}$），讨论加法和乘法的封闭性、结合律、分配律等核心代数性质。理解整数集的完整结构是后续一切讨论的前提。 1.2 整除性与欧几里得的遗产 整除关系是数论的第一个核心概念。我们将详细阐述带余除法定理（Division Algorithm），它是理解素数分布和模运算的基础。随后，篇幅将重点放在欧几里得对最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）的系统性研究上。我们将重现欧几里得算法（Euclidean Algorithm）的精妙之处，并探讨其在简化分数、求解丢番图方程中的应用。 1.3 质数的奥秘：素数的生命线 素数（Prime Numbers）被誉为“数的原子”，其研究贯穿了数论的整个历史。本章将首先呈现欧几里得关于素数无穷性的经典证明，并讨论更有效的素数筛选方法，如埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）。我们还将探索素数的局部分布，引入素数计函数（$pi(x)$）的概念，并展望其渐近行为。 1.4 线性不定方程的解法 线性丢番图方程（Linear Diophantine Equations），特别是形如 $ax + by = c$ 的方程，是数论早期应用的典范。我们将利用扩展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm）来系统地求出这类方程的通解，揭示整数解集的几何结构。 第二部分：模与同余——代数结构的显现 随着问题的深入，我们需要一种工具来处理整数的周期性结构。同余理论（Congruence Theory）应运而生，它将整数的研究提升到了抽象代数的高度。 2.1 同余关系的建立与性质 本章详细介绍了模运算（Modular Arithmetic）的概念，定义了 $a equiv b pmod{n}$ 的含义，并系统论述了同余关系的等价性、传递性以及它如何作用于加法和乘法。同余系统是密码学和编码理论的基石。 2.2 费马与欧拉的贡献 费马小定理（Fermat's Little Theorem）以其简洁性闻名，它揭示了素数模下的幂运算规律。在此基础上，我们将深入探讨欧拉函数（Euler's Totient Function, $phi(n)$）的定义、计算方法及其在数论中的核心地位。欧拉定理（Euler's Theorem）作为费马小定理的推广，展示了模运算的普遍规律。 2.3 中国剩余定理：高效求解系统 中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem, CRT）是处理模同余方程组的强大工具。我们将阐述该定理的构造性证明，并展示其在算法设计和周期性问题求解中的实用价值。 2.4 原始根与二次剩余 更进一步，我们考察在模 $n$ 意义下的乘法群结构。本章介绍原根（Primitive Roots）的概念，及其在离散对数问题中的重要性。同时，我们将转向二次剩余（Quadratic Residues）的研究，引入勒让德符号（Legendre Symbol）和雅可比符号（Jacobi Symbol），为更高级的二次互反律做准备。 第三部分：数论的应用与进阶主题 数论并非孤立的理论体系，它深深植根于应用之中，并与其他数学分支紧密交织。 3.1 连分数：逼近与周期性 连分数（Continued Fractions）提供了一种独特的视角来逼近实数，特别是无理数。我们将解析有理数的有限连分数表示，并深入探讨无理数（如 $sqrt{2}$ 和 $e$）的无限周期连分数展开。连分数在解决佩尔方程（Pell's Equation）中扮演着关键角色。 3.2 丢番图方程的深度探索 除了线性的方程，我们将关注更难处理的非线性丢番图方程。我们将回顾费马大定理（Fermat's Last Theorem）的历史背景和最终证明的宏伟结构（不深入证明细节，但侧重其对代数几何的影响）。随后，我们将讨论椭圆曲线（Elliptic Curves）上的有理点结构，这是现代数论研究的前沿领域。 3.3 解析数论的曙光 解析数论（Analytic Number Theory）是利用复变函数（Complex Analysis）的方法来研究整数性质的分支。本章将简要介绍黎曼 $zeta$ 函数（Riemann Zeta Function）的定义，阐述其与素数分布的深刻联系，并概述素数定理（Prime Number Theorem）的意义——它量化了素数的稀疏性。 3.4 几何与数论的交汇 我们将触及几何数论（Geometry of Numbers）的初步概念，例如明可夫斯基定理（Minkowski's Theorem）。这种方法将整数点集视为几何对象，为处理某些涉及格点（Lattice Points）的问题提供了强大的直观工具。 结语：永恒的探索 数论是一门拥有古老根源却又不断焕发新生的学科。从计算的需要到纯粹的智力挑战，它塑造了人类对逻辑和结构的理解。本书的旅程旨在激发读者继续探索的兴趣，无论是深入研究模形式（Modular Forms），还是探究黎曼猜想（Riemann Hypothesis）的深远影响，数字的深处永远蕴藏着未解的奥秘，等待着下一代探索者的光临。